Лекция 2. Системы счисления План:

1. Позиционные системы счисления;

2. Двоичная система счисления. Преобразование чисел и правила выполнения арифметических действий над двоичными числами;

3. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления;

4. Перевод чисел из одной системы счисления в другую;

5. Арифметические действия с шестнадцатеричными числами

6. Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

7. Прямой и дополнительный код

1. Позиционные системы счисления

Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью цифр — символов некоторого алфавита.          Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает.

Примеры непозиционных систем счисления: унарная (единичная) система счисления, древнеегипетская сч, римская система счисления, алфавитная система счисления.

Унарная (единичная) система счисления характеризуется тем, что в ней для записи чисел применяется только один вид знаков – палочка. Каждое число в этой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых равнялось обозначаемому числу.

В древнеегипетской системе счисления для обозначения ключевых чисел (1,10, 100 и т.д.) использовались специальные значки – иероглифы. Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи сложения. эта система считалась десятичной, но непозиционной, т.е. величина числа не зависела, в каком порядке располагались составляющие ее знаки (сверху вниз, справа налево, в произвольном порядке). Тысяча – цветок лотоса, сотня – свернутые пальмовые листья, десяток – дуга, единица – шест. Например, число 3252 состояло из трех цветков, двух листов, пять дуг и двух шестов.

В алфавитной СЧ (греческая, славянская, финикийская и др.), числа от 1 до 9, десятки (от11 до 90), сотни (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита. Первые 9 букв – единицы, вторые 9 – десятки, третья девятка – сотни.

В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы (I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000). Величина числа в римской системе определяется как сумма и разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа – прибавляется.

Примеры.

1. Число 32 в римской системе счисления имеет вид:

XXXII = (X+X+X)+(I+I) =30+2 (две группы первого вида)

2. Число 444 в римской системе счисления имеет вид:

CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) (= 400 + 40 + 4 – три группы второго вида)

3. Число 1974:

MCMLXXIV = M+(M-C)+L+(X++X)+(V-I) = 1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа участвуют отдельные «цифры»)

3. Число 2005:

MMV = (M+M) +V = 1000+1000+5 (две группы первого вида)

5. Число 1997:

MCMXCVII = 1000 + (1000-100) + (100-10) +5 + 1 + 1

В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в записи числа, а в непозиционных — не зависит. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим.          Каждая позиционная система использует определенный алфавит цифр и основание. В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в ее алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения цифр соседних разрядов числа.          Наиболее распространенными в настоящее время позиционными системами счисления являются десятичная и двоичная.

Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Цифра 5 встречается трижды, причем самая правая обозначает пять единиц, вторая справа — пять десятков и, наконец, третья — пять сотен.       В развернутой форме запись числа 555 в десятичной системе выглядит следующим образом:

555₁₀ = 5*10² + 5*10¹ + 5*10⁰

Как видно из примера, число в позиционных системах счисления записывается в виде суммы степеней основания (в данном случае 10), коэффициентами при этом являются цифры данного числа.