Лекции / GLAVA_13_PEREKhODNYE_PROTsESSY_V_NELINEJNYKh_TsEPYaKh

ГЛАВА 13. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

13.1. Методы расчета

Переходные процессы в нелинейных цепях описываются нелинейными дифференциальными уравнениями; эти уравнения не имеют общего метода решения.

К наиболее часто применяемым приближенным методам относятся:

1. линеаризация всего уравнения;

2. линеаризация второстепенных членов уравнения, превращающая уравнение в линейное;

3. аналитическое выражение нелинейной характеристики;

4. замена нелинейной характеристики ломаной линией;

5. деление процесса на временные последовательные интервалы, внутри которых нелинейное уравнение заменяется линейными уравнениями с постоянными коэффициентами;

6. графическое интегрирование.

13.2. Включение катушки с ферромагнитным сердечником

на синусоидальное напряжение

П осле коммутации уравнение для мгновенных значений напряжений цепи (рис.13.1) имеет вид:

или (13.1)

Рис. 13.1 где  потокосцепление катушки;

 сопротивление обмотки (потерями на

вихревые токи и гистерезис пренебрегаем).

В дифференциальном уравнении (13.1) заменим ток из известной зависимости т.е. где  статическая индуктивность катушки, она зависит от потокосцепления,

(13.2)

Так как индуктивность катушки с ферромагнитным сердечником является нелинейной величиной, уравнение (13.2) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение, решение которого возможно приближенное. Применим для решения уравнения (13.2) метод линеаризации второстепенного члена уравнения.

Известно, что для реактивной катушки второй член левой части уравнения (13.2) – активное напряжение количественно играет обычно значительно менее существенную роль, чем первый член – индуктивное напряжение, то при решении уравнения можно предположить, что индуктивность катушки не зависит от потокосцепления и является величиной постоянной (в этом заключается сущность метода линеаризации второстепенного члена уравнения). При этом предположении получаем линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (13.3):

(13.3)

Уравнение (13.3) решаем классическим методом, т.е. потокосцепление определяем как сумму принужденного и свободного составляющих:

(13.4)

Известно, что принужденная составляющая потокосцепления катушки при синусоидальном напряжении имеет синусоидальный характер (см. гл. 10) и отстает от напряжения на угол 90⁰:

(13.5)

где

Для определения свободной составляющей потокосцепления запишем однородное дифференциальное уравнение:

(13.6)

решением которого является следующее выражение:

(13.7)

Подставив выражения (13.5) и (13.7) в уравнение (13.4), получим:

(13.8)

Для цепи (13.1) имеем нулевые начальные условия: при

Подставляем начальные условия в уравнение (13.8):

откуда постоянная интегрирования

(13.9)

Подставив значение А в уравнение (13.8), получим окончательное выражение для потокосцепления переходного процесса:

(13.10)

П остроим по выражению (13.10) зависимость потокосцепления от времени, приняв начальную фазу напряжения



Рис. 13.2

Из рис.13.2 видно, что наиболее опасным является случай включения катушки в момент, когда принужденное потокосцепление должно проходить через свое наибольшее по абсолютной величине значение, так как при малом отношении потокосцепление в конце первого полупериода почти в 2 раза превышает амплитуду при установившемся режиме.

Так как наибольшая опасность возникает при малых значениях отношения , то водя предположение следует принимать для наибольшее возможное значение, определяемое по кривой

П о кривой рис.13.2, можно построить с помощью кривой зависимость Эта зависимость (рис.13.3) строится следующим образом. Для любого момента времени по графику рис.13.2, определяется (например, для ). Это значение потокосцепления переносится на кривую рис.13.3,а; по определяется . На графике (рис.13.3,б) для данного момента времени откладывается значение тока .

а)

б)

Рис. 13.3

Включение катушки с ферромагнитным сердечником на синусоидальное напряжение аналогично включению трансформатора или автотрансформатора на переменное напряжение без нагрузки (холостой ход). Так как в современных трансформаторах максимальное значение магнитного потока при нормальном режиме работы лежит за коленом кривой намагничивания (у прямолинейного участка), то повышение потокосцепления во время переходного процесса до связано с резким увеличением тока в цепи («толчок тока»), как это следует из кривой Явление «толчка тока» смягчается наличием стыков в магнитной цепи, потоком рассеяния и вихревыми токами в магнитопроводе. Практика показала, что ток при включении ненагруженных трансформаторов иногда в десятки раз превосходит установившийся ток холостого хода и может превысить не только ток при нормальной нагрузке, но и ток при установившемся коротком замыкании. Во избежание появления указанных сверхтоков и связанных с ними серьезных повреждений вследствие ненормальных электродинамических усилий в обмотках мощные трансформаторы включают через особые пусковые сопротивления, которые после окончания переходного процесса замыкают накоротко.

31