Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Всероссийский государственный университет кинематографии им. С.А. Герасимова "ВГИК"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

TVMS-3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

1.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

5.1.2. Д о п у с т и м ы й о б ъ е м в ы б о р к и д л я о б е с п е ч е н и я е е р е п р е з е н т а т и в н о с т и

Из теоремы Чебышева (4.3.2) следует, что если DX <B , то

P{| X −MX |<ε} .1− B ,

nε2

поэтому при объеме выборки

n >	B	(5.1.7))

(1−γ)ε2

с вероятностью, большей γ , выполняется неравенство | X −MX |<ε, т. е. гаран тируется меньшая, чем ε, ошибка репрезентативности при замене математи ческого ожидания MX выборочным средним X .

Пусть выборка состоит из n испытаний Бернулли, в которых произошло m успехов. Тогда выборочным аналогом вероятности успеха является отно% сительная частота

ˆp = m . n

Из теоремы Бернулли (4.3.4) следует, что


ˆ		p(1−p)		,
			nε2
P{\| p −p \|<ε}.1−
поэтому при объеме выборки
n >	p(1−p)			(5.1.8)
	(1−γ)ε2

с вероятностью, большей γ , выполняется неравенство ˆ|p −p| <ε, т. е. гаранти руется меньшая, чем ε, ошибка репрезентативности при замене вероятности

p относительной частотой ˆp . Поскольку для любых p [0,1]			p(1−p) <1/4 , то
при неизвестной p неравенство для n можно заменить на
1
n>		.	(5.1.9)
	4(1−γ)ε2
Если математическое ожидание случайной величины			X равно a , ее

среднее квадратичное отклонение равно σ, а объем выборки велик, то соглас но следствию (4.4.3) из центральной предельной теоремы

P{|

−MX |<ε} =

X −MX

=Φ0

−Φ0

−

=2Φ0

=P −

σ/ n

поэтому при объеме выборки

	Bu2
n >	γ/2	(5.1.10)
n >	ε2	(5.1.10)
	ε2

(где uγ/2 — такое число, что Φ0 (uγ/2 ) = γ/2 ) с вероятностью, большей γ, вы полняется неравенство | X −MX |<ε, т. е. гарантируется меньшая, чем ε, ошиб ка репрезентативности при замене математического ожидания MX выбороч ным средним X . Эту же формулу для объема выборки используют и в случае, когда n велико, и есть основания пользоваться центральной предельной тео ремой.

В частности, при большом числе испытаний Бернулли n и не очень малой вероятности p (такой, что np >10 ) в силу локальной и интегральной теорем Му авра — Лапласа (4.4.6)—(4.4.7) относительная частота ˆp имеет нормальный за

кон распределения с параметрами a =p, σ=				p(1−p)/n , поэтому при объеме
выборки
	u2	/2	p(1−p)
n >	γ	/2		(5.1.11)
n >			ε2	(5.1.11)
			ε2

(где uγ/2 — такое число, что Φ0 (uγ/2 ) = γ/2 ) с вероятностью, большей γ, вы полняется неравенство ˆ|p −p|<ε, т. е. гарантируется меньшая, чем ε, ошибка репрезентативности при замене вероятности p относительной частотой p .

Задачи

424.Дисперсия случайной величины X не превышает 10. Требуется

оценить	вероятность того, что отклонение выборочного среднего
16 000
X = ∑ Xi	16 000 , рассчитанного по 16 000 результатов наблюдений случай
i=1

ной величины (независимых, проведенных в одинаковых с вероятностной точ ки зрения условиях) от математического ожидания MX не превысит 0,25.

Решение.

По формуле

(5.1.7),

которой

n = 16 000,

B = 10,

ε=0,25 , получаем:

=0,99

P{| X −MX |<ε} .1−nε2 =1−

16 000 0,252

. Если обратить внимание на то, что n велико, то

0,25

согласно (5.1.10)

P{| X −MX |<ε} =2Φ0

.2Φ0

=2Φ0

=2Φ0 (10)

≈1 .

σ/

B /

10/16 000

425. В условиях задачи 424 требуется определить, сколько следует провести наблюдений, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, можно было утверждать, что ошибка репрезентативности при замене математического

ожидания MX выборочным средним X не превысит 0,2.

Решение.				По	формуле (5.1.7), в которой B =10, γ =0,99, ε=0,2 , получим:
n >	B	=		10		=0,99 . Предположив же нормальность распределения случайной
			(1−0,99)0,22
(1−γ)ε2

величины X и воспользовавшись формулой (5.1.10), в которой uγ/2 =u0,99/2 =u0,495 =2,55 [так как

Φ0	(2,55) =0,495 ], получим: n >	Buγ2	/2	=	10 2,552		=1625,6 — значительно меньше 25 000.
		ε2				0,22

426. Известно, что в среднем из каждой тысячи кредитов, выданных на развитие малого предпринимательства 30 не возвращаются. Определить, сколько нужно отобрать предприятий, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9,

можно было бы ожидать, что доля предприятий в выборке, не возвращающих кредиты, будет отличаться от доли аналогичных предприятий в генеральной совокупности меньше, чем на 0,01.

Решение. По формуле (5.1.8), в которой p=

=0,03, γ =0,9 , получаем: n >

p(1−p)

1000

(1−γ)ε2

0,03 0,97

. По формуле (5.1.11), учитывая, что u

= u

= 1,65 (так как

(1,65) =0,45 ),

(1−0,9)0,012

γ/2

0,9/2

0,45

n >

uγ2

/2p(1−p)

1,652 0,03 0,97

=792,25 При этом, поскольку

np >792,25 0,03

=23 >10 , есть

ε2

0,012

основания пользоваться теоремами Муавра — Лапласа. Таким образом, необходимо ото брать 793 предприятия.

427.Определить количество респондентов, которых необходимо опро сить, чтобы рейтинг Президента (доля граждан, поддерживающих Президен та), вычисленный по выборке, с вероятностью, не меньшей 0,99, отличался от истинного рейтинга президента для всех жителей страны не более чем на 5% по абсолютной величине.

428.Компания, управляющая зданиями, желает по выборке оценить среднюю стоимость эксплуатации квартир определенного типа с надежностью 99% и ошибкой репрезентативности ±10 ден. ед. Определить объем выборки, необходимой для такой оценки, если из подобного же исследования, проведен ного ранее, известно, что среднее квадратичное отклонение стоимости экс плуатации уне превышает 50 ден. ед.

5.1.3. О ц е н к а ф у н к ц и и р а с п р е д е л е н и я и п л о т н о с т и р а с п р е д е л е н и я

Расположив элементы выборки в порядке неубывания, получим вариаци% онный ряд. Далее будем считать, что именно в таком порядке уже расставлены выборочные наблюдения. Выборочной случайной величиной называется при

этом дискретная случайная величина X , задаваемая рядом распределения

	X		x′	x′	x′
			1	2	l	(5.1.12)
	p		ˆp	ˆp	ˆp

			1	2	l
в котором xi′ (i =1, 2,…, l) — это варианты1					(расположенные по возрастанию
различные элементы выборки),			ˆ	=mi /n	(i =1, 2,…, l) — отвечающие этим
		а pi

значениям относительные частоты (здесь mi — частота варианты xi′ , т. е. количество ее появлений в статистическом ряде распределения). При этом,

очевидно, n =∑mi .

i=1

Иногда ряд распределения (5.1.12) выборочной случайной величины на зывают статистическим рядом распределения.

Выборочное среднее и выборочную дисперсию можно при этом вычис лить по формулам

∑xi

′

∑x′i mi

i=1

x =

=∑xˆi pi =

;

(5.1.13)

i=1

∑

(x′

∑

−

(5.1.14)

ˆσ

−x)ˆp

(x′)ˆp

(x) .

i i

i=1

Для н е п р е р ы в н ы х случайных величин при достаточно больших объе мах выборки n вместо выборочной случайной величиины используют интер% вальный вариационный ряд

	X	[a1; a2 ) [a2; a3 )			[aν; aν+1)
						(5.1.15)
	p	ˆp		ˆp
					ˆp
		1	2		ν
Ширина интервала
		∆=		x(max) −x(min)	(5.1.16)

			1+3,322lg n

(здесь x(min) — минимальный элемент выборки, а x(max) — максимальный, расчет

∆ производится с числом знаков после запятой, на один большим, чем в исход ных данных). Границы интервалов [aj ; aj+1) рассчитываются по правилу:

a1 =x(min) −∆/2, a2 =a1 +∆, a3 =a2 +∆,…; формирование интервалов заканчива

1 Варианта — слово женского рода.

ется, как только для конца aν+1 очередного интервала выполняется условие

a	ν+1	>x	. Значения ˆp	=m		/n — это выборочные интервальные относи%
		(max)	i		i
тельные			частоты: mi		— число вариант, попавших в i й интервал
( i =1, 2,…, ν).

По интервальному вариационному ряду (5.1.15) оценки математического ожидания и дисперсии вычисляются точно так же, как и по статистическому ряду распределения, при этом xi′ =(ai +ai+1)/2 и, например, выборочное сред нее можно рассчитывать по формуле (5.1.13), а выборочную дисперсию — по формуле (5.1.14).

Выборочным аналогом плотности распределения fX (x)	случайной вели
чины X служит выборочная плотность распределения, рассчитываемая по
интервальному вариационному ряду как
ˆ	(5.1.17)
f X (x) =pi /∆ при x (ai ;ai+1), i =1, 2,…, ν ,	(5.1.17)

график этой функции называется гистограммой; ломаная с вершинами в точках (xi′;ˆpi /∆), где через xi′ =(ai +ai+1)/2 обозначены середины интервалов

— полигоном частот, а фигура, состоящая из прямоугольников, в основании которых лежат интервалы группирования (aj; aj + 1), а высотами являются значе ния ˆfX (xj′) , называется гистограммой. Кривая распределения относительных

( ˆ )

частот — это ломаная с вершинами ai+1, fX (ai+1) .

По выборочной плотности распределения легко построить выборочную функцию распределения

		x <a1,
0,		x <a1,

i	ˆ ,
	ˆ ,	ai <x -ai+1 (i =1, 2,…, ν),	(5.1.18)
FX (x) = ∑pk		ai <x -ai+1 (i =1, 2,…, ν),	(5.1.18)

k=1
		x >aν+1,
1,		x >aν+1,

при этом ломаная с вершинами в точках (xi′; ∑νˆpi )называется кумулятой.

i=1

По интервальному вариационному можно вычислить оценку медианы случайной величины X — выборочную медиану

		ˆ
ˆx	=a +∆	0,5−F(al )	,	(5.1.19)
ˆx	=a +∆		,	(5.1.19)
med	l	ˆp
med		ˆp
		l

где al — начало медианного интервала, т. е. такого интервала группирования

ˆ	ˆ
(al; al + 1), что F(al ) <0,5	, а F(al+1) .0,5 , а также оценку моды случайной величи
ны X — выборочную моду
	ˆx =am	+∆	ˆp −ˆp			,	(5.1.20)
	ˆx =am	+∆		m	m−1	,	(5.1.20)
				m	m−1
	mod		2ˆp	−ˆp	−ˆp
			m	m−1	m+1

где am — начало модального интервала, т. е. такого интервала группирования
(a ; a ), чтоˆp		= maxˆp
m m + 1	m	i=1,2,…,ν i

В пакете Microsoft Excel существует надстройка «Анализ данных», в кото рой реализовано автоматизированное решение многих статистических задач. Эта надстройка состоит из нескольких десятков программ, например, для рас чета интервальных частот и построения полигона, гистограммы и кумуляты, можно воспользоваться программой «Гистограмма» из надстройки «Анализ данных» Microsoft Excel.

Пример использования надстройки «Анализ данных» пакета Microsoft Excel (и, в частности, программы «Гистограмма»)разобран в задаче 432.

Задачи

429.Ежедневные суммарные денежные вклады населения (в тыс. руб.)

вотделение банка в течение последних 20 рабочих дней были такими: 60; 20; 70; 70; 30; 20; 50; 50; 40; 60; 30; 40; 30; 50; 50; 60; 50; 60; 40; 40. Построить вариа ционный ряд, статистический ряд распределения, полигон частот, гистограм му, кумуляту, оценить средний суммарный дневной вклад и его среднее квад ратичное отклонение.

Решение. Расположив элементы выборки в порядке возрастания, получим вариацион ный ряд:

20; 20; 30; 30; 30; 40; 40; 40; 40; 50; 50; 50; 50; 50; 60; 60; 60; 60; 70; 70.

Построим теперь статистический ряд распределения (5.1.12):

X	20	30	40	50	60	70	или	X	20	30	40	50	60	70


	2	3	4	5	4	2
p								p	0,10	0,15	0,20	0,25	0,20	0,10

	20	20	20	20	20	20

Средний суммарный дневной вклад оценим с помощью выборочного среднего (5.1.13):

	x = ∑xi′pi			= 20	2 +30 3 +40 4 +50 5 +60											4	+70 2 = 920 =46 ,
			l

		i=1			20			20			20			20		20	20		20
а дисперсию — с помощью выборочной дисперсии (5.1.14):
2		k	′ 2	k		′	2			2			3			4		5		4
2		k	′ 2	k		′				2			3			4		5		4
ˆσ = ∑			(xi )ˆpi	− ∑xˆi pi				=400			+900				+1600		+2500		+3600		+
ˆσ = ∑			(xi )ˆpi	− ∑xˆi pi				=400		20	+900		20		+1600	20	+2500	20	+3600	20	+
X		i=1		(i=1			)			20			20			20		20		20
			+4900			2	−462 =		46600			−2116 =2330−2116 =214,
			+4900				−462 =					−2116 =2330−2116 =214,
					20					20

при этом выборочное σX = 214 =14,63 .

430. Построить интервальный вариационный ряд, полигон частот, гис тограмму и кумуляту, оценить средний рост студента и его среднее квадра тичное отклонение по данным о росте 30 студентов (в см): 182; 171; 186; 175; 188; 177; 176; 178; 183; 187; 167; 180; 182; 179; 176; 179; 172; 173; 183; 168; 180; 179; 172; 177; 175; 173; 189; 176; 190,5; 172.

Решение. Определим длину интервала по формуле (5.1.16):
					x′		−x′			190,6	−167	≈4,00 .
				∆≈	(max)			(min)	=	190,6	−167
				∆≈					=
					1+3,322lg30 1+3,322lg30
При этом интервальный вариационный ряд (5.1.15) будет иметь вид
	X		[169;173)			[173;177)			[177;181)		[181;185)		[185;189)	[189;193)
	X	[165;169)	[169;173)			[173;177)			[177;181)		[181;185)		[185;189)	[189;193)

	p	2	4				7			8	4		3	2

		30	30				30			30	30		30	30
		30	30				30			30	30		30	30

Теперь по интервальному вариационному ряду построим выборочную плотность рас пределения (5.1.17) и выборочную функцию распределения (5.1.18):

			x <165,				x <165,
	0,		x <165,	0,			x <165,


		2			2
		2	, 165 <x <169,		2			<x <169,
						,	165
						,	165

	4 30			120

		4			4
		4			4
			, 169 <x <173,			,	169	<x <173,
			, 169 <x <173,			,	169	<x <173,

	4 30			120

		7			7
		7			7
			, 173 <x <177,			, 173 <x <177,
		4 30	, 173 <x <177,			, 173 <x <177,
		4 30		120

		8			8
		8			8
f	(x)=		, 177 <x <181,=			,	177	<x <181,
f	(x)=	4 30	, 177 <x <181,=			,	177	<x <181,
X		4 30		120


		4			4
		4	, 181<x <185,		4			<x <185,
						,	181
						,	181

	4 30			120

		3			3
		3			3
			, 185 <x <189,			,	185	<x <189,
			, 185 <x <189,			,	185	<x <189,

	4 30			120

		2			2
		2			2
			, 189 <x <193,			, 189 <x <193,
		4 30	, 189 <x <193,			, 189 <x <193,
		4 30		120

			x >193				x >193,
	0,		x >193	0,			x >193,

															x -165,
	0,														x -165,

																			x -165,
	2															0,			x -165,
															165 <x -169,
			,												165 <x -169,
																	2
	30																2		165 <x -169,
																		,
																		,
				4
	2			4											169 <x -173,	30
			+		,
			+		,
				30
	30			30												6			169 <x -173,

																	,
				4		7											,
	2			4		7										30
			+		+		,								173 <x -177,

				30		30
	30			30		30										13
																			173 <x -177,
																	,		173 <x -177,
f (x)=		2	+	4	+	7	+	8	,						177 <x -181,	= 30
f (x)=																= 30
X
				30		30		30									21
	30			30		30		30									21		177 <x -181,
																		,
																		,
				4		7		8		4
	2		+	4	+	7	+	8	+	4					181<x -185,	30
											,
											,
				30		30		30		30
	30			30		30		30		30						25			181<x -185,
																		,
																		,
				4		7		8		4		3
	2			4		7		8		4		3			185 <x -189,	30
			+		+		+		+		+		,

				30		30		30		30		30
	30			30		30		30		30		30				28			185 <x -189,

				4		7		8		4		3		2			,
	2			4		7		8		4		3		2		30
															189 <x -193,
			+	30	+	30	+	30	+	30	+	30	+ ,		189 <x -193,				x >193.
	30			30		30		30		30		30		30		1,			x >193.

															x >193,
	1,														x >193,

Гистограмма (тонкая линия) и полигон частот (полужирная линия) представлены на рис. 5.1.2 а, а кумулята — на рис. 5.1.2, б соответственно. По их внешнему виду можно пред положить, что рост студента подчиняется нормальному закону распределения.

			Средний рост студента оценим с помощью выборочного среднего (5.1.13)
					k				ˆ′				2								4					7				8				4			3					2					535		1
		x	= ∑xi pi =167														+171							+175			+179				+183				+187				+191					=				=178		,
		x	= ∑xi pi =167										30				+171				30			+175		30	+179			30	+183			30	+187		30		+191					=			3	=178		,
					i=1								30								30					30				30				30			30				30						3		3
																																							2		k				2			k		2
																																							2					′	2				′
при				этом					выборочная												дисперсия																		X	=	∑			′	)		i	∑	′		=
																																							X		∑			i			i	∑	i	i
																												(5.1.14) составит ˆσ														(x				ˆp −			xˆp
																																									i=1							i=1
=27889						2		+29241				4			+30625							7			+32041			8	+33489			4	+34969			3		+36481					2								–
=27889								+29241							+30625										+32041				+33489				+34969					+36481					30								–
					30						30										30						30				30				30								30
	535			2			95527				286225									356

−	3				=				3	−			9					=		9			, и оценка среднего квадратичного отклонения роста студен
	3								3				9							9
та будет равнаˆσ											=			356					≈6,29 .
та будет равнаˆσ											=								≈6,29 .
										X						9
																9

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2019111.1 Кб11tezisy_obs_kurs_gudkov.doc
#
10.11.201941.37 Кб9THE FILM PRODUCER..docx
#
13.02.201573.22 Кб68THE FILM PRODUCER1.doc
#
13.02.201597.28 Кб19Tonya_IYuL.doc
#
11.03.20164.8 Mб49Torelli_-_FinalCut_Pro.pdf
#
13.02.20151.83 Mб89TVMS-3.pdf
#
09.11.201857.86 Кб11uridp330.doc
#
13.02.2015160.8 Кб53VGIK_02_Block_Artemov-1_ OK.pdf
#
13.02.2015413.7 Кб219VGUK_-_PROGRAMMA-METODIChESKOE_POSOBIEdlya_4k.doc
#
13.02.201539.94 Кб43vopr-color.doc
#
13.02.201515.91 Кб30Voprosy_k_ekzamenu.docx