Лекция Линейные пространства 2 13.05.20 МО-1

Изоморфизм линейных пространств

Пусть V и V два линейных пространства над полем F.

О Линейные пространства V и V над полем F называются изоморфными, если существует отображение f :V V такое, что выполняются 2 условия:

1.f биекция;

2.a,b V f (a b) f (a) f (b),

a V, F f ( a) f (a).

Отображение f называется изоморфным отображением или изоморфизмом.

Обозначение: V V .

Свойства изоморфизма

1

следовательно, при этих же коэффициентах выполняется и равенство 1a1 kak 0,

что противоречило бы условию о линейной независимости a1, ,ak .

a1

где a2 координатный столбец вектора a в базисе {e1,e2,...,en}пространства Vn.

an

Покажем, что это отображение является изоморфным. Для этого докажем

Следовательно, f изоморфизм.

Можно доказать более общую теорему:

2

Т Любые линейные пространства одной и той же размерности над полем F изоморфны.

Без доказательства.

Матрица системы векторов

О Пусть Vn линейное пространство над полем F, e1 en базис Vn.

Рассмотрим произвольную систему векторов a1, ,as Vn .

Разложим каждый вектор ak системы по базису:

ak a1ke1 anken, k 1,s.

которую будем называть матрицей системы векторов a1, ,as в базисе e1, ,en .

Замечание Матрица системы векторов позволяет судить о линейной (не)зависимости данной системы векторов. Максимальное число линейно независимых векторов в системе равно рангу матрицы.

Поскольку Vn и Fn изоморфны, то по линейной (не)зависимости системы векторов в Fn можно судить и о линейной (не)зависимости соответствующей системы векторов в Vn.

Преобразование базиса линейного пространства

О Vn линейное пространство над полем F.

Внем заданы два базиса: e1, ,en старый базис и e1, ,en новый базис. Разложим каждый вектор нового базиса по старому базису

3

Построим матрицу нового базиса e1, ,en в старом базисе e1, ,en :

Замечание Столбцы матрицы перехода от одного базиса к другому – это координатные столбцы базисных векторов пространства. Т.к. базисные векторы линейно независимы, то столбцы матрицы перехода также линейно независимы, следовательно, detP 0, т.е. матрица перехода невырожденная.

Замечание Т.к. detP 0 P 1 . Умножим равенство E EP справа на Р 1,

получим E P 1 E . Следовательно, Р 1 матрица перехода от нового к старому базису.

4

Преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к другому

О Vn линейное пространство над полем F.

В нем заданы два базиса: e1, ,en старый базис и e1, ,en новый базис, P матрица перехода от старого базиса к новому.

Как связаны координаты произвольного вектора x Vn в старом и новом базисе?

x Vn :x x1e1 xnen x1e1 xnen .

x1

X координатный столбец вектора x в старом базисе e1, ,en .

xn

x1

X координатный столбец вектора x в новом базисе e1, ,en .

xn

В матричном виде: x EX E X .

Т.к. E EP x EX EPX X PX .

Таким образом, координатные столбцы произвольного вектора x Vn в старом и новом базисе пространства Vn связаны формулой:

X PX .

Пример Рассмотрим действительное линейное пространство V3 с базисом e1,e2,e3 .

e1 2e1 5e2 3e3,e2 e1 e2 e3,e3 e1 3e2 2e3.

x 2e1 7e2 6e3.

Нужно доказать, что e1,e2,e3 является базисом V3, и найти координаты вектора x в этом базисе.

Выпишем матрицу системы векторов e1,e2,e3 в старом базисе e1,e2,e3 :

5

Вычислим ее определитель. Он равен 1. Следовательно, систему векторов e1,e2,e3

Ориентация вещественного линейного пространства

Рассмотрим произвольное вещественное линейное пространство. Все его базисы можно разбить на 2 класса. Зафиксируем некоторый базис в пространстве. Все базисы, для которых определитель матрицы перехода от фиксированного базиса к данному больше нуля, отнесем к одному классу, все остальные базисы к другому классу.

6

О Вещественное линейное пространство назовем ориентированным, если из двух классов базисов выбран один в качестве положительно ориентированного, тогда второй класс базисов считается отрицательно ориентированным.

Т Классы базисов не зависят от выбора исходного базиса. Доказательство:

Пусть E0 исходный базис, который считается положительно ориентированным.

E1 иE2 базисы из этого же класса, E1 =E0P1 , detP1>0. E2 =E0P2 , detP2 >0.

Если выбрать в качестве исходного базиса, например, E1 , то

E0 =E1P1 1, а E2 =E1P1 1P2 .

Определители матриц перехода от базиса E1 к базисам E0 и E2 также положительны:

det(P1 1 )= (detP1) 1 >0.

det(P1 1P2 )=(detP1) 1 detP2 >0.

Подпространства линейного пространства

О Пусть V линейное пространство над полем F. Подмножество U V называется

линейным подпространством линейного пространства V, если выполняются условия:

1) a,b U a b U

2) a U F a U

Замечание Линейное подпространство само является линейным пространством.

Т Пусть Vn – линейное пространство, U – линейное подпространство Vn, тогда размерность dimU n. Если dimU = n, то U = Vn.

Доказательство:

Если бы dimU > n, то в U, а значит и в Vn, существовала бы линейно независимая система, состоящая из более, чем n векторов. Что противоречит тому, что dimVn= n.

Покажем, что если dimU = n, то U = Vn.

Подпространство U является подмножеством пространства Vn: U Vn .

7

Покажем что Vn U , то есть, что a Vn a U . Выберем базис в U. Это линейно независимая система из n векторов, они также образуют базис и в Vn, разложим вектор a по этому базису. Мы разложили вектор a по базису подпространства U, => a U => Vn U .

Следовательно, U = Vn.

Линейная оболочка системы векторов

О Пусть a1, ,ak V . Линейной оболочкой системы векторов a1, ,ak назовём совокупность всех линейных комбинаций этих векторов.

Обозначение линейной оболочки: a1, ,ak .

Примеры

1.В GV3 линейная оболочка двух векторов представляет собой множество всех векторов, лежащих на прямой, если эти векторы коллинеарны, и множество векторов плоскости в противном случае.

2.В R[x] линейная оболочка <1, x, x2> множество всех многочленов степени не выше 2.

Замечания

1.Линейная оболочка является линейным подпространством линейного пространства: при сложении двух линейных комбинаций векторов получается линейная комбинация данных векторов, при умножении линейной комбинации векторов на число также получается линейная комбинация этих векторов.

2.Любое линейное подпространство можно рассматривать, как линейную оболочку его базиса. Нулевое подпространство это линейная оболочка нулевого вектора.

8

3.Чтобы найти размерность линейной оболочки a1, ,ak нужно найти максимальное число линейно независимых векторов в системе a1, ,ak .

Пример

Найдите размерность и базис линейной оболочки a1,a2,a3,a4 R3.

Составим матрицу данной системы векторов и найдем ее ранг.

Ранг матрицы равен 2. Следовательно, dim a1,a2,a3,a4 = 2,

В качестве базиса можно взять любые 2 вектора из a1,a2,a3,a4, поскольку каждые

2 из них линейно независимы.

Контрольный вопрос:

Почему линейное подпространство само является линейным пространством?

9