Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

_books_met_files_fund_radio_el

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

5.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 172 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

TT2 U t cosn 1tdt;

(2.14)

TT2

U t sinn 1tdt.

Из полученного выше выражения для ряда Фурье имеем

U t

an cosn 1t bn sinn 1t

(2.15)

Итак:

n 1

1) В общем случае сложный периодический сигнал может иметь постоянную

составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний с частотами

i = i 1.

-T/2

T/2

Рис.2.5

Отметим, чем больше составляющих i 1, тем ближе сумма составляющих к истинному сигналу (см. рис. 2.5).

2) Четный сигнал имеет только косинусоидальные слагаемые (т.к. bn обращаются в ноль), нечетный — только синусоидальные (т.к. an обращаются в ноль).

Каждую гармоническую составляющую можно описать ее амплитудой An и начальной фазой n, т.е. спектр периодического сигнала линейчатый (см. рис. 2.6).

an An	cos n,		bn An sin n,
где An			, n arctg		bn		.
		an2 bn2			bn
		an2 bn2
Тогда					an
Тогда				a0

			U t			An cos n 1t n .		(2.16)
			U t			An cos n 1t n .		(2.16)
			2				n 1
Амплитудный спектр							Фазовый спектр
An							n

	1	0	1		3	4 1






0 1 2 3 4				2

Рис. 2.6

2.3.2. Комплексная форма ряда Фурье

Спектральное разложение периодического сигнала можно выполнить, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями:

exp

1t ,

n 0, 1, 2,...

(2.17)

Действительно, функции этой системы периодичны с периодом T

ортонормированны на отрезке времени T

Доказательство ортонормированности

lm,ln TT2 lm t ln* t

TT2 exp jm 1t exp jn 1t dt

TT2 exp j m n 1t dt;

сделаем замену переменных:

t x, t

, так как

, то t xT , dt

при t T

, x , при t

x , получим

1 при m n

lm,ln

ej m n xdx

0 при m n

Ряд Фурье (2.11) произвольного периодического сигнала в данном случае принимает вид:

U t Cnln t , или с учетом (2.17)

n	1
U t
			Cnejn 1t .


		T n

Найдем коэффициенты разложения Cn. Для этого левую и правую часть

домножим на	e jk 1t		и возьмем интеграл TT2							. Получим
		T							2
							T
				1		2				t e jn 1tdt.
			Cn	1			TU

					T
								2
								2

Обычно используют несколько иную запись:


U t Cnejn 1t
	n
		T		.	(2.18)
	1	2
				t e jn 1tdt
Cn		TU
	T
			2

Выражения (2.18) представляют ряд Фурье в комплексной форме. Спектр сигнала в соответствии с этими выражениями содержит компоненты на положительной и отрицательной полуоси, причем

Сn

C n

Cn*.

(2.19)

-2

-1

0 1 2

При переходе к тригонометрической форме записи получим

U t C0

cos n 1t n

(2.20)

Из сравнения (2.16) и (2.20) видно, что

n 1

An 2

an 2Cnc

TU t cosn 1tdt,

2Cns

TU t sinn 1tdt.

После

перехода к тригонометрической форме понятие “отрицательная”

частота

теряет

смысл,

т.к. это

понятие не

физическое, а

математическое,

вытекающее

из

способа

представления

комплексных

чисел. Положительной

частоте

соответствует

вектор,

вращающийся против часовой стрелки, а отрицательной

частоте — вектор, вращающийся по часовой стрелке.

2.4. Спектральное представление непериодических сигналов

Пусть U(t) одиночный импульс конечной длительности. Создадим периодическую последовательность с периодом T и представим ее комплексным рядом Фурье (см.2.18).

U		Uпер
t				t
0	0		T
0	0		T
Рис. 2.7

Uпер t
Uпер t		Cnejn 1t ,		(2.21)
где			n
где		T
		T
	1	2
Cn	1	TU t e jn 1tdt.		(2.22)
Cn	T	TU t e jn 1tdt.		(2.22)
			2
			2

Для того, чтобы перейти к спектральному представлению единичного импульса, устремим T .

Из (2.22) видно, что при T получаем:

-бесконечно-малые амплитудные коэффициенты Cn (из-за наличия T в знаменателе);

-частоты соседних гармоник n 1 и (n+1) 1 становятся сколь угодно

близкими (т.к. 1 2T );

- число гармоник, входящих в ряд Фурье, становится бесконечно большим, т.к. при T , основная частота 1 2T 0, т.е. спектр становится

сплошным.

Подставив (2.22) в (2.21), получим:

		T
		2		1
U t		U	x e jn 1xdx ejn 1t	1	,
U t		U	x e jn 1xdx ejn 1t	2	,
	n	T		2
		2

т.к. T , то 1 2T 0, поэтому в этом выражении можно заменить

1 d ; n 1 ; . Таким образом, переходим к двойному интегралу Фурье:

		1
	U t	1		ej t	U	x e j xdx d .
	U t	2		ej t	U	x e j xdx d .
		2
	x e j xdx S
Здесь обозначим U	x e j xdx S

или

			S U t e j tdt				(2.23).

S - спектральная плотность сигнала U t или прямое преобразование

Фурье, или Фурье-образ сигнала. Отсюда:

	1
U t		S ej td .	(2.24)
	2

Это обратное преобразование Фурье.

Физический смысл S

Спектральная плотность – это отношение комплексной амплитуды малого интервала частот вблизи частоты, равной f0, к длине этого интервала. Причем вклад дают как положительные, так и отрицательные частоты, образующие окрестность f0.

Спектральная плотность — комплекснозначная функция частоты, одновременно несущая информацию об амплитуде и о фазе элементарных синусоид.

Таким образом, из (2.23) и (2.24) следует, что один и тот же сигнал допускает две совершенно равноправные математические модели — временную и частотную.

Условия существования S - это абсолютная интегрируемость сигнала, т.е.

		t
	U		dt .	(2.25)
	U		dt .	(2.25)

Можно записать S A jB					S	e j , где:
Можно записать S A jB					S	e j , где:

		A U		t cos t dt;


		B U		t sin t dt.

Тогда амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) сигнала –

S A2 B2 ;

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) сигнала - arctg BA .

2.4.1. Основные свойства преобразований Фурье

Итак, между сигналом U t и его спектральной плотностью S существует

однозначное соответствие, устанавливаемое соотношениями (2.23) и (2.24). Для практических целей важна связь между различными преобразованиями сигнала и соответствующими изменениями спектра. Рассмотрим основные из этих преобразований.

1) Сложение сигналов. Если

U t U1 t U2 t ... Un t ,

то

S S1 S2 ... Sn ,

т.е. преобразование Фурье линейно. Пример: сигнал+помеха

2) Сдвиг сигналов во времени (теорема запаздывания).

	U1			U2 t U1 t t0 .

				S2	U1 t t0 e j t
				S2	U1 t t0 e j t
			t
			t	обозначим t t0, dt

0
0					e j t0 d e

	U2			U1
					S2 e j t0
				t	S2 e j t0
				t
0		t0
0		t0

(2.26)

j t0 S1 ;

S1 (2.27)

Рис.2.8

Отсюда видно, что АЧХ сигнала остается постоянной, но меняется его фазовая характеристика.

Пример: фильтрация РЛС сигналов.

	U1				3) Изменение масштаба времени.
					3) Изменение масштаба времени.
					U2 t U1 nt ,
					U2 t U1 nt ,
0					n>1 – сжатие сигнала,
				t	n<1 – расширение сигнала
	U2		и	t	n<1 – расширение сигнала
					u /n	u /n
					S2 U2	t e j tdt U1	nt e j tdt.
					S2 U2	t e j tdt U1	nt e j tdt.
					0	0

0				t	После замены переменных nt ,			dt d n	отсюда имеем
		и/n		t	После замены переменных nt ,			dt d n	отсюда имеем

Рис.2.9

n 0

(2.28)

т.е при сжатии сигнала в n раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр и уменьшается интенсивность спектральной плотности.

Из этого свойства и примеров по определению спектральных плотностей импульсов видно, что чем меньше длительность сигнала, тем шире его спектр.

Для установления количественных соотношений между указанными параметрами необходимо определиться с понятием длительности сигнала и ширины его спектра. В большинстве случаев выбор произвольный.

Например:

-для прямоугольного импульса ширина спектра принимается как

основание главного лепестка fв и 1;

-для колоколообразного импульса ширина берется на уровне 0,606 от максимального значения;

-можно также использовать энергетический критерий (например 90%

энергии и т.д.). В результате fв и constи зависит от формы импульса. Минимальная fв и 0,5у колоколообразного (гауссового) импульса. Пример: спектральный анализ с временной компрессией.

4)		Произведение двух сигналов.
U t f t g t ,
где
f t	1			ej td ,
	1		F
		2	F
		2
g t	1			ej td .
	1		G
	2		G
	2

Найдем прямое преобразование Фурье:

											1
S			U t e j tdt f				t	g t e j tdt			1		f t G	x ejxtdx e
S			U t e j tdt f				t	g t e j tdt				2	f t G	x ejxtdx e
												2
	1								1
	1	G x f t e j x tdt dx							1	G	x F x dx,
	2	G x f t e j x tdt dx							2	G	x F x dx,
т.е.	2								2
т.е.
				S	1			x F x dx
					1	G
					2	G
					2

- свертка спектров сомножителей.

j t

(2.29)

Примеры: преобразование частоты; исследование флуктуаций; получение спектра радиоимпульса как произведение синусоидального сигнала sin t на прямоугольный импульс.

5) Спектральная плотность производной сигнала и его интеграла. f t dUdt ,

	dU e j tdt.
F	dU e j tdt.
	dt


Интегрируя по частям U Vdt UV UV dt, получим

	F U t e j t		j U t e j tdt .
	F U t e j t		j U t e j tdt .

Если выполняется условие		limU t 0, то
		t

F j S

где

j e

(т.к.

по

формуле

Эйлера

e j ,

- амплитудный

спектр и

исходного сигнала U(t), или

(2.30) ej2 cos 2 jsin 2 j);

( ) – фазовый спектр

(2.31)

т.е. изменится амплитудный спектр, а фазовый спектр меняется на

на всех

частотах.

Если

Рис. 2.10

Причем дифференцирование поднимает верхние частоты и занижает низкие

частоты.
Аналогично можно найти спектр интеграла g t U t dt.
Представив U t dg , следовательно,					S j G , отсюда
	dt			S
		1
	G	1	S				j
						e		2	(2.32)
		j				e		2	(2.32)
		j

G, SG

Рис. 2.11

6) Теорема Парсеваля.

Известно, что энергия колебания на единичном сопротивлении E U2 t dt.

Найдем соотношение, позволяющее определить энергию колебания U(t) посредством использования его спектра. Для этого воспользуемся прямым преобразованием Фурье

U t

S ej td .

Умножим обе части данного равенства на U(t) и проинтегрируем в

бесконечных пределах

U2 t dt

t ej tdt d ,

но

U t ej tdt S* ,

2 d .

таким образом E

S* d

Т.к. квадрат модуля есть четная функция , то, удвоив значение интеграла,

можно проводить интегрирование в пределах 0 — .

t dt 1

2 d

E U2

(2.33)

Из этого соотношения следует, что на бесконечно малый участок частот d

приходится энергия E

d dE d ,

2 — энергетический спектр сигнала.

Величина dE

— спектральная плотность энергии колебания U(t).

Полная энергия сигнала равна сумме энергий всех его частотных составляющих.

Пример - спектральный анализатор.

7) Обобщенная формула Рэлея.

Пусть два сигнала U(t) и V(t) (в общем случае комплексные) определены своими обратными преобразованиями Фурье:

	1														1
V t	1	Sv ej td ;									V* t				1		Sv* e j td ,
V t	2	Sv ej td ;									V* t				2		Sv* e j td ,
	2														2

	1
U t	1	Su ej td .
U t	2	Su ej td .
	2
Найдем скалярное произведение
						U,V U				t V* t dt				1			U	t Sv* e j td dt
						U,V U				t V* t dt				2			U	t Sv* e j td dt
														2

								1
								1	Sv* U t e j tdt							d
								2	Sv* U t e j tdt							d
								2
		U,V			1				Sv* d			1	SuSv
Отсюда					1	Su						1
Отсюда					2	Su
					2							2
Итак,
Итак,
			U	,V		1			SuSv
											— Формула Рэлея								(2.34)
							2				— Формула Рэлея								(2.34)

Скалярное произведение двух сигналов с точностью до коэффициента 21

равно скалярному произведению их спектральных плотностей.

Пример - ортогональность неперекрывающихся по спектру сигналов.

2.4.2 Спектральная плотность некоторых неинтегрируемых сигналов

Математические модели многих сигналов не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости (2.25) и поэтому метод преобразований Фурье в обычном виде к ним не применим. Однако можно говорить о спектральных плотностях таких сигналов, если допустить, что эти плотности описываются обобщенными функциями.

1) Спектральная плотность функции.

U U

			U t t t0	, t t0
			U t t t0		t t0
			E=1/ u	0,	t t0
0			t
	t- u/2 t0		t
	t- u/2 t0	t+ u/2

Рис. 2.12

<<< < Предыдущая 12 / 172 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.02.201518.99 Mб97Zhivotny_mir_RO.pdf
#
24.09.201935.56 Кб3Zkz_voprosy_2_semestr (Автосохраненный).docx
#
13.02.2015242.96 Кб8zvezdova_oreshkin.pdf
#
20.09.2019470.29 Кб1[]_Grammatika_Por-Royal(BookFi.org).docx
#
12.03.2016293.11 Кб119[Приходько] Chapter 1.docx
#
13.02.20155.54 Mб15_books_met_files_fund_radio_el.pdf
#
13.02.2015333.32 Кб30_edu_pdf_02_17_foundations_social_medicine.pdf
#
07.05.2019206.85 Кб3_material_baza_3_3.doc
#
13.02.20157.49 Mб24_v1319_.pdf
#
13.02.2015422.12 Кб11_Глава 5 Лин алг.pdf
#
13.02.20151.07 Mб177_Давыдов В.В., Проблемы развивающего обучения.doc