Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Брестский Государственный Университет им. А.С. Пушкина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kr_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.02.2015

Размер:

352.75 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

в) lim

x→0

4.25. а) lim

x→5

в) lim

x→0

4.26. а) lim

x→2

в) lim

x→0

4.27. а) lim

x→3

в) lim

x→0

4.28. а) lim

x→0

в) lim

x→0

4.29. а) lim

x→1

в) lim

x→0

4.30. а) lim

x→0

в) lim

x→0

cos x −cos3 x x2 ;

	1+ 3x −					2x + 6			;
	x2 −5x								;
	x2 −5x
1−cos4x					;
	sin2 x
	x − 2		;
	2x −	2	;
	2x −	2
	tg28x	;
	x sin x	;
	x sin x
	2x −1 −				5			;
	x −3							;
	x −3
1−cos6x					;
1−cos2x
	1+ 3x −1					;
						;
	x + x2
3x ctg3x ;
4x2 −3x −1							;
	1− x2						;
	1− x2
	sin3 3x ;
	x2tg4x
	4x2 −3x			;
	x − x			;
	x − x
	xarcsinx				;
	tg23x

г)	lim				4x + 8	3x	;
	x→∞	4x −9
б)	lim		3x2 − 4x +1							;
					x2 −1
	x→∞
г)	lim	3x +1				2x .
	x→∞	3x − 4
б)	lim		3x2 −3x +1							;
					1−5x2
	x→∞
г)	lim				2x −1 3x−4					.
					2x + 5
	x→∞
б)	lim		4x −1− x3					;
					5x3 +1
	x→∞
г)	lim				3x −1 2x+7					.
				3x + 4
	x→3
б)	lim		3x2 + 4x −7							;
					x2 −1
	x→∞
г)	lim				4x	5+2x				.

					4x + 8
	x→∞
б)	lim		4x2 +5x −9							;
					7x2 −7
	x→∞
г)	lim	2x +3				x−1 .
	x→∞	2x −1
б)	lim				5x3 −1				;

	x→∞ x3 + 4x + 4
г)	lim	3x +1 3x−1.
	x→∞	3x −1

Задание 5. Найти производные y′ данных функций:

5.01.	а) y =		2x3 −	3	+ 23 x + 3 ,	б) y = arccos 1−2x ,
5.01.	а) y =		2x3 −	x2	+ 23 x + 3 ,	б) y = arccos 1−2x ,
				x2
	в)	x − y + eyarctgx = 0 .
5.02.	а)	y =	3 − 23 x5		+ 4x2 + 3 ,	б) y = ln tg	2x +1	,
			x				4

	в) y2x = e	x	.
5.03.	а) y = 3x4 −			1		+ x3 −1,
5.03.	а) y = 3x4 −			x		+ x3 −1,
				x
	в) x4 + y4 = x2y2 .
5.04.	а) y = 5x3 −			8	+ x3		x + 2 ,
5.04.	а) y = 5x3 −				+ x3		x + 2 ,
				x3
	в) x − y2 + tg(x2y) = 0 .
5.05.	а) y = 4x5 −			8 +		x	+ 5 ,
5.05.	а) y = 4x5 −			8 +		x	+ 5 ,
				x		x

в) x3 +3xy2 + 2y2 −5x =1.

5.06.а) y = 2x −3x2 + 3 x7 + 2, в) y2 = x2 − xln y + 3.

5.07.а) y = 3 x7 + 3x2 − 4x + 2,

в) x2 ln y − y2 lnx =1.

5.08. а) y = x92 − 3 x4 − x1 + 3x2 , в) y2 = xy +− xy .

5.09.а) y = x15 + 2x − 5 x − x3 , в) y2 sinx = cos(x − y),

5.10.	а) y =	8	+ x2	x −	4	+ x2 ,
		x3			x

в) xe−21y + ye−21x = 2 .

5.11.а) y = x64 + 5x2 − 3 x2 + 4 , в) exy + x2 + y3 = 2.

5.12.а) y = 31 x3 − 32x + 3x2 + 2 , в) ex + ey − 2exy =1.

5.13.а) y = 4x5 − x23 + 5 x2 −1,

б) y = ex	1− e2x −arcsinex ,
б) y = arctg	1− 1− x2	,
	x

б) y = arctg 11+− xx ,

б)	y = ln		1+ sinx		,
			1− sinx
б)	y = arctg			3x − x2		,
				1−3x2

б)	y =	x	a2 − x2		+ a2 arcsin		x	,
							a
	2					2

б) y = −ctg2 2x − 2lnsin 2x ,

б) y = tg3tgx + 3tgtgx ,

б) y =	1	ln	x −a	+	1		arctg	x	,
	4a		x + a		2a			a

б) y = arctg(x +1) +							x +1			,
						x2 + 2x +			2

б) y = e−x −cose−x sine−x ,

в) ln y = arctg

x −e2x

а) y = 4 −

+ 7x

б) y =

5.14.

x + e2x

в)

x2 + y2 = arctg

2x4

5.15.

а) y = x

−8x

x + x

+ 2

б) y = arctg

1− x8

в) x4 - 6x2y2 + 9y4 - 5x2 +15y2 - 100 = 0 .

5.16.

а) y = 6 + 3x2 −

+ 5

б) y = 2−

x2 −2x+3 ,

3 x2

в)

− 3

= x .

5.17.

а) y = 4x3 + 3x − 3 x5 −

б) y = xarccos

−

4 − x2 ,

в) sin2(2x − y2 ) = 3x + 2.

5.18.

а) y =

7 −

− 2x6

− x2

x ,

б) y = arctgx −ln

1+ x2

в) x2 −3xy + y2 + x −5y = 0 .

5 4

1 x −1

5.19.

а)

y =

− x

+ x

б) y =

arctg

+ 6 ln

x +1

в)

y2 cos x = sin(3x2 ) + y .

5.20.

а) y = 3

x − 7 x2 + 2x4 − 6,

б) y = arctg 4x2 −1,

в) y2 + x2 −cos(x2 y2 ) = 2 .

5.21.

а) y =1− x3 − 3 x2 +

б) y = ex

1− e2x −arcsinex ,

= 5x +1.

в)

5.22.

а) y = 4 −

+ 2x

−

sinx

б) y =

1+cos x

в)

x2 + ey − x lny = 0 .

5.23.

а) y = x−3 + 2x3 x5 +

б) y = ln(ex cos x + e−x sin x) ,

в) x4 − xy2 + y3 − 4y + 5 = 0 .

5.24.а) y = 2 − 2x−2 + 33 x2 + 4x ,

в) xy = arctg xy .

5.25.а) y = 5 − 2x−5 + 7 x5 + 3x ,

−y

в) ln x + e x =1.

5.26.а) y = x2 + 2x−4 + 3x + 7 ,

в) xy = tg(x2 − y).

5.27.а) y = 8x−3 − 2x − x73 + x7 x2 , в) ex sin y −ey cos x =1.

5.28.а) y = 9x3 + x52 − x74 − 4 x ,

в) yx = arctg yx .

5.29.а) y = 3 −3x5 +7x−7 + 5 x ,

в) x y + y3 cos x = 3 .

а)

5.30.y = − x 4+1 +(x −3)2 +1+ 3 x5 ,

в) (x − y)2 +cos y2 = 4 .

б) y =	1	ln	x2 − 2x +1		,
	3		x2	+ x +1

б) y = 3x3 arcsin x +(x2 + 2) 1− x2 ,

б)		1		2sin x
	y = lntg		e		,
	y = lntg	4	e		,
		4

б) y = 3arcsin3x +(1−arccos3x)2 ,

б) y = 2arcsin	x − 2	− 2 + 4x − x2	,

6

б) y = ln xln x −1, xln x +1

	1		2		1
б) y =	3 sin3	x −	5 sin5	x +	7 sin7 x ,

Задание 6. Найти уравнения касательнойG , уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии r = r(t) в точке t0 .

6.01.rG = (t − sint) i +(1− cos t) Gj + 2sint kG,

6.02.rG = 6t Gi + 3t2 Gj + t3 kG,

6.03.rG = 2sint Gi + 3tgt Gj + 2cos t kG,

6.04.rG = 3cht Gi + 3sht Gj + 3at kG, G = et Gi + e−t Gj + 2 t kG,6.05. r

t0 = π2 . t0 =1.

t0 = π4 . t0 = 0. t0 = 0.

6.06.rG = 2sin2 t Gi + 2cos2 t Gj + sin2t kG,

6.07.	rG = ln(t −3) i − t Gj +(t2 −16) kG,
6.08.	rG = (2 − t) Gi +		25 − t2 Gj + t2 kG,
	G	G	G	G

6.09.r

6.10.r

6.11.rG = (t − sint) Gi +(1− cos t) Gj + 4sin 2t kG,= et i +(1+ t2 ) j + arctgt k ,G = et cos t Gi + et sint Gj + et kG,

6.12.rG = (t3 −3) Gi +(t2 + 2) Gj +lnt kG,

6.13.rG = (t3 + 8t) i + t2 Gj +(5t5 + 3t) kG,

6.14.rG = 2t Gi −3t Gj +lntgt kG,

6.15.rG = 4t Gi +lnt Gj + t2 kG,

6.16. rG = lncos t Gi +lnsint Gj + 2 t kG,

6.17. rG = (cos t + t sint) Gi +(sint − tcos) Gj + t kG, 6.18. rG = (t2 +1) Gi + cos t Gj + et kG,

6.19.	rG	= (t +1)2 Gi + t3 Gj +					t2 +1 kG,
6.20.	rG	= (3t − t3 )			i + 3t2 Gj +(3t + t2 ) kG,
	G		t	G	t	G	G
6.21.	r	=		i +		j +lnsint k ,

6.22.rG = ch22t Gi + sht2 cht Gj + sh2t kG,

6.23.rG = et sint Gi + Gj + et cos t kG,

6.24.rGG = (1+ 3tG+ 2t2 ) Gi G+(2 − 2tG+ 5t2 ) Gj +(1− t2 ) kG,

6.25.r = cos t i + sint j + cht k ,

6.25.rG = 5 − t2 Gi − (2t − t2 ) Gj + (5 − 2t2 ) kG,

6.27.rG = t2 Gi +(t3 − 2) Gj + t6 kG,

6.28.rG = t3 + 3 Gi −ln(2t −1) Gj + t3 kG,

6.29.rG = 2tgt Gi + 3cos t Gj + 3sint kG,

6.30. rG = et+1 Gi −(t2 −3t +1) Gj + 2t + 6 kG,

t0 = π4 . t0 = 4 . t0 = 4 . t0 =1. t0 = 0.

t0 = π.

t0 =1.

t0 = 0. t0 = π4 .

t0 =1. t0 = π4 . t0 = π2 .

t0 = 0. t0 = 0. t0 =1.

t0 = π2 . t0 = 0. t0 = 0. t0 =1. t0 = 0.

t0 =1. t0 =1.

t0 =1. t0 = π4 . t0 = −1.

Задание 7. Исследовать на экстремум следующие функции:

7.01. z = −32 x3 + 2xy − y2 −1.

7.03.z = x2 + y2 + xy + 6x −9y .

7.05.z = x3 + y2 − 6xy −39x +18y + 20 .

7.07. z = x2 + xy + y2 − 2x − y . 7.09. z = x2 + y2 + xy − 4x −5y .

7.11.z = 3x2 − x3 + 3y2 + 4y .

7.13.z = 3x3 + 3y3 −9xy +10 .

7.15.z = x2 − xy + y2 +3x −2y +1.

7.17.	z = 2xy −3x2 − 2y2 +10 .
7.19. z = x2		+ xy + y2 + x − y .
7.21.	z = 2x3 + xy2 +3x2 − y2 +1.
7.23.	z = x2	+ y2	− 2ln x −18ln y .
7.25.	z = x2	+ y2	− 4x + 6y +17 .
7.27.	z = x2	+ 4xy − y2 − 6x − 2y −3 .
7.29.	z = 6xy −9x2 −9y2 + 4x + 4y + 5 .

7.02. z = x3 + 3xy2 −15x −12y . 7.04. z = 3x2 − x3 + 3y2 + 4y .

7.06.z =1+15x − 2x2 − xy − 2y2 .

7.08.z = −3x2 −3y2 + 6(x − y) .

7.10.z = xy + x2 + y2 −3x − 6y .

7.12.	z = 2x3	+ 2y3 − 6xy + 5 .
7.14.	z = x3 + 8y3		− 6xy +1.
7.16.	z = 2y3	− x2	+ 2xy + 4 .

7.18.z = ex−y (x2 − 2y2 ).

7.20.z = e2x (x + y2 + 2y) .

7.22. z = y3 − 6xy − x2 + 5 . 7.24. z = xy + 50x + 20y .

7.26. z = x2 − 2xy + 4y3 7.28. z = x3 + y3 −3xy .

7.30. z = e2x (x2 − y2 + 2y)+ 3 .

Задание 8:

8.1-8.10. Выпуск некоторым предприятием промышленной продукции Y по годам семилетки X характеризуется следующими данными:

Y (усл.ед.)

По методу

МНК

построить

эмпирическую

формулу

y = ax + b,

отражающую рост объема продукции за семилетку, и определить прогноз объема выпуска на восьмой год. Сделать чертеж.

Необходимые числовые данные приведены в табл. 1.

Таблица1.

Вариант	y1	y2	y3	y4	y5	y6	y7
01	16,00	26,06	36,51	47,16	57,01	67,32	78,21
02	1,29	4,77	8,63	12,05	14,97	19,00	23,31
03	2,29	6,16	11,63	16,81	19,96	25,64	29,31

Вариант	y1	y2	y3	y4	y5	y6	y7
04	7,05	11,12	16,39	20,06	26,35	30,40	34,97
05	10,73	10,68	11,93	12,08	12,13	12,48	13,54
06	12,18	12,81	13,00	14,07	14,97	15,69	15,96
07	11,04	12,05	12,16	13,57	13,00	14,59	15,63
08	13,14	14,35	14,51	16,17	16,38	18,19	18,62
09	14,34	15,14	16,64	17,04	17,15	18,84	20,14
10	11,77	13,18	13,99	14,78	16,21	17,93	19,38

8.11-8.20. При различных значениях признака X было семь раз измерено значение признака Y. Полученные результаты приведены в таблице:

X	0,30	0,91		1,52		2,13		2,74		3,35		3,96
Y(усл.ед.)	y	y	2	y	3	y	4	y	5	y	6	y	7
	1

Предполагая, что теоретически зависимость между значениями

признаков выражается функцией					y = ax + b, по		методу	МНК найти
параметры а и b.
	Каково значение признака Y при x = 4,25 ?
	Необходимые числовые данные приведены в табл. 2.
							Таблица2.
	Вариант	y1	y2	y3	y4	y5	y6	y7
	11	3,29	3,41	3,72	4,25	4,36	4,58	5,23
	12	1,51	1,62	2,25	2,46	2,57	2,97	3,42
	13	4,00	3,65	3,78	3,17	3,06	2,74	2,75
	14	3,82	3,55	3,17	3,00	2,52	2,55	2,19
	15	4,19	4,26	4,44	5,01	5,19	5,36	5,74
	16	4,12	4,33	4,45	4,86	4,97	5,29	5,52
	17	3,82	4,23	5,14	5,75	6,06	6,87	7,48
	18	4,74	4,54	5,22	5,73	6,59	7,07	7,95
	19	5,83	5,02	4,71	4,00	3,19	2,58	2,17
	20	2,38	2,52	3,17	3,59	3,81	4,06	4,69

8.21-8.30. На химическом производстве в течении семи рабочих смен получены следующие данные о зависимости выхода продукта Y(кг/ч) от

температуры реакции T:

	T	32	45		51		64		73		80			83
	Y(кг/ч)	y	y	2	y	3	y	4	y	5	y	6		y	7
		1
Предполагая,		что	зависимость				между		выходом				продукта и

температурой	реакции линейная			(y = at + b), найти по			методу МНК
параметры а и b.
Каков ожидаемый выход продукта при t = 90Co ?
Необходимые числовые данные приведены в табл.3.
						Таблица3.
Вариант	y1	y2	y3	y4	y5	y6	y7
21	15,3	39,3	52,7	76,0	94,8	89,5	114,8
22	34,7	50,2	54,3	63,0	75,5	81,3	87,8
23	32,3	30,8	26,8	22,3	16,8	10,3	8,8
24	48,7	50,0	53,0	53,9	53,4	53,5	55,2
25	69,0	75,5	79,6	90,3	94,3	96,8	100,3
26	143,6	140,7	142,3	139,2	135,4	132,1	130,4
27	56,9	65,3	70,1	82,5	87,7	97,3	100,7
28	65,8	71,6	75,2	83,7	92,4	94,6	95,4
29	126,4	125,5	120,7	117,8	113,1	115,2	112,0
30	58,4	61,6	69,3	71,2	76,8	75,6	80,8

Решение типового варианта контрольной работы №1

Задание 1. Проверить совместимость системы линейных уравнений и

вслучае совместности решить ее тремя способами:

1.по формулам Крамера;

2.методом Гаусса;

3.матричным методом (с помощью обратной матрицы).

2x + 3y + 2z = 9,

x + 2y −3z,

(1)3x + 4y + z =16.

Решение

1) по формулам Крамера.

Вычислим главный определитель системы

2 3 2 = 1 2 −3 = 4 − 27 + 8 −12 −3 = −6 .

3 4 1

Так как ≠ 0, то система совместна.

Вычислим определители, полученные из главного замещением соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов.

	9		3	2
1 =	14		2	−3		=18 −144 +112 +108 − 42 = −12 .
	16		4	1
		2	9	2

	2 =	1 14 −3				= 28 −81+ 32 −84 + 96 −9 = −18 .
		3	16	1
3 =	2		3	9	= 64 +126 + 36 −54 −112 − 48 =12 .

	1		2	14
	3		4	16

По формулам Крамера получим
x =	1 =	−12	= 2;	y =	2 = −18	= 3 ;	z =	3 =	12	= −2.
		−6	x = 2,		−6				−6
			x = 2,
				- решение системы (1).
Таким образом, y = 3,				- решение системы (1).

			z = −9,

2) Метод Гаусса. По данной системе составим матрицу и проведем необходимые элементарные преобразования строк

2		3	2 9	2 3 2 9				2 3			2	9
	1 2		−3 14		0	−1 8	−19		0	−1 8		−19
													.
	3	4 1 16			0	1 4	−5		0	0	12	−24

Первая строка записана без изменений во всех преобразованиях. Вторая строка второго преобразования получена из первой строки

вычитанием удвоенных элементов второй строки первого преобразования.

Третья строка второго преобразования получена вычитанием из утроенной первой строки, удвоенной третьей строки первого преобразования. Третья строка третьего преобразования получена сложением второй и третьей строк второго преобразования.

Последней матрице третьего преобразования соответствует система, эквивалентная исходной:

2x + 3y + 2z = 9,

−y + 8z = −19,

(2)12z = −24.

Получением системы (2) из (1) завершен прямой ход метода Гаусса. Из (2), двигаясь снизу вверх, реализуем обратный ход метода Гаусса.

z = −1224 = −2 ; y = 8z +19 =19 −16 = 3 ; x = 21 (9 − 2z −3y)= 21 (9 + 4 −9)= 2.

x = 2

Итак: y = 3 -решение системы (1).

z = −2
3) Матричный метод решения.
По системе (1) составим матрицы:
2 3		2		x	9
	1 2	−3				14
A =	1 2	−3	;	χ = y	; B =	14	.
	3 4	1				16
	3 4	1		z		16

Тогда (1) примет вид			A X = B				(3)
			A X = B				(3)
Решение матричного уравнения (3):
			X = A−1 B ,
где A−1 - обратная матрица для матрицы А.
Матрицу A−1 находим по формуле:
				A11	A21	A31
	−1	=	1
A				A12	A22	A32	,
A				A12	A22	A32	,
					A23
				A13	A23	A33
где ≠ 0 - определитель матрицы А; Aij						- алгебраические дополнения

элементов aij определителя матрицы А.

1 2 −3

= 28 −30 −4 = −6 .

Вычислим

алгебраические

дополнения

элементов

этого

определителя:

1+1

2 −3

=14 ; A21

2+1

3 2

= 5 ; A31

3 2

= −13 ;

A11 = (−1)

= (−1)

4 1

−3

A12

= −

1 −3

= −10 ;

A22

2 2

= −4 ;

A32 = −

2 2

= 8 ;

−3

A13

1 2

= −2 ;

A23

= −

2 3

=1;

A33

2 3

=1.

Следовательно:

−13

−1

= −

−10

−4 8

−2

Откуда

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.02.2015113.66 Кб32KONTROL_NAYa_RABOTA_fizika.doc
#
19.09.201936.77 Кб23kontr_po_politologii.docx
#
11.02.2015232.62 Кб256Kraevedenie.docx
#
24.04.201966.97 Кб25kratkie_otvety_po_obshey_1_semestr.docx
#
13.11.201957.3 Кб5krug_umel_ruki.docx
#
11.02.2015352.75 Кб14Kr_1.pdf
#
11.02.201570.81 Кб44KurSOVAYa_33__33__33.docx
#
17.11.2019112.16 Кб5KURSOVAYa_PO_MUZ_KE_proverennoe_3_raz.docx
#
11.02.2015191.49 Кб15KursRABOTA-OBRAZETs.doc
#
11.02.20151.02 Mб24kurs_lekciy_up.pdf
#
10.02.2015245.25 Кб20kurs_lektsy_sotsiologia_20_chasov.doc