2. 3. Преобразование одного кубита
Одно из основных преобразований в квантовой теории информации – это преобразование Адамара. Оно действует на кубит следующим образом:
Применив, например, его к кубиту
|
получим
т.е. строго определённое значение кубита. Это было бы невозможно сделать с некогерентной смесью.
Рассмотрим действие простого делителя, делящего луч в отношении50/50. Такие делители были реализованы не только для фотонов. Пусть имеется две входящие и две выходящие моды.
вход
выход
|0>in
|0>out
1
H
3
2
4
|1>in
|1>out
Рис. 2.3. Действие простого делителя
Частица, падающая
сверху или снизу на такой делитель,
появится либо в верхнем, либо в нижнем
выходящем луче с одной и той же вероятностью
0,5.
Д
,
Фазовое действие делителя будет описываться преобразованием Адамара.
Предположим, что состояние на входе – произвольный кубит
Для одной частицы
это означает, что
-это
амплитуда вероятности обнаружить
частицу, падающую на делитель сверху,
а
- амплитуда обнаружить частицу, падающую
снизу. Тогда в результате действия
делителя, получается конечное состояние
,
так что амплитуда
вероятности найти частицу в верхнем
выходящем пучке равна
,
а амплитуда вероятности найти её в
нижнем пучке равна
.
В частности, если
или
=0,
то частицу с равной вероятностью можно
обнаружить в любом из выходящих пучков.
В случае же
частица будет обязательно обнаружена
в верхнем пучке и никогда не будет
обнаружена в нижнем пучке.
Рассмотрим последовательность таких делителей, осуществляющих последовательность преобразований Адамара. Используется интерферометр Маха-Цандера с двумя одинаковыми делителями
|0>out
|0>in
|1>in
|1>out
З2
Н Н
Рис. 2.4. Действие последовательности делителей и двух преобразований Адамара
В данном случае зеркала нужны только для того, чтобы перенаправить пучки. Действие интерферометра как последовательность двух последовательных преобразований Адамара представляется в виде:
Результат прямо следует из того факта, что двойное действие преобразования Адамара есть тождественное преобразование - на выходе интерферометра воспроизводится входное состояние. В частном случае, когда на входе имеется только одно состояние ( = 1, = 0), на выходе частица будет обнаружена в верхнем пучке, хоть и внутри интерферометра эта частица имеет одинаковые вероятности оказаться в каждом из плеч. Дело в том, что выходные амплитуды вероятностей определяются относительной фазой, набегающей в интерферометре. В оптике этот эффект изучен досконально и не вызывает удивления. С массивными частицами, поведение которых можно описывать волнами де Бройля дело происходит точно также.
На языке теории квантовой информации рассмотренный эффект формулируется так: кубит на выходе интерферометра имеет определенное значение, если и только если кубит на входе имеет определенное значение, внутри интерферометра его состояние максимально неопределенно.
Кроме элемента Адамара важным квантовым логическим элементом является фазовращатель Ф. Его действие состоит в том, чтобы вносить сдвиг фаз у одного из пучков (будем считать, что это происходит в нижнем пучке, хотя это не важно - важна только относительная фаза).
|0>in
|0>out
З1
ei
|1>in
|1>out
З2
Н Н
Ф
Рис. 2.5. Действие последовательности делителей и фазовращателя
Действие фазовращателя можно описать унитарным преобразованием
,
Значит, выходной кубит можно вычислить, применяя последовательно все соответствующие преобразования к кубиту, который был на входе
.
Если на входе
имеется только один пучок, например,
,
т.е.
=0.
Тогда конечное состояние будет
Для
значение кубита определено и равно «0».
Для
значение кубита равно «1». Таким образом,
фазовый сдвиг может переключать состояние
выходного кубита между «0» и «1». В общем
случае произвольного сдвига вероятность
того, что кубит имеет значение «0» будет
,
а вероятность того, что кубит имеет
значение «1», будет
.