Lektsia_Algebraicheskie_struktury_1_MO-1

Алгебраические операции. Алгебраические структуры

Алгебраические операции.

Алгебра − наука, изучающая алгебраические операции на множествах.

Определение Пусть A − произвольное непустое множество. n-арной алгебраической операцией на A называется отображение An A, т.е. правило, по которому n-

компонентному элементу a1,...,an An однозначно ставится в соответствие элемент b A.

Алгебраические операции при n=1 называются унарными, при n=2 – бинарными, n=3 – тернарными. Далее, как правило, будут рассматриваться бинарные операции.

Известные обозначения операций на A: +,=, ,, .

Определение Множество А с конкретной алгебраической операцией называется

алгебраической структурой.

Обозначение: (A, )

На одном и том же множестве А могут быть заданы различные алгебраические структуры.

Примеры (алгебраических операций и алгебраических структур). 1. (R, ): так, что x, y R имеем (x, y) x y.

2.(R, ).

3.(R, ).

4.Деление не является алгебраической операцией на R, так как не определено деление на нуль. Однако оно является алгебраической операцией на (R\ 0 ,:).

5-8. То же самое для С.

9.(Rn , )

10. Скалярное произведение не является алгебраической операцией на множестве векторов, т.к. в данном случае двум векторам ставится в соответствие, не вектор, а скаляр.

1

11.Множество всех отображений f: А А относительно операции композиции является алгебраической структурой.

12.Как правило, алгебраическая операция на конечном множестве может быть задана

спомощью таблицы Кэли, которая описывает результат операции на любой паре элементов множества. Рассмотрим множество, состоящее из 3-х элементов: {0, 1, 2}. Введем операцию: сложение по модулю 3. Соответствующую таблицу Кэли можно представить в виде

13. Примерами тернарных операций на R являются:

1)(x, y,z) x y z .

2)(x, y,z) min(x, y,z).

3)(x,y,z) sin(x6 y7) cosz8 129.

Свойства бинарной алгебраической операции

Рассмотрим алгебраическую структуру (A, ). 1. Коммутативность

Определение Бинарная операция на A называется коммутативной, если

a,b A a b b a

2. Ассоциативность

Определение Бинарная операция на A называется ассоциативной, еслиa,b,c A выполняется (a b) c a (b c).

Примеры

1.(R, ). Операция сложения коммутативна и ассоциативна.

2.(R, ). Операция вычитания не коммутативна и не ассоциативна. Например, 1 2 2 1, (1 2) 3 1 (2 3).

4.Умножение матриц: ассоциативная, но не коммутативная операция.

2

Определение Пусть (A, , ) – алгебраическая структура с двумя бинарными алгебраическими операциями и . Назовем операцию дистрибутивной относительно операции , если a,b,c A выполняются два условия:

a (b c) (a b) (a c) (левая дистрибутивность), (b c) a (b a) (c a)(правая дистрибутивность).

Пример

1. (R, ,) операция дистрибутивна относительно операции +.

Алгебраические операции являются обобщением обычных операций сложения и умножения. Соответственно существует две формы записи операций: аддитивная (+) и

мультипликативная ( ), также они различаются терминологически.

Алгебраические структуры с одной бинарной алгебраической операцией

Полугруппа

Определение Множество А с заданной на нем бинарной ассоциативной операцией называется полугруппой.

Если операция коммутативна, то полугруппа называется коммутативной. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом или полугруппой с нулем

или единицей (в зависимости от операции).

4

Если число элементов полугруппы конечно, то полугруппа называется конечной, а число элементов порядком полугруппы, в противном случае полугруппа называется

бесконечной.

Примеры

1.(R, ) коммутативный моноид или коммутативная полугруппа с нулем.

2.(Z, ) не является полугруппой.

3.(Mat(m n,R), ) коммутативный моноид.

4.(Mat(т n,R),) некоммутативный моноид или некоммутативна полугруппа с

единицей.

Обобщенная ассоциативность

Определение Рассмотрим полугруппу (A, ). Можно определить результат выполнения бинарной операции над n элементами следующим образом:

Теорема (об обобщённой ассоциативности). Если операция ассоциативна, то выражение a1 ... an , n 3 не зависит от расстановки скобок.

Доказательство: Применим метод математической индукции. Для n 3 утверждение повторяет определение ассоциативности.

Докажем, что при верности утверждения для всех n k, оно справедливо и для n=k+1. Докажем равенство:

(a1 ... al ) (al 1 ... ak 1)= (a1 ... am) (am 1 ... ak 1).

Рассмотрим его левую часть (a1 ... al ) (al 1 ... ak 1).

Возможны 2 случая: 1) l=k. В этом случае левая часть равна (a1 ... ak ) ak 1. В скобках стоит выражение, число элементов в котором =k, по предположению индукции мы можем расставить скобки в этом выражении произвольно: ((...((a1 a2) a3) ....) ak ) ak 1.

2) l<k. (a1 ... al ) (al 1 ... ak 1)=(a1 ... al ) ((al 1 ...ak ) ak 1)= =((a1 ... al ) (al 1 ...ak )) ak 1 =((...((a1 a2) a3) ....) ak ) ak 1.

Т.е. выражение в левой части равенства мы привели к виду ((...((a1 a2) a3) ....) ak ) ak 1.

Аналогично, правую часть равенства, которое мы доказываем, тоже можно привести к этому же виду. Теорема доказана.

Следствия

Если (A, ) – мультипликативная полугруппа, то

5

def

3.Если (A, ) – мультипликативная полугруппа c единицей 1, то a а0 1.

4.Если (A, ) – коммутативная полугруппа, то (аb)n= аn bn.

Если (A, +) – аддитивная полугруппа, то

def

1. Можно определить n 1 n-ое кратное элемента а: nа а + а +… +а (n слагаемых)

def

1а а

2. m,n N верны равенства mа+ nа=(m+n)а, n (mа) = (nm)а.

def

3.Если (A, +) – аддитивная полугруппа c нулем 0, то a 0а 0. Элемент а умножается на число 0, а в результате получается нулевой элемент полугруппы.

Группа

Определение Полугруппа с нейтральным элементом, каждый элемент которой имеет симметричный элемент, называется группой.

Или группа – это множество G с одной бинарной алгебраической операцией , которая подчиняется следующим аксиомам:

1. ассоциативная операция:

a,b,c G выполняется (a b) c a (b c).

2.В G существует нейтральный элемент:

e G a G a e e a a.

3.Каждый элемент множества G имеет симметричный элемент:

a G a' G a a' a' a e

Если – коммутативная операция, то группа называется коммутативной или

абелевой.

Если число элементов группы конечно, то группа называется конечной, а число элементов порядком группы, в противном случае группа называется бесконечной.

6

Операция, относительно которой G − группа, называется групповой операцией. Если групповая операция − умножение, то группа называется мультипликативной, если –

сложение, то G – аддитивная группа.

Простейшие свойства группы

1.В группе ! нейтральный элемент.

2.Каждый элемент множества G имеет единственный симметричный элемент.

3.В произвольной группе (G, ) разрешимы уравнения вида: a x=b, x a=b.

Действительно, первое уравнение имеет решение x=a ' b, второе: x=b a’.

4. В аддитивной группе (G,+) можно определить операцию вычитания:

def

a − b a +(− b) , a,b G,

В мультипликативной группе (G, ) можно определить операцию деления:

def

a : b a b−1 , a,b G.

5. В аддитивной группе (G,+) можно определить целочисленное кратное nа, a G n Z .

Так, −3а=(−a) +(−a)+ (−a).

В мультипликативной группе (G, ) можно определить целочисленную степень

аn, a G n Z .

Так, а−3= а−1 а−1 а−1.

Примеры.

1.(N,+) – бесконечная коммутативная полугруппа без нейтрального элемента.

2.(N, ) – бесконечная коммутативная полугруппа с нейтральным элементом.

3.(Z, ) – бесконечная аддитивная абелева группа.

4.(Q, ) – бесконечная аддитивная абелева группа.

5.(R, ) – бесконечная аддитивная абелева группа.

6.(R,) – бесконечная абелева полугруппа с нейтральным элементом.

7.(R \{0},)– бесконечная мультипликативная абелева группа.

8.Пусть G={e}, операция на G: e e=e. (G, ) – конечная коммутативная группа порядка 1.

7

9.Пусть G={e,а}, операция на G задается таблицей Кэли:

(G, ) – конечная коммутативная группа порядка 2.

10.Множество векторов на плоскости или в пространстве относительно операции сложения – бесконечная абелева группа.

11.(С[x],+) – бесконечная абелева группа.

12.Общая линейная группа (GL(n,R), ) – множество всех невырожденных матриц поряда n бесконечная некоммутативная группа.

Контрольные вопросы:

1. Почему(R,) не является группой?

8