Лекция Линейные пространства 1 6.05.20 МО-1

Линейные пространства

Определение и примеры линейных пространств

О

Пусть F - некоторое поле, элементы которого будем называть скалярами. Линейным или векторным пространством V будем называть множество произвольных элементов, которые будем называть векторами, если:

1. задан закон (операция сложения векторов), в соответствии с которым любым двум элементам множества V a,b V сопоставляется единственный элемент множества V, который называется суммой векторов a иb , и обозначается a b ;

2.задан закон (операция умножение вектора на скаляр), по которому a V

a(b c) (a b) c .

2)Коммутативность сложения векторов:

a b b a .

3) Существование нулевого вектора множества V:

0 V a V0 a a .

4) Существование противоположного вектора для произвольного вектора из V:

a V a V :a ( a) 0.

5)Ассоциативность умножения на скаляр

( a) ( ) a

6)Дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов

(a b) a b

7)Дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров

( ) a a b

1

8) Унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор

1 F, a V 1 a a

ОЕсли F=R (поле вещественных чисел), то линейное пространство называется

вещественным.

ОЕсли F=С, то линейное пространство называется комплексным.

Примеры 1. Нулевое линейное пространство.

Рассмотрим множество V={0}, содержащее единственный элемент. Определим операции сложения векторов и умножения на скаляр:

0 0 0 ,

F 0 0 .

2. GV3 множество всех геометрических векторов в трехмерном пространстве, т.е. множество направленных отрезков.

Причем, если 2 направленных отрезка можно совместить параллельным переносом, то будем считать, что они определяют один и тот же вектор.

Операции сложения векторов и умножения вектора на вещественное число введены в 1 семестре.

Вещественными линейными пространствами также являются

GV1, GV2 множества всех геометрических векторов на прямой и на плоскости соответственно.

3.F[x] множество многочленов от одной переменной, заданных над полем F, образуют линейное пространство над полем F.

4.Мm n(F) множество матриц размеров m n.

5.Вещественное линейное пространство: C[a,b] множество функций определенных и непрерывных на отрезке [a,b], с обычными операциями сложения функций и умножения функции на вещественное число.

2

6.Один из важнейших примеров линейных пространств n-мерное

арифметическое или координатное пространство. Пусть F – поле и Fn = F F … F.

Элементы Fn упорядоченные наборы из n элементов, будем записывать их в виде

a1

столбцов a . Операции сложения векторов и умножения и умножения вектора на

an

скаляр из F это обычные операции сложения столбцов и умножения столбца на скаляр.

Простейшие следствия из аксиом линейного пространства

Пусть V линейное пространство над полем F.

1.Линейное пространство является коммутативной группой по сложению.

2.В линейном пространстве можно определить операцию вычитания векторов:

def

a,b V a b a ( b).

3. В V существует единственный нулевой вектор.

!0 V .

Доказательство: от противного.

4. Для каждого вектора линейного пространства V существует единственный противоположный вектор.

a V ! a V .

Доказательство: от противного. 5. a V 0 a 0 .

Доказательство:

0 a 0 a a ( a) 0 a 1 a ( a) (0 1) a ( a) 1 a ( a) a ( a) a.

6. a V ( 1) a a .

Доказательство:

( 1)a a ( 1)a 1 a ( 1 1) a 0 a 0. 7. F 0 0.

Доказательство:

0 (0 a) ( 0) a 0 a 0.

8. Если а 0 Либо 0, либо a 0 .

Доказательство:

3

Пусть 0 1 : 1( a) 10 ( 1 )a 0 1 a 0 a 0.

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Пусть V линейное пространство над полем F.

ОПусть 1,..., k F , а1,...,ak V . Выражение 1а1 ... kak называется линейной комбинацией векторов а1,...,ak .

ОСистема векторов а1,...,ak называется линейно зависимой, если равенство

Следовательно, произвольная система векторов {а1,...,ak} в Rn линейно независима тогда и только тогда, когда однородная система линейных уравнений с матрицей

4

быть равен k.

Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов

1.Система, состоящая из одного вектора, является линейно зависимой тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

2.Система, состоящая из более, чем одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных.

3.Если в систему входит нулевой вектор, то система линейно зависима.

4.Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему является линейно зависимой.

5.Любая подсистема линейно независимой системы является линейно независимой

Все свойства нужно доказывать!

Базис линейного пространства

О Базисом линейного пространства V над полем F назовем такую упорядоченную систему векторов, принадлежащих V, что:

1.данная система является линейно независимой;

2.любой вектор линейного пространства можно представить в виде линейной комбинации данной системы.

Иными словами, базис линейного пространства V это упорядоченная максимальная линейно независимая система векторов из V.

О Если базис линейного пространства V состоит из конечного числа n векторов, то линейное пространство будем называть n-мерным или имеющим размерность n, в противном случае, пространство будем называть бесконечномерным.

Обозначение: dimV=n. Vn .

5

Примеры 1. Нулевое линейное пространство.

В этом пространстве нет базиса, т.к.{0} линейно зависимая система, dimV0=0.

2.dimGV3 =3, базис произвольные 3 некомпланарных вектора. dimGV2 =2, базис произвольные 2 неколлинеарных вектора. dimGV1 =1, базис произвольный ненулевой вектор.

3.М2 2(R) множество квадратных матриц порядка 2 c вещественными

элементами.

Можно показать, что базис образуют матрицы:

представить в виде линейной комбинации данной системы столбцов. Назовем этот базис в Rn единичным.

5. Пример бесконечномерного линейного пространства.

R[x] множество многочленов от одной переменной.

Покажем, что для n N существует линейно независимая система многочленов.

Рассмотрим: 1, x1, x2,…, xn 1. Составим линейную комбинацию и приравняем ее к нулевому многочлену.

1+ 2x1 + 3x2 +…+ nxn 1 =0.

Так как x любое действительное число 1= 2=…= n=0.

{1, x1, x2,…, xn 1} линейно независимая система. Существует бесконечное множество линейно независимых векторов. R[x] бесконечномерное пространство.

Т Пусть {e1,e2,...,en} – базис n-мерного линейного пространства Vn над полем F.

Тогда a Vn единственным образом может быть представлен в виде линейной

6

комбинации базисных векторов: a a1e1 ... anen .

Доказательство:

Нужно доказать единственность представления. Докажем от противного.

Т При сложении двух векторов соответствующие координаты векторов складываются, при умножении вектора на скаляр все координаты вектора умножаются на этот скаляр.

a b (a1 b1,..,an bn), a,b V

a ( 1a1,.., nan), a V, F

Докажите самостоятельно.

Т Задание базиса {e1,e2,...,en} в n-мерном линейном пространстве Vn над полем F

определяет биективное отображение Vn на Fn. Доказательство:

Построим данное отображение f :Vn Fn .

Рассмотрим произвольный вектор a . Разложим его по базису a a1e1 ... anen .

a1 f (a) a2 .

an

Докажем, что отображение f биекция: 1. инъекция?

7

Это вытекает из того, что вектор по базису раскладывается единственным образом.

с1

Возьмем с2 Fn построим вектор с с1e1 ... сnen . Он принадлежит Fn

сn

отображение f сюрьекция.

Таким образом, отображение f – биективное отображение.

Контрольные вопросы:

1.Какова размерность и какой-нибудь базис пространства Мm n(R)?

2.Какова размерность и какой-нибудь базис пространства Rn[x] (пространства многочленов от одной переменной, заданных над полем R, степени не выше n)?

8