семестр 5 / задания / высшая математика 1 / занятие 2

М ИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Тольяттинский государственный университет»

(наименование института полностью)

Кафедра /департамент /центр¹ _______ Институт химии и энергетики

___________________________________________

(наименование кафедры/департамента/центра полностью)

13.03.02 Электроэнергетика и электротехника

(код и наименование направления подготовки, специальности)

(направленность (профиль) / специализация)

Практическое задание №__2_

по учебному курсу «_____Высшая математика__________________________»

(наименование учебного курса)

Вариант ____ (при наличии)

Студент	Яшин Иван Александрович (И.О. Фамилия)
Группа	(И.О. Фамилия)
Преподаватель	(И.О. Фамилия)

Тольятти 2020

Задание 2

РАЗДЕЛ№4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Задача №1

Построить график функций.

Вариант № 8

y=5x²+24x-2

y=ln(-3x)+1

y=sin0,5x-2

y=e^|x|

Решение:

5x²+24x-2

y=ln(-3x)+1

y=sin0,5x-2

y=e^|x|

Задача №2.

Записать уравнения кривых в полярных координатах и построить их.

Вариант №1.

y=-5x

x²+y²=√3

x²+y²=-20x

x²+y²=15y

Решение.

y=-5x

x=rcosφ

y=rsinφ

rsinφ=-5rcosφ

r(sinφ+5cosφ)=0

r=1/(sinφ+5cosφ)

r=1/(sinφ+5cosφ)

x²+y²=√3

r²cos²+r²sin²=√3

r²=√3

r=²√3

r=²√3

x²+y²=-20x

r²=-20rcosφ |:r

r=-20cosφ

r=-20cosφ

x²+y²=15y

r²=15rsinφ

r=15sinφ

r=15sinφ

Задача № 3

Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления.

Вариант № 13.

lim_x→53x²-16x+5/2-√x-1

lim_x→∞2x/³√x²+4+³√x²+4

lim_x→0tg(x-√x)/sin5x

lim_x→∞(x²+4/x²+1)^{1-x^2}

lim_x→∞x(ln(x+4)-lnx)

Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенность 0/0 и ∞ / ∞. Для нашего примера:

Применим правило Лопиталя, которое гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Для нашего примера: f(x) = 3·x²-16·x+5

Находим производные f'(x) = 6*x-16

=0

Выполним элементарные преобразования: sin(5·x)=5·x Тогда исходный предел можно представить в виде:

Используя свойство первого замечательного предела, выполним элементарные преобразования:

Тогда исходный предел можно представить в виде:

=-∞

Используя свойства второго замечательного предела

Получаем

lim_x→∞(x²+4/x²+1)^{1-x^2}=lim_x→∞(1+3/x²+1)^{-x^2+1}=e^-3

Для последующих вычислений представим функцию как:

Теперь предел можно найти от функции:

а полученный результат прологарифмировать.

Используя свойства второго замечательного предела:

Получаем:

Находим логарифм от полученного выражения: ln(exp(4)) = 4

Задача № 4

Исследовать на непрерывность функции, найти точки разрыва и определить их тип. Построитьсхематические графики функций.

Вариант № 8

y=x²-4x+3/x-1

y=|x-6|/x-6

2x+2 -∞<x<-1

y= x²-1 -1<x<1

3 1<x<∞

Найдем точки разрыва функции внутри указанной области. Находим переделы в точке x=1

В этой точке функция имеет равные пределы, поэтому непрерывна.

y=x²-4x+3/x-1

y=|x-6|/x-6

x=6

lim_x→6-0x-6/x-6=0/0

lim_x→6+0x-6/x-6=0/0 разрыв 2 порядка.

y=|x-6|/x-6

2x+2 -∞<x<-1

y= x²-1 -1<x<1

3 1<x<∞

Исследуем точку стыка промежутков x=-1

В этой точке пределы существуют и они равны, поэтому функция в этой точке непрерывна. Исследуем поведение функции на отрезке (-1;1).

Пределы существуют, на указанном промежутке функция непрерывна. Исследуем точку стыка промежутков x=1

В этой точке пределы существуют, но они разные, поэтому это точка разрыва I-го рода. Исследуем поведение функции на отрезке (1;∞).

Пределы существуют, на указанном промежутке функция непрерывна.

x²-1

3

2x+2

1 Оставить нужное