Глава 11. Классический метод расчета переходных процессов
11.1. Общие сведения
Под переходными процессами понимают процессы перехода от одного режима работы электрической цепи к другому режиму, чем-либо отличающемуся от предыдущего, например, величиной действующей в схеме ЭДС, значениями параметров схемы или конфигурацией цепи. Эти процессы не могут протекать мгновенно, так как невозможны мгновенные изменения энергии, запасенной в электромагнитном поле цепи.
П
ереходные
процессы вызываются коммутацией в цепи.
Коммутацией
называется процесс замыкания или
размыкания цепи с помощью выключателей,
которая на схемах обозначается следующим
образом:
Продолжительность переходных процессов составляет 10-2-10-6 с и реже 1-10 с.
Задача в переходном процессе в любой линейной электрической цепи с сосредоточенными параметрами сводится к решению дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (R, L, C, М).
Для схемы (рис.11.1) при замыкании цепи можно записать по второму закону Кирхгофа уравнение
и
ли
.
(11.1)
Как известно из
математики, уравнение, содержащее
неизвестную функцию (в нашем случае i)
и ее производные (
),
называется
Рис. 11.1 дифференциальным уравнением.
Таким образом, задача об определении тока
как функции времени по сути дела есть задача о решении дифференциального уравнения.
Из курса математики известно, что решение дифференциального уравнения есть не что иное, как отыскание функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению. Подстановка этой функции и ее производных превращает дифференциальное уравнение в тождество.
В курсе ТОЭ обычно рассматривают три метода расчета переходных процессов: классический, операторный и частотный.
11.2. Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений переходного процесса
Из курса математики известно, что общий интеграл линейного дифференциального уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения.
Так решением уравнения (11.1) является
,
(11.2)
где
частное
решение неоднородного дифференциального
уравнения,
называемое принужденной
составляющей
тока; зависит от вида функции, стоящей
в правой части уравнения (11.1).
Принужденные
составляющие тока
или напряжения
физически представляют собой составляющие,
изменяющиеся с той же частотой, что и
действующая в схеме принуждающая ЭДС,
иначе
,
называются
установившимися величинами.
Определяются
принужденные составляющие в цепи
синусоидального тока символическим
или классическим методами. Если в схеме
действует источник постоянной ЭДС, то
есть постоянный ток и находится он при
помощи тех методов, которые были изучены
в разделе «Расчет цепей постоянного
тока». Следует помнить, что в емкости С
принужденный ток
=
0, а в индуктивности L
принужденное напряжение
=
0. В данном случае
.
(11.3)
общее решение
однородного дифференциального уравнения,
называемое
свободной
составляющей тока или
преходящим
током.
Однородное уравнение получается из исходного уравнения (11.1), если в нем приравнять правую часть к нулю, т. е.
.
(11.4)
Решением однородного дифференциального уравнения первого порядка (11.4) является показательная функция следующего вида:
,
(11.5)
где А
и р
– некоторые постоянные, от времени не
зависящие числа. Без вывода:
и
.
Подставив эти значения в уравнение
(11.5), получим:
.
(11.6)
После подстановки (11.3) и (11.6) в уравнение (11.2), получим:
.
(11.7)
Выражение (11.7) является решением дифференциального уравнения (11.1). Если подставить (11.7) в уравнение (11.1), то получим тождество: Е = Е.
Во всех линейных
электрических цепях свободные составляющие
тока
и напряжения
затухают во времени по показательному
закону, так как с увеличением времени
t
множитель
в выражении (11.6) быстро уменьшается.
Название «свободная» составляющая объясняется тем, что эта составляющая есть решение уравнения (11.4), «свободного» от принуждающей силы.
Переходные ток i и напряжение u – действительно существующие физические величины, их можно заосциллографировать; принужденные и свободные составляющие тока и напряжения являются расчетными компонентами в переходном режиме.