матмет в схемитабл
.pdf
7Приписать каждому рангу «+», если он соответствует Di>0, и знак «–», если – Di<0.
8Подсчитать значение величины Тэмп, которое равно сумме рангов нетипичных сдвигов.
9Определить критические значения Т1кр и Т2кр, которые отвечают уровням значимости в 5% и 1% по таблице № 6 приложения.
10Расположить эмпирическое значение критерия Тэмп и критические значения Т1кр и Т2кр на оси значимости.
11Если Тэмп находится в зоне незначимости, то принимается гипотеза Н0 об отсутствии различий. Если Тэмп находится в зоне значимости, то гипотеза об отсутствии различий Н0 отклоняется и принимается гипотеза Н1 о наличии различий. Если Тэмп находится в зоне неопределенности, то существует вероятность принятия ложного решения.
Критерий Вилкоксона более чувствителен к улавливанию особенностей измерений по сравнению с критерием знаков, так как его применение основано не только на учете знаков разностей измерений xi и yi, но и на учете абсолютных значений этих разностей.
Пример. К зачету студенты в количестве 12 человек должны были выполнить два проекта, которые оценивались по 20 бальной системе. После выполнения первого проекта студентам были объявлены полученные ими балы и сообщено, что после выполнения ими второго проекта студенты, которые подготовят достойные проекты, смогут представить их на конференции, в которой примут участие представители известных фирм, занимающиеся набором персонала.
Результаты двукратного выполнения проектов приведены в таблице.
№ респондентов |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
результаты 1 проекта |
13 |
18 |
15 |
14 |
12 |
11 |
16 |
17 |
11 |
13 |
14 |
12 |
результаты 2 проекта |
14 |
18 |
16 |
12 |
16 |
13 |
16 |
20 |
16 |
20 |
17 |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем процесс приписывания рангов Ri в данном примере в форме таблицы.
№ |
Результаты |
Результаты |
yi - xi =Di |
|Di| |
Ранг |Di| |
+/- |
Тэмп |
респондентов |
1 проекта |
2 проекта |
|
|
|
|
|
2 |
18 |
18 |
0 |
1 |
1,5 |
1,5 |
|
7 |
16 |
16 |
0 |
1 |
1,5 |
1,5 |
|
1 |
13 |
14 |
1 |
2 |
3,5 |
3,5 |
|
3 |
15 |
16 |
1 |
2 |
3,5 |
3,5 |
|
4 |
14 |
12 |
-2 |
3 |
5,5 |
-5,5 |
5,5 |
6 |
11 |
13 |
2 |
3 |
5,5 |
5,5 |
|
8 |
17 |
20 |
3 |
4 |
7,5 |
7,5 |
|
11 |
14 |
17 |
3 |
4 |
7,5 |
7,5 |
|
5 |
12 |
16 |
4 |
5 |
9 |
9 |
|
9 |
11 |
16 |
5 |
6 |
10 |
10 |
|
12 |
12 |
18 |
6 |
7 |
11 |
11 |
|
10 |
13 |
20 |
7 |
8 |
12 |
12 |
|
сумма |
|
|
|
|
78 |
|
5,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
60
n |
2 |
|
n n 1 |
|
12 13 |
||
Общая сумма рангов 78 совпадает с расчетной: di |
|
|
|
|
|
78 . |
|
|
2 |
||||||
i 1 |
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверяется гипотеза Н0: возможность проявить свои профессиональные качества перед потенциальными работодателями не улучшает качество выполнения проектов студентами. При альтернативной гипотезе Н1: возможность проявить свои профессиональные качества перед потенциальными работодателями улучшает качество выполнения проектов студентами.
Тэмп =5,5.
По таблице № 9 приложения определим Екр для n=12:
17,для р 0,05; |
|
|
|
Ткр |
|
|
|
9,для р 0,01. |
|
|
|
|
|
зона |
|
зона |
неопределенности |
зона |
|
незначимости |
0,05 |
0,01 |
значимости |
|
|
|
|
|
Т1кр=17 |
Т2кр=9 |
Тэм=5,5 |
Тэмп.<Ткр 0,01, нулевая гипотеза отклоняется, то есть возможность проявить свои профессиональные качества перед потенциальными работодателями улучшает качество выполнения проекта студентов.
3.8. КРИТЕРИЙ ФРИДМАНА
позволяет
Критерий Фридмана
сопоставить показатели некоторого свойства на основе измерений в трех или более условиях на одной и той же выборке респондентов (установить,чтовеличиныпоказателейотусловия к условию изменяются, но при этом не указывает на направление изменений)
Критерий Фридмана включает следующие этапы:
1Определить признак, участвующий в сопоставлении (значения признака должны быть представлены не ниже интервальной шкалы).
2Провести белее двух измерений одного и того же признака на одной и той же выборке респондентов (не менее 2-х испытуемых, каждый из которых прошел не менее 3-х замеров).
3Сформулировать гипотезы:
Ho В состоянии изучаемого свойства нет значимых различий при первичном, вторичном и последующих измерениях.
H1 В состоянии изучаемого свойства выявлены значимые различия при первичном, вторичном и последующих измерениях.
61
4Проранжировать индивидуальные значения каждого респондента, полученные им в 1-м, 2-м, 3-м и т. д. измерений одного и того же признака.
5Подсчитать сумму рангов отдельно по каждой серии измерения признака.
6Вычислить эмпирическое значение r2 по формуле:
r2 |
эмп |
12 |
Ri2 |
3 k (n 1), |
k n n 1 |
где k – количество испытуемых;
n – количество измерений одного и того же признака Ri – суммы рангов для каждой серии наблюдений.
7 Определить уровни статистической значимости для Х2r эмп: 7.1 а при n=3, k ≤ 9 по таблице № 9 приложения;
бпри n=4, k ≤ 4 по таблице № 10 приложения.
Расположить уровень статистической значимости для Х2r эмп и уровни статистической значимости на оси значимости р=0,01 и р=0,05.
Если уровень статистической значимости для Х2r эмп находится в зоне незначимости, то принимается гипотеза Н0 об отсутствии различий. Если уровень статистической значимости для Х2r эмп находится в зоне значимости, то гипотеза об отсутствии различий Н0 отклоняется и принимается гипотеза Н1 о наличии различий. Если уровень статистической значимости для Х2r эмп находится в зоне неопределенности, то существует вероятность принятия ложного решения.
7.2При большем количестве наблюдений (респондентов) определить количество степеней свободы df по формуле: df n 1.
По таблице № 4 приложения определить критические значения ч2 |
1кр |
|
и ч2 |
2кр, которые отвечают уровням значимости в 5% и 1%, при дан- |
|
ном числе степеней свободы df. |
|
|
Расположить эмпирическое значение критерия Х2r эмп и критические значения ч2 1кр и ч2 2кр на оси значимости.
Если r2 эмп находится в зоне незначимости, то принимается гипотеза
Н0 об отсутствии различий. Если r2 эмп находится в зоне значимости, то гипотеза об отсутствии различий Н0 отклоняется и принимается гипотеза Н1 о наличии различий. Если r2 эмп находится в зоне неопределенности, то существует вероятность принятия ложного решения.
Пример. Чтобы понять, как влияет процесс обучения в вузе на уровень лидерских способностей, была применена диагностика Е. Жарикова и Е. Крушельницкойй на выборке студентов в количестве 5 человек. Данные студенты подвергались обследованию после окончания первого, второго и третьего года обучения. Количественные результаты диагностики представлены в таблице.
62
№ респондентов |
Уровень лидерских способностей |
||
|
|
|
|
по окончании первого года |
по окончании второго |
по окончании третьего |
|
обучения |
года обучения |
года обучения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
25 |
26 |
32 |
2 |
37 |
40 |
38 |
3 |
27 |
31 |
33 |
4 |
38 |
35 |
37 |
5 |
24 |
26 |
28 |
|
|
|
|
Можно ли утверждать, что уровень лидерских способностей различен при первичном, вторичном и последующих измерениях, проведенных после первого, второго и третьего годов обучения соответственно.
Сформулируем гипотезы:
Ho: в уровне лидерских способностей нет значимых различий при первичном, вторичном и последующих измерениях, проведенных после первого, второго и третьего годов обучения соответственно.
H1: уровень лидерских способностей различен при первичном, вторичном и последующих измерениях, проведенных после первого, второго и третьего годов обучения соответственно.
Проранжируем индивидуальные значения каждого респондента, полученные ими в 1- м, 2-м и 3-м измерениях уровня лидерских способностей.
№ |
респондентов |
|
по окончании первого го- |
по окончании второго |
по окончании третьего |
|||||||
|
|
да обучения |
|
|
года обучения |
|
года обучения |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
уровень лидерских |
Тi |
уровень лидер- |
Тi |
уровень лидерских |
Тi |
||||
|
|
|
способностей |
|
|
ских способностей |
|
способностей |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
25 |
|
1 |
26 |
2 |
32 |
3 |
||
|
2 |
|
|
37 |
|
1 |
40 |
3 |
38 |
2 |
||
|
3 |
|
|
27 |
|
1 |
31 |
2 |
33 |
3 |
||
|
4 |
|
|
38 |
|
3 |
35 |
1 |
37 |
2 |
||
|
5 |
|
|
24 |
|
1 |
26 |
2 |
28 |
3 |
||
суммы |
|
151 |
|
7 |
158 |
10 |
168 |
13 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Вычислим эмпирическое значение r2 : |
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
12 |
|
|
72 102 |
132 3 5 (3 1) 3,6. |
|
|
|
||
|
5 3 3 1 |
|
|
|
||||||||
r |
эмп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В данном примере рассматриваются: k = 5 (количество испытуемых) и n = 3 (количество измерений одного и того же признака), поэтому можно воспользоваться специальной таблицей x2r,аименнотаблицей№10приложения.
Уровень статистической значимости для Х2r эмп=3,6 равен р=0,185.
|
зона |
|
|
|
зона незначимости |
неопределенности |
зона |
||
|
|
|||
р=0,05 |
р=0,01 |
значимости |
||
р=0,185 |
||||
|
Х2r 1кр |
Х2r 2кр |
|
|
Х2r эмп=3,6 |
|
|||
63
Х2 находится в зоне незначимости, поэтому мы не можем отклонить Ho., то есть в уров-
не лидерских способностей нет значимых различий при первичном, вторичном и последующих измерениях, проведенных после первого, второго и третьего годов обучения соответственно.
3.9. КРИТЕРИЙ ТЕНДЕНЦИЙ ПЕЙДЖА
позволяет выявить
Критерий Пейджа
тенденции в изменении величин признака при переходе от условия к условию на основе измерений в трех или более условиях на одной и той же выборке испытуемых
Кртерий Пейджа включает следующие этапы:
1Определить признак, участвующий в сопоставлении (значения признака должны быть представлены не ниже интервальной шкалы).
2Провести белее двух измерений одного и того же признака на одной и той же выборке респондентов (не менее 2-х и не более 12 испытуемых, каждый из которых прошел не менее 3-х и не более 6 замеров).
3Сформулировать гипотезы:
H0 |
Увеличение индивидуальных показателей при переходе от первого ус- |
|
ловия ко второму, а затем к третьему и далее, случайно. |
H1 |
Увеличение индивидуальных показателей при переходе от первого ус- |
|
ловия ко второму, а затем к третьему и далее, неслучайно. |
4Проранжировать индивидуальные значения каждого респондента , полученные им в 1-м, 2-м, 3-м и т. д. измерений одного и того же признака.
5Подсчитать сумму рангов отдельно по каждой серии измерения признака.
6Проверить совпадение общей суммы рангов с расчетной суммой.
7Расположить все серии измерений в порядке возрастания их ранговых сумм в таблице.
8 |
k |
|
Вычислить эмпирическое значение L по формуле: Lэмп Ri i , |
|
i 1 |
|
где Ri – сумма рангов по данному условию; |
|
i – порядковый номер столбца, получившийся в новой таблице, |
|
упорядоченной по сумме рангов; |
|
k – число измерений. |
|
|
9Определить критические значения L1кр, L2кр и L3кр, которые отвечают уровням значимости в 5%, 1% и 0,1%, по таблице № 11 приложения.
64
10Расположить эмпирическое значение критерия Lэмп и критические значения L1кр, L2кр и L3кр на оси значимости.
11Если Lэмп находится в зоне незначимости, то принимается гипотеза Н0 об отсутствии различий. Если Lэмп находится в зоне значимости, то гипотеза об отсутствии различий Н0 отклоняется и принимается гипотеза Н1 о наличии различий. Если Lэмп находится в зоне неопределенности, то есть вероятность принятия ложного решения.
Пример. Пятерым испытуемым было предложено найти решение к трем задачам. В таблицеприведеныпоказателивременинахождениярешенияк1, 2и3задачам.
№ |
время, затраченное на поиск решения (мин) |
||
респондента |
Задача №1 |
Задача №2 |
Задача №3 |
1 |
15 |
18 |
30 |
2 |
17 |
19 |
15 |
3 |
20 |
22 |
28 |
4 |
25 |
28 |
43 |
5 |
38 |
25 |
40 |
∑ |
115 |
112 |
156 |
среднее время |
23 |
22,4 |
31,2 |
|
|
|
|
Можно ли утверждать, что нахождение решения к задачам увеличивается при такой последовательностиихпредъявленияреспондентам?
Сформулируем гипотезы:
Н0: Тенденция увеличения индивидуальных показателей от первого условия к третьему является случайной.
Н1: Тенденция увеличения индивидуальных показателей от первого условия к третьему не является случайной.
Среднее время поиска решения второй задачи меньше, чем первой. Однако, в гипотезе отражены не среднегрупповые тенденции, а степень совпадения индивидуальных тенденций (важен именно порядок, а не абсолютные показатели времени).
|
№ |
|
|
Задача №1 |
Задача №2 |
|
|
Задача №3 |
|
|
|||||
|
респондента |
|
время, затрачен- |
Ранг |
время, |
затра- |
Ранг |
Время, |
затрачен- |
Ранг |
|
||||
|
|
|
|
ное на |
поиск |
|
ченное на поиск |
|
ное на поиск ре- |
|
|
||||
|
|
|
|
решения |
|
|
решения |
|
|
шения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
15 |
|
1 |
18 |
|
2 |
|
30 |
|
3 |
|
||
|
2 |
|
17 |
|
2 |
19 |
|
3 |
|
15 |
|
1 |
|
||
|
3 |
|
20 |
|
1 |
22 |
|
2 |
|
28 |
|
3 |
|
||
|
4 |
|
25 |
|
1 |
28 |
|
2 |
|
43 |
|
3 |
|
||
|
5 |
|
38 |
|
2 |
25 |
|
1 |
|
40 |
|
3 |
|
||
|
∑ |
|
|
|
|
7 |
|
|
10 |
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общая |
|
|
сумма |
рангов: |
7+10+12=30 |
совпадает |
с |
расчетной |
||||||
Ri n |
k k 1 |
5 |
3 3 1 |
30. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вычислим эмпирическое значение L: Lэмп 7 1 10 2 13 3 46 .
65
По таблице № 12 приложения определяем критические значения L для данного количества испытуемых:n=5, и данного количества условий: k=3:
70 для |
р 0,001 ; |
|
|
|
||
|
68 для |
р 0,01; |
|
|
|
|
Lкр |
|
|
|
|||
|
66 для |
р 0,05. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
зона |
|
зона |
|
зона |
неопределенности |
|
||||
|
|
|
значимости |
|||
незначимости |
0,05 |
0,01 |
0,001 |
|||
|
||||||
|
|
|||||
|
|
. |
|
|||
Lэм=56 |
L1кр=66 |
L2кр=68 |
L2кр=70 |
|
||
Lэмп находится в зоне незначимости, поэтому мы не можем отклонить Ho., то есть увеличение индивидуальных показателей при переходе от первого условия ко второму, а затем к третьему случайно.
3.10. КРИТЕРИЙ ПИРСОНА
позволяет сравнить
Критерий Пирсона
эмпирическое распределение с теоретическим распределением
Критерий Пирсона включает следующие этапы:
1Определить признак, который необходимо исследовать (значения признака может быть представлены в любой шкале измерения).
2Провести наблюдение одной выборки респондентов объема n (Объем выборки должен быть больше 30):
x1, x2,…xi,…xn1 ,
где случайная переменная X характеризует состояние изучаемого свойства в рассматриваемой совокупности.
|
3 |
Сформулировать гипотезы: |
|
|
|
|
H0 |
Полученное эмпирическое распределение не отличатся от теоретическо- |
|
|
|
|
го распределения. |
|
|
|
H1 |
Полученное эмпирическое распределение отличатся от теоретического |
|
|
|
|
распределения. |
|
66
4Исходные выборочные данные сгруппировать и представить в виде:
аСтатистического ряда распределения частот (для нормального распределения):
|
|
|
|
|
|
|
Возможные варианты |
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
х2 |
|
.... |
|
|
|
xm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
эмпирическая частота |
|
k |
|
эмп |
|
k |
эмп |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эмп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.... |
|
эмп |
|
kiэмп n |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ki |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б Интервального статистического ряда распределения частот (для распре- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
деления случайной величины по равномерному закону, для нормального |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
распределения): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
элементы |
|
|
|
[x0; x1 ) |
|
[x1; x2 ) |
|
.... |
|
[xm-1;xm] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
эмпирическая частота |
|
|
|
эмп |
|
|
эмп |
|
.... |
|
|
|
эмп |
|
m |
|
эмп n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kiэмп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
km |
|
|
i 1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Частота для каждой ячейки таблицы должна быть больше 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
Для каждой ячейки вычислить теоретические частоты kiтеор |
(частоты, кото- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
рые |
следует ожидать, |
когда |
|
гипотеза |
H0 |
справедлива) |
|
по |
формуле: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
kтеор п р , где рi : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p р х X x |
|
Ф z |
|
|
Ф z , где |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
5.1 |
|
Для нормального распределения |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
i 1 |
|
|
|
0 i 1 |
|
|
0 i |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
, i |
|
, x – левый конец i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
интервала, значение z |
|
положить |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
i |
|
|
0;m |
0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zm положить равным . Значения Ф0 zi оп- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
равным , а значение |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ределить по таблице № 13 приложения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5.2 |
|
Для распределения случайной величины по равномерному закону, если |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
исходные выборочные данные сгруппировать и представить в виде: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
а |
|
статистического ряда распределения частот p р( Х х ) |
1 |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
т |
|
||||
|
|
|
|
|
б |
|
интервального |
статистического |
|
ряда |
распределения |
|
частот |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
pi рхi X |
xi 1 |
хi 1 xi |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
Вычислить значение 2 |
по формуле: |
2 |
|
|
m |
kiэмп |
kiтеор 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эмп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эмп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kiтеор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Для нахождения значения эмп2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
, данные можно записать в таблицу: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
элементы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
хi |
|
|
|
kiэмп |
|
|
kiтеор |
|
|
|
kiэмп kiтеор |
|
kiэмп kтеор |
|
|
kiэмп kiтеор |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
kiтеор |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67
7 Определить количество степеней свободы по формуле:
адля нормального распределения df=c-3;
б |
для распределения случайной величины по равномерному закону df=c-1, |
|
где c – число элементов в выборке. Если df=1, то внести поправку на «не- |
|
прерывность». |
8Определить критические значения χ21кр и χ22кр, которые отвечают уровням значимости в 5% и 1% по таблице № 4 приложения.
9Расположить эмпирическое значение критерия эмп2 и критические значения χ21кр и χ22кр на оси значимости.
10Если эмп2 находится в зоне незначимости, то принимается гипотеза Н0 об отсутствии различий. Если эмп2 находится в зоне значимости, то гипотеза об отсутствии различий Н0 отклоняется и принимается гипотеза Н1 о наличии различий. Если эмп2 находится в зоне неопределенности, то существует вероятность принятия ложного решения.
Пример. Имеются сгруппированные данные о количества баллов, набранных на тестировании по математике студентами:
элементы (хi) |
[40; 50) |
[50; 60) |
[60; 70) |
[70; 80) |
[80; 90) |
[90;100] |
эмпирическая частота (kiэмп) |
10 |
26 |
56 |
64 |
30 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
Требуется проверить гипотезу H0 : число баллов, набранных на тестировании, есть случайная величина, распределенная по нормальному закону. При альтернативной гипотезе H1: число баллов, набранных на тестировании, есть случайная величина, не распределенная по нормальному закону.
Для каждой ячейки необходимо вычислить теоретические частоты kiтеор по форму-
ле: kтеор п Ф |
z |
|
|
Ф |
z |
|
, где z |
|
|
xi |
x |
|
, i |
|
. |
|
|
|
|||||||
i |
1 |
i |
i |
|
1;m |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
i |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Для нахождения значения эмп2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
, данные запишем в таблицу: |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
элементы |
[40; 50) |
[50; 60) |
[60; 70) |
|
[70; 80) |
|
[80; 90) |
[90;100] |
∑ |
|||||||||||||||
|
|
хi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kiэмп |
|
10 |
|
|
26 |
|
|
56 |
|
|
64 |
|
30 |
14 |
200 |
|||||||||
Нормированные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
интервалы |
(-∞; -1,70) |
[-1,70; -0,86)[ |
-0,86; -0,08) |
|
[-0,08;0,73) |
[0,73; 1,54) |
[1,54;+ ∞) |
|
||||||||||||||||
|
zi |
; zi 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф0 zi 1 Ф0 zi |
0,045 |
|
0,142 |
|
0,281 |
|
|
0,299 |
|
0,171 |
0,062 |
1 |
|||||||||||||
|
kiтеор |
|
9 |
|
|
|
28,4 |
|
|
56,2 |
|
|
59,8 |
|
34,2 |
12,4 |
200 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
эмп |
теор |
|
1 |
|
|
|
-2,4 |
|
|
-0,2 |
|
|
4,2 |
|
-4,2 |
1,6 |
|
|||||||
|
ki |
ki |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kiэмп kiтеор 2 |
|
1 |
|
|
|
5,76 |
|
|
0,04 |
|
|
17,64 |
|
17,64 |
2,56 |
|
|||||||||
|
kэмп |
kтеор 2 |
|
0,11 |
|
|
0,20 |
|
|
0,00 |
|
|
0,29 |
|
0,52 |
0,21 |
1,33 |
||||||||
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kтеор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
68
эмп2 |
1,33. Количество степеней свободы при этом определяется по формуле: df=6-3=3. |
|||||
|
Определим по таблице № 4 приложения критические значения χ21кр и χ22кр, которые |
|||||
отвечают уровням значимости в 5% и 1%: |
|
|
||||
|
|
7 ,815 |
,для |
р 0,05 ; |
|
|
|
|
,для |
р 0,01 . |
|
|
|
|
кр |
11,345 |
|
|
||
|
|
|
|
зона |
|
|
|
|
зона |
|
неопределенности |
зона |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
незначимости |
0,05 |
0,01 |
значимости |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
χ2эм=1,33 χ21кр=7,815 |
χ22кр=11,345 |
|
|
Оснований для отклонения H0 нет, поэтому число баллов, набранных на тестировании, есть случайная величина, распределенная по нормальному закону.
позволяет сравнить
Критерий Пирсона
одно эмпирическое распределение с другим эмпирическим распределением
Критерий Пирсона включает следующие этапы:
1Определить признак, содержащий k разрядов, участвующий в сопоставлении (значения признака должны быть представлены не ниже порядковой шкалы).
2Произвести выборку двух групп респондентов.
3Провести две серии наблюдений на двух независимых выборках респондентов объема n1, и n2:
x1,x2,…xi,…xn1 ; y1, y2,…,yj,…, yn2 ,
где случайная переменная х характеризует состояние изучаемого свойства в одной из рассматриваемых совокупностей, а случайная переменная у – состояние того же свойства во второй совокупности (число членов в обеих выборках должно быть в сумме больше 40, т. е. n1 n2>40)
4 |
Сформулировать гипотезы: |
|
|
Н0 |
Законы распределения случайных величин X и Y одинаковы в обеих рас- |
|
Н1 |
сматриваемых совокупностях. |
|
Законы распределения случайных величин X и Y различны в обеих рас- |
|
|
|
сматриваемых совокупностях. |
5Распределить элементы каждой выборки объемов n1 и n2 на k категории, соответствующие разрядам исследуемого признака.
69