2.6. Логический элемент «управляемое не»

Ранее обсуждались только однокубитные логические элементы. Для квантовых вычислений важны двухкубитные элементы, в которых эволюция одного кубита зависит от состояния второго. Самый простой из них – это элемент «управляемое НЕ», показанный на рисунке.

Элемент «управляемое НЕ» - это преобразование, связанное с двумя кубитами. Значение контрольного кубита (на рисунке – вверху) влияет на нижний, чьё значение «переключается» на обратное, если верхний кубит несёт «1», и не меняется, если верхний кубит несёт «0». Иначе, суть его работы в том, что значение так называемого целевого кубита (кубит-мишень) меняется на обратное в том и только в том случае, если контрольный кубит имеет логическое значение «1». Логическое значение контрольного кубита не меняется. Можно описать действие квантового логического элемента «управлямое НЕ» следующими преобразованиями

,

,

где иотносятся к контрольному кубиту, аи- к целевому. Вместе с однокубитными преобразованиями, описанными ранее, квантовый логический элемент «управляемое НЕ» может быть использован для построения квантовых вычислительных сетей. Одно из интересных приложений этих элементов состоит в создании с их помощью двухкубитных и многкубитных перепутанных состояний.

3. Парадокс эйнштейна – подольского – розена (эпр)

Квантовая механика является чрезвычайно успешной теорией и занимает уникальное место не только в истории физики, но и в истории науки вообще. В результате развития квантовой механики сформировались новые области, такие как, например, квантовая оптика, квантовая электроника, квантовая электродинамика и другие. Она явилась основой при создании теории сверхпроводимости и сверхтекучести, а также теории квантованных полей. Кроме того, появились и успешно развиваются и прикладные области, основанные на квантовой механике: все приборы и устройства микроэлектроники работают по законам квантовой физики.

Тем не менее, несмотря на такие впечатляющие успехи, и непосредственно после создания квантовой механики и в настоящее время отсутствует общее согласие по принципиальным основам и интерпретации результатов. Теория даёт информацию об исходе измерения физической величины. По мнению некоторых исследователей, однако, теория не даёт удовлетворительного ответа на вопрос, какого характера «реальность» надо приписать физическим объектам между актами измерения. В последние годы в связи с работами по квантовым вычислениям и квантовому компьютеру многие проблемы, связанные с основами квантовой механики, стали вновь интенсивно обсуждаться.

Сразу после формулировки основных принципов и положений квантовой механики стало ясно, что она содержит принципиально новые черты по сравнению с мировоззрением классической физики и интуицией вообще. Длительное время происходил знаменитый диалог между А. Эйнштейном и Н. Бором. Вначале Эйнштейн утверждал, что квантовая механика несостоятельна из-за индетерминизма, позже он переформулировал свои выводы, доказывая, что она неполна. В 1935 году А.Эйнштейн, Б.Подольский и Н.Розен (ЭПР) предложили мысленный эксперимент, на основании результатов которого они пришли к выводу, что квантовомеханическое описание не является полным, и что существуют элементы реальности, которые не учитываются в квантовой механике – описание станет полным, если найти "скрытые параметры".

ЭПР рассматривали квантовые системы, состоящие из таких двух частиц, что ни координата, ни импульс каждой из частиц не определены, но сумма их координат (положение их центра масс) и разность их импульсов (импульс их центра масс) определены абсолютно точно. Тогда получается, что измерение координаты или импульса, например, частицы 1 немедленно придаёт частице 2 точное значение координаты или импульса без взаимодействия с этой частицей. Исходя из того, что частицы 1 и 2 могут быть разнесены на произвольные расстояния, ЭПР предполагали, что измерение частицы 1 не может на самом деле повлиять на частицу 2 (условие локальности). Следовательно, свойства частицы 2 не должны зависеть от измерения, произведённого над частицей 1. ЭПР полагали, что координата и импульс могут одновременно являться хорошо определёнными свойствами системы. Это противоречит принципу неопределённостей В. Гейзенберга в квантовой механике.

Н. Бор утверждал, что две частицы в случае ЭПР всегда являются частями одной квантовой системы. Это означает, что измерение над одной из частиц меняет возможные предсказания, которые можно сделать для всей системы, а значит и для второй частицы.

Дискуссию ЭПР – Бора долгое время считали чисто философской, пока в 1951 году Д. Бом не ввёл системы, перепутанные по спину.

Принципиальная трудность возникает потому, что волновая функция |ψ> задаётся, обычно, как когерентная суперпозиция всевозможных различных исходов опыта. Если обозначить множество состояний, соответствующих возможным исходам эксперимента, через |ψ>_j , то |ψ>=, где c_j=<. Вероятность исхода |ψ>_j равна p_j=|c_j|². В процессе измерения происходит так называемый "коллапс" волновой функции и выбирается одно определённое состояние |ψ>_j физического объекта. Трудность возникает при интерпретации механизма, с помощью которого это определённое состояние выбирается из всех возможных.

Рассуждать об «ЭПР-парадоксе» в терминах пси-функции вообще не имеет смысла. Матрица плотности содержит информацию двоякого рода: во-первых — о корреляциях между частями самой системы; во-вторых — о корреляциях системы с окружением (которых может и не быть в случае чистого состояния). Речь идет, прежде всего, о нелокальных корреляциях, поскольку классические корреляции (сепарабельные состояния) и раньше с успехом описывались теми же пси-функциями. Но только на основе матриц плотности стало возможным описание квантовых корреляций (несепарабельных состояний). Только с их помощью квантовая теория стала по-настоящему квантовой, способной охватить ее основную специфику, отличающую ее от классической физики — несепарабельные (запутанные) состояния.

Рассмотрим двухкомпонентную систему, состоящую их двух частиц со спином 1/2. До определённого момента времени t=0 эти частицы находятся в связанном состоянии с нулевым моментом количества движения. Соответствующее состояние обозначим через |ψ_1,2.В момент времени t=0 «выключается» связывающий потенциал, например, фоторасщеплением молекулы, не сообщая системе момент количества движения и не возмущая спины каким-либо образом. Отдельные части системы становятся свободными и могут быть разнесены в противоположные стороны лаборатории на макроскопическое расстояние или, вообще говоря, в противоположные стороны Вселенной.

Рассмотрим две схемы экспериментальных установок.

Рис. 3.1. Схема мысленного эксперимента ЭПР в интерпретации Д. Бома.

Система со спином, равным 0, например, ортоводород, расщепляется внешним полем. Две частицы со спином 1/2 (протоны) распространяются в противоположных направлениях. Частица 1 проходит через прибор Штерна – Герлаха, ориентированный вдоль оси z (а) или ориентированный вдоль оси x (б). Рассмотрим случай, когда измеряется z – составляющая спина 1. До измерения вектор состояния системы имеет вид:

, (3.1)

где стрелки обозначают соответствующие проекции спина относительно оси z для соответствующих частиц.

Тогда анализ ЭПР будет следующий:

1. Выберем произвольное направление, которое будем считать осью z, и пропустим один атом, например, атом 1, через прибор Штерна – Герлаха (ПШГ), ориентированный вдоль оси z. В результате частица отклонится либо в направлении по оси z, либо в направлении против оси z. Пусть, для определённости, это будет +z. Следовательно, известно, что частица находится в состоянии со значением , равным +1.

2. Зная, что спин частицы 1 направлен вверх, заключаем, что спин частицы 2 направлен вниз, чтобы выполнялся закон сохранения момента. Но если теперь пропустить атом 2 через ПШГ, ориентированный вдоль оси x, т.о. будет известно значение .

3. Следовательно, теперь известны обе проекции (z и x) спина частицы 2, что нарушает принцип дополнительности.

Рассмотренную версию парадокса ЭПР, основанную на аппаратном нарушении принципа дополнительности («определены» как , так и), можно также сформулировать, рассматривая векторы состояния. Рассмотрим случай измерения z – компоненты спина частицы 1, как показано на рис. 3.1. До измерения в момент времени t₀ вектор состояния системы имеет вид

, (3.2)

где обозначает состояние частицы 1 до измерения (t<t₀). Если после измерения, сделанного над частицей 1, оказывается, что она находится в состоянии, например, , то состояние частицы 2 будет , где обозначает состояние частицы 2 после измерения (t>t₀). По мнению ЭПР, поскольку в момент измерения две системы больше не взаимодействуют, то во второй системе не должно происходить никакого реального изменения, являющегося следствием того, что происходит с первой системой. Более того, поскольку, «осматривая» частицу 1, мы не влияем на частицу 2, состояние частицы 2 должно быть одинаковым до и после измерения: ==|.«Таким образом, можно приписать два различных вектора состояния одной и той же реальности» (ЭПР). Использование перепутанных, например, спиновых синглетных состояний, введённых ЭПР и расширенных Беллом (см. далее) показывает, насколько необычным является квантовый мир.

Неспособность квантовой механики дать точные детерминированные предсказания для исходов измерений заставила Эйнштейна, Подольского, Розена постулировать существование «скрытых» переменных, которые неизвестны и, возможно, неизмеряемы. Ожидалось, что введение этих скрытых переменных восстановило бы полноту и детерминизм квантовой теории.

Основой для количественной проверки гипотезы скрытых переменных являются неравенства Белла.