Молекулярная физика

объеме I равна V1 = V − λ ∆∆Vx и в элементарном объеме II:

V2 = V + λ ∆∆Vx . Отсюда нетрудно вычислить количество

движения, переносимое молекулами справа и слева через площадку dS за время dt:

Так как скорости V1 и V2 неодинаковы, получится избыток количества движения, переносимого через площадку dS:

Произведение массы молекулы на число молекул в единице объема есть масса единицы объема, т.е. плотность газа ρ = m n. Отсюда получается окончательное уравнение в следующем виде:

где η= 13 ρ c λ - коэффициент вязкости. Уравнение (6) на-

зывается уравнением вязкости или уравнением переноса количества движения. В системе СИ размерность [η] Па с.

В данной работе коэффициент вязкости η воздуха определяется путем исследования ламинарного движения потока воздуха через тонкий капилляр. Если предположить постоянство плотности воздуха по всей длине капилляра, то, пользуясь уравнением вязкости (6), можно получить формулу, связывающую коэффициент вязкости с параметрами капилляра, разностью давлений на его концах (Р1–Р2), временем истечения t и объемом вытекающего газа V за

41

Однако по мере вытекания воздуха перепад давлений будет меняться. Поэтому лучше подставить в формулу Пуазейля средний перепад давления ∆PСр, причем для простоты при небольшом ущербе для точности можно взять среднее арифметическое значение ∆Р: ∆РСр= (∆Р0 - ∆Рt)/2, где ∆Р0 - перепад давлений в начале отсчета времени, ∆Рt - перепад давлений в конце отсчета, равный ∆Pt = (h2 S ρ g)/2, ρ - плотность жидкости, g - ускорение силы тяжести. Таким образом, выражение для среднего давления за время опыта примет такой вид:

С учетом этого выражение (8) примет вид:

Таким образом, для экспериментального определения коэффициента вязкости нужно измерить:

1)h1 , h2 - разность уровней жидкости в манометре в начале и в конце опыта;

2)l - длину капилляра;

3)t - время наблюдения;

4)R - радиус капилляра.

Для измерения диаметров трубки и капилляра используются прилагаемые к установке коротенькие кусочки этого капилляра и этой же трубки. Диаметр капилляра измеряется с помощью микроскопа, диаметр трубки манометра - с помощью компаратора (микрометра). Опыт провести не менее 5 раз. Результаты измерений занести в таблицу.

Таблица

№ опыта h1, м h2, м l, м t, с R, м η, кг/с м Примечание

1

2

3

4

5

Среднее

значение

Подсчитать абсолютную и относительную погрешности в определении коэффициента вязкости.

Литература

1.Савельев И.В. Курс общей физики. Т. I. - M.: Наука, 1977. § 128, 129, 130.

2.Кикоин А.К., Кикоин И.К. Молекулярная физика. - М.:

Наука, 1976. § 35, 36, 48, 49, 50.

3.Грабовский Р.И. Курс физики. - М.: Высшая школа, 1980. § 48-52.

4.Мэрион Дж.Б. Общая физика с биологическими примерами. - М.: Высшая школа, 1986. Гл. 7, 8, 9.

Для получения зачета необходимо

1.Продемонстрировать умение определять коэффициент вязкости воздуха с помощью U-образного манометра.

2.Представить отчет по установленной форме.

3.Уметь отвечать на вопросы типа:

а) Выведите формулу Пуазейля для газов.

б) Почему коэффициент внутреннего трения жидкостей убывает с понижением температуры, а у газов - возрастает?

в) Чем обусловлен знак "минус" в правой части уравнения переноса (внутреннего трения)?

г) Чем обусловлено внутреннее трение в газе?

д) Как зависит от времени сила внутреннего трения в

газе?

е) Зависит ли от давления коэффициент вязкости? ж) Чему равно отношение коэффициента теплопро-

водности к коэффициенту внутреннего трения?

з) Два твердых тела имеют одинаковые размеры и форму, но различны по плотности, сопротивление же воздуха действует на них одинаково. Покажите, что, если, находясь на одинаковой высоте, они освободятся от связей одновременно, то более тяжелое тело достигнет Земли первым.

Дополнительные вопросы для студентов факультетов химии, биологии, института естествознания

1.Известно, что воздух состоит из смеси газов. Дайте характеристику этих газов. Что следует понимать под η?

2.Какое течение называется ламинарным?

3.При чуме артерия сужается и ее эффективный радиус уменьшается на 20%. За счет чего можно понизить давление, чтобы поддержать прежний поток крови?

Работа № 13. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА

ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ СТОКСА

Цель работы: экспериментально определить коэффициент вязкости неизвестной жидкости, используя метод падающего шарика.

Принадлежности: стеклянный цилиндр на подставке с исследуемой жидкостью, микрометр, набор шариков, пинцет, торсионные весы, масштабная линейка, секундомер.

Вопросы, знание которых обязательно для допуска

квыполнению работы

1.Чем, по представлениям молекулярно-кинетической теории строения вещества, объясняется различие между газом и жидкостью?

2.В чем отличие реальной жидкости от идеальной?

3.Объясните молекулярно-кинетический механизм вязкости.

4.В каких единицах измеряется коэффициент вязкости?

5.От чего зависит коэффициент вязкости?

6.Каким уравнением описывается сила внутреннего трения между слоями жидкости, движущимися с разными скоростями?

7.Сформулируйте законы Стокса и Пуазейля.

8.Применимы ли уравнения переноса, полученные для газа и для жидкости?

9.Каков физический смысл коэффициента вязкости?

10.Знать порядок выполнения работы.

В в е д е н и е

Рассмотрим механизм возникновения внутреннего трения (вязкости) в жидкостях. Молекулы в жидкостях, ин-

ре удаления от дна скорость слоев жидкости нарастает (v1<v2<v3<v4<v5<v6). Максимальная скорость будет у слоя, который граничит с воздухом. Слои воздействуют друг на друга. Более быстрый слой ускоряет соседний с ним более медленный и, наоборот, более медленный задерживает более быстрый.

Вязкость проявляется в форме силы, препятствующей относительному движению слоев жидкости, касательной к слоям. Сила внутреннего трения, действующая между двумя слоями, пропорциональна площади соприкосновения

взаимодействующих слоев и тем больше, чем больше их относительная скорость. Принято выражать силу в зависимости от изменения скорости, приходящегося на единицу длины в направлении, перпендикулярном скорости, т.е. от величины dv/dy, называемой градиентом скорости (формула Ньютона):

Величина η называется коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом динамической вязкости. Если в

(1) положить численно dv/dy = 1 и S = 1, то η = F, т.е. коэффициент динамической вязкости численно равен силе внутреннего трения, возникающей на каждой единице поверхности соприкосновения двух слоев, движущихся один относительно другого с градиентом скорости, равным единице. В системе СИ η измеряется в Па с. Это такая вязкость, при которой на слой площадью в 1 м2 действует сила в 1 Н при градиенте скорости 1 м/с на каждый метр длины.

Из молекулярно-кинетической теории следует, что существование внутреннего трения связано с переносом количества движения молекулами из слоя в слой вследствие теплового движения. В газах перенос количества движения происходит при переходе молекул из одного слоя в другой, что и определяет внутреннее трение между слоями. В жидкостях молекулы большую часть времени находятся около положения равновесия и этот механизм играет незначительную роль. Основной причиной возникновения сил трения в жидкостях является сильное взаимодействие между молекулами отдельных слоев. Движущийся слой жидкости увлекает соседние слои в основном за счет сил сцепления. Коэффициент вязкости жидкости зависит от природы жидкости и от температуры. С ростом температуры коэффициент вязкости жидкости уменьшается (у

газов возрастает). Зависимость его от температуры жидкости дается формулой Френкеля:

здесь B - константа, k - постоянная Больцмана, Е - энергия активации: минимальная энергия, необходимая молекуле для преодоления сил взаимодействия с ближайшим окружением и перескока в новое положение равновесия. Величина Е ~ (2-3)*10-20 Дж, поэтому при нагревании жидкости на 10 градусов вязкость падает на 20-30%. В таблице 1 приведены некоторые характерные значения вязкости.

Коэффициент вязкости жидкости может быть определен методом падающего шарика в вязкой среде (метод Стокса).

Рассмотрим свободное падение тела (в нашем случае - свинцового шарика) в вязкой покоящейся жидкости, простирающейся безгранично по всем направлениям. На шарик, свободно падающий в такой жидкости, не оставляющий за собой никаких завихрений (это реализуется при малых скоростях падения шариков малых размеров), действуют три силы:

49

жения шарика возрастает, но по мере увеличения скорости шарика сила сопротивления F2 будет также возрастать и, наконец, наступит такой момент, когда сила тяжести Р будет уравновешена суммой F1 и F2 и ускорение обратится в ноль:

Формула (8) справедлива, если шарик падает в жидкости, простирающейся безгранично по всем направлениям. Практически невозможно осуществить падение шарика в безграничной среде, так как жидкость всегда находится в каком-то сосуде, имеющем стенки и определенную высоту столба. Если шарик падает вдоль оси цилиндрического сосуда радиуса R с высотой жидкости h, то учет наличия стенок и высоты дает следующее выражение для η:

Вопрос о том, какой формулой пользоваться при расчете, решается в зависимости от величины соотношения r/R и r/h. При движении шарика по оси цилиндра и при соотношении r/R = 1/10 различие в значениях η, полученных по формулам (8) и (9), составляет около 25%.

Порядок выполнения работы

Прибор для определения вязкости жидкости по методу Стокса представляет собой стеклянный цилиндр, запол-

ненный испытуемой жидкостью. На цилиндр наносятся две метки - резиновые кольца (рис. 2, а, б). Верхняя метка отмечает начало равномерного движения шарика. Цилиндр закрыт крышкой, имеющей отверстия в середине и около стенки, через которые бросают шарики.

При определении коэффициента внутреннего трения жидкости по методу падающего шарика рекомендуется следующий порядок выполнения работы:

1.Определите плотность жидкости ρ1 при помощи ареометра. Для этого на рабочем месте, помимо описанного цилиндра, имеется стеклянный цилиндр меньшего размера, наполненный исследуемой жидкостью, в который опускается ареометр. Измерьте температуру жидкости.

2.Определите вес шарика на торсионных весах.

3.Микрометром измерьте диаметр шарика (не менее трех раз).

4.Определите плотность вещества, из которого сде-

лан шарик ρ2. Плотность шарика можно найти, разделив его массу на объем.

Если плотности жидкости и шарика известны, то задания 1,2, 4 выполняют по требованию преподавателя.

5.Измерьте расстояние l между метками a и б. (По заданию преподавателя положение метки б можно менять в процессе выполнения работы).

6.Пинцетом опустите шарик через отверстие в крышке в жидкость. После установления равномерного движения измеряют время t, за которое шарик проходит расстояние l между метками. В момент прохождения верхней метки запустите секундомер, а в момент прохождения нижней - выключите его. Во избежание ошибки на параллакс глаз наблюдателя должен быть установлен в плоскости этой метки (при этом мы видим прямую линию). Рассчитайте значение vo.

7.Измерение η проведите с 6 шариками (3 большими

и 3 маленькими). Результаты измерений занесите в таблицу

2.Произведите расчет η по формуле (8). Рассчитайте ηср.

8.Для каждого значения η определите абсолютную

погрешность ∆η, как разность между ηср и данными значениями η, а затем вычислите ∆ηср. Необходимо определить также относительную погрешность в определении η.

Таблица 2

Коэффициент внутреннего трения сильно зависит от температуры. Но так как количество жидкости в цилиндре довольно велико, а измерения происходят быстро, температура жидкости за время измерений практически не успевает измениться. Поэтому определение η по методу Стокса при комнатной температуре может производиться без термостатирования прибора, но в отчете следует указать, при какой температуре производились измерения.

Литература

1.Савельев И.В. Курс общей физики. Т.I. - М.: Наука, 1987.

2.Архангельский М.М. Курс физики (механика). - М.: Просвещение, 1975. Гл. ХШ.

3.Грабовский Р.И. Курс физики. - М.: Высшая школа, 1980. § 60.

4.Мэрион Дж.Б. Общая физика с биологическими примерами. - М.: Высшая школа, 1986. Гл. 7.

Для получения зачета необходимо

1.Продемонстрировать умение определять коэффициент вязкости жидкости по методу Стокса.

2.Представить отчет по установленной форме.

3.Уметь отвечать на вопросы типа:

а) Какие силы действуют на шарик, падающий в жидкости?

б) Почему, начиная с некоторого момента времени, шарик движется равномерно?

в) Объясните, почему скорость тела, падающего с большой высоты, не превышает определенного установившегося значения?

г) Как изменится скорость движения шарика с увеличением его диаметра?

д) Рассчитайте коэффициент вязкости по формуле (9). Сравните полученный результат с вашими данными. Нужно ли вводить поправочный коэффициент в формулу (8) в ваших измерениях?

е) От чего зависит сила сопротивления движению шарика в жидкости?

ж) Для каких тел и какого движения справедлива формула Стокса?

з) Почему скорость слоя жидкости, прилегающего к цилиндру, равна нулю?

и) В чем состоит характерная особенность турбулентного движения жидкости (отличающая его от ламинарного движения)?

Дополнительные вопросы для студентов факультета технологии и предпринимательства

1.Из каких компонентов складывается сила лобового сопротивления?

2.С помощью каких характеристик определяют поведение динамической системы?

Дополнительные вопросы для студентов факультетов химии, биологии, института естествознания

1.Охарактеризуйте течение крови через артерию с точки зрения течения вязкой жидкости.

2.Известно, что наиболее распространенной причиной грудной жабы является атеросклероз, повреждение артерий. Рассмотрите эту болезнь, ее последствия и способы лечения с точки зрения физики течения вязкой жидкости.

3.Как меняется вязкость жидкости с изменением температуры?

Работа № 14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА

ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ ОТРЫВА КОЛЬЦА

Цель работы: используя метод отрыва кольца, определить экспериментально коэффициент поверхностного натяжения исследуемых жидкостей.

Принадлежности: прибор для определения коэффициента поверхностного натяжения жидкостей, штангенциркуль, набор разновесов, пинцет, термометр, набор исследуемых жидкостей.

Вопросы, знание которых обязательно для допуска

квыполнению работы

1.Каково строение жидкости согласно молекулярной теории?

2.Объясните, что значит "ближний порядок".

3.Что такое поверхностный слой жидкости? Почему он обладает свойствами, отличными от свойств остальной массы жидкости?

4.Что такое поверхностное натяжение? По какому направлению действует сила поверхностного натяжения?

5.Что называется коэффициентом поверхностного натяжения жидкости? В каких единицах он выражается? (Дать два определения: силовое и энергетическое).

6.Как зависит коэффициент поверхностного натяжения жидкости от температуры? Объясните ответ.

7.Можно ли определить коэффициент поверхностного натяжения, если жидкость не смачивает кольцо?

8.В чем заключается метод отрыва кольца при определении коэффициента поверхностного натяжения?

В в е д е н и е

Жидкое состояние является промежуточным между твердой и газообразной фазами. Характер теплового движения молекул в жидкостях существенно отличается от движения молекул как в газах, так и в твердых телах. В газах среднее расстояние между соседними молекулами значительно больше их диаметра. Поэтому при тепловом движении молекулы движутся хаотически. В твердых кристаллических телах молекулы расположены в правильном периодическом порядке и составляют кристаллическую решетку. Этот порядок сохраняется на далекие расстояния (миллионы молекулярных расстояний). Такой порядок называется "дальним порядком". Тепловое движение молекул в твердых телах сводится к их колебаниям около положения равновесия. В жидкостях расстояние между соседними молекулами несколько больше, чем у кристаллов, в связи с чем молекулы жидкости могут отходить от своих правильных положений, расстраивая идеальный порядок, свойственный кристаллам. Молекулы жидкости связаны силами Ван-дер-Ваальса, которые, с одной стороны, недостаточны для осуществления постоянной и прочной структуры, однако, с другой стороны, под их действием молекулы уже не могут сохранять той самостоятельности и подвижности, которые характерны для газов. Тепловое движение молекул в жидкости сводится к тому, что они большую часть времени колеблются около своих положений равновесия. С увеличением температуры возрастает амплитуда колебаний, а также частота перескоков в новое состояние равновесия. Поскольку расстояния между соседними молекулами в жидкости все-таки малы, то в жидкости сохраняется так называемый "ближний порядок", т.е. порядок в расположении ближайших соседей какой-либо молекулы. Этот порядок размывается по мере удаления от данной молекулы, иными словами, силы сцепления молекул весьма быст-

ро убывают с увеличением расстояния между молекулами. На расстоянии 10-7 см силы становятся столь незначительными, что ими можно пренебречь. Это предельное расстояние называется радиусом молекулярного действия.

Поверхностный слой жидкости обладает свойством сокращаться. Этим объясняется тот факт, что жидкость, свободная от действия других сил, принимает форму шара (форму с минимальной поверхностью). Особенности поверхностного слоя можно объяснить с двух позиций: 1 - энергетической и 2 - динамической.

1.Молекулы жидкости, выходя на поверхность, совершают работу против сил (со стороны остальных молекул), стремящихся вернуть молекулы обратно внутрь жидкости. Эта работа переходит в запас потенциальной энергии молекулы поверхностного слоя. Поверхностный слой обладает запасом потенциальной энергии, пропорциональной размерам поверхности. Любая система стремится к такому состоянию, при котором ее потенциальная энергия поверхностного слоя будет минимальна, т.е. принимает форму с минимальной энергией. Если над жидкостью имеются пары, то работа выхода молекулы на поверхность будет уменьшаться с ростом упругости пара (т.е. с ростом температуры). При критической температуре, когда плотности жидкости и пара неразличимы, работа выхода молекулы равна нулю: поверхностного слоя нет.

2.Если молекула занимает положение I, при котором вся сфера ее действия заполнена другими молекулами той же жидкости, то относительно молекулярных сил, действующих на нее, она находится в равновесии, так как равномерно притягивается во все стороны. Это равновесие нарушается, когда молекула находится у поверхности жидкости на глубине, меньшей радиуса молекулярного действия (например, молекула II на рис. 1). На молекулу поверхностного слоя действуют молекулы жидкости и пара, причем

со стороны пара эти силы невелики, так как плотность пара (а следовательно, концентрация молекул) меньше, чем у жидкости. Каждую силу можно разложить на две составляющие: по нормали к поверхности и вдоль последней. Сумма составляющих сил, направленных перпендикулярно поверхности, определит силу давления поверхностного слоя на жидкость; сумма касательных составляющих дает силу, действующую вдоль поверхности жидкости. Силы, действующие по касательной, называют силами поверхностного натяжения. Именно они обусловливают сокращение поверхности. Эта сила пропорциональна числу молекул, прилегающих к контуру, которое, в свою очередь, пропорционально длине контура.

Рис. 1

Для количественной характеристики силы поверхностного натяжения жидкости вводится коэффициент поверхностного натяжения σ, который численно равен силе F , действующей на единицу длины произвольной линии l, мысленно проведенной на поверхности жидкости:

Коэффициент поверхностного натяжения σ зависит от рода жидкости, температуры (уменьшается с ростом последней), от степени чистоты поверхности, меняясь от малейшего загрязнения. Выражение для определения σ мож-

но представить и в несколько иной форме. Если числитель и знаменатель в (1) умножим на l , то получим

В этом случае коэффициент поверхностного натяжения σ численно равен работе, которую нужно затратить для увеличения поверхности жидкости на единицу площади. В системе СИ коэффициент поверхностного натяжения σ измеряется в Н м-1 или в Дж м-2.

Существует много способов определения величины коэффициента поверхностного натяжения. В настоящей работе предлагается определить коэффициент поверхностного натяжения для воды и мыльного раствора методом отрыва кольца.

Сущность метода состоит в том, что поверхностное натяжение можно определить путем измерения силы, которую нужно приложить перпендикулярно к поверхности жидкости для отрыва кольца от этой поверхности. Поскольку отрываемое кольцо смачивается жидкостью, то вместе с ним поднимается количество жидкости, т.е. будет увеличиваться свободная поверхность жидкости. Вследст-

сти между кольцом и поверхностью воды образуется пленка. Внешняя поверхность этой пленки тянет кольцо вниз с силой σ π D, внутренняя поверхность также тянет вниз с силой σ π (D-2d).