ЛР / ЛР2 / ИМ ЛР2

ГУАП

КАФЕДРА №41

ОТЧЕТ ЗАЩИЩЕН С ОЦЕНКОЙ

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ

ОТЧЕТ О ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №2

ДАТЧИКИ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ. ПОСТРОЕНИЕ ГИСТОГРАММ

по курсу: Имитационное моделирование

РАБОТУ ВЫПОЛНИЛ

СТУДЕНТ ГР. №

Санкт-Петербург 2022

Цель работы

Изучение алгоритмов получения на ЭВМ чисел с заданным законом распределения

и построения гистограмм.

Индивидуальный вариант

Индивидуальный вариант номер 10 в соответствии с таблицей 1.

Таблица 1 – Индивидуальный вариант задания

Ход работы

1.Формула и график моделируемого закона распределения.

Нормальное распределение описывается следующей формулой:

√2

График нормального распределения для нашего варианта при µ = -1, σ = 5 в

соответствии с рисунком 1.

Рисунок 1 – График нормального распределения Полученное соотношение из нормального распределения:

, где Ri и Ri+1 две независимые случайные величины.

2

2. Описание разработанных программ для моделирования нормального закона распределения.

Список использованных переменных функции plotiong_norm_hist () в соответствии с таблицей 2.

Таблица 2 – Список используемых переменных функции plotiong_norm_hist()

Для генерации случайных чисел нормального распределения была использована функция norm_random(mu, sigma, N) в соответствии с листингом 1.

Листинг 1 – Функция генерации значений нормального распределения

def norm_random(mu, sigma, N):

'''Функция создающая случайные числа для нормального распределения'''

alpha = [] # Список сгенерированных чисел for i in range(0, N//2+1):

R1 = np.random.uniform(0,1) # Случайная величина R[i]

R2 = np.random.uniform(0,1) # Случайная величина R[i+1] alpha.append(mu+sigma*np.sqrt(-2*np.log(R1))* \

np.sin(2*np.pi*R2)) alpha.append(mu+sigma*np.sqrt(-2*np.log(R1))* \

np.cos(2*np.pi*R2))

return alpha[:N]

3

Код программы в соответствии с листингом 2.

Листинг 2 – Функция создание набора данных выборки для построения графика

def plotiong_norm_hist(mu, sigma, intervals_cnt = 10, step = 1, minNi=100):

'''Создание набора данных выборки для построения графика'''

matexp, disp = [], [] # Список МО и Дисперсии при разных N N_array = [] # Список N для которых расчитаны МО и Дисперсии

while True: N += step

A_new = norm_random(mu, sigma, step) A.extend(A_new)

# Добавление новых элементов в соответствующии им интервалы for i in range(len(intervals) - 1):

Ni[i] += sum(True for x in A_new if intervals[i] < x <= intervals[i+1])

# Проверка процента чисел выходящих за пределы текущих интервалов if (N - sum(Ni)) / N > 0.01:

intervals, Ni, x_min, x_max, delta = \ slicearray(A, intervals_cnt)

#Считаем МО и Дисперсию matexp.append(np.mean(A)) disp.append(np.var(A)) N_array.append(N)

# print(N, Ni, np.mean(A), np.var(A)) # Тестовый вывод

#Проверка что все интервалы содержат минимум minNi элементов if min(Ni) >= minNi: break

print(N, Ni, intervals, sep='\n')

# определение значений плотности вероятности для интервалов

Y = [cnt / (N * delta) for cnt in Ni] ploting_normal_distribution(mu, sigma, intervals, Y) return matexp, disp, N_array

4

Рисунок 2 – График смоделированного закона нормального распределения

5. Графики зависимости оценок математического ожидания и дисперсии от объема выборки в соответствии с рисунком 4. На графиках уровнем отметить теоретические значения этих величин.

Рисунок 3 – Графики зависимости оценок математического ожидания и дисперсии от объема выборки

5

Вывод

В ходе данной лабораторной работы мы познакомились с тем, что такое датчики случайных чисел, и реализовали один из них.

Разработанный нами датчик позволяет преобразовывать равномерное распределение в диапазоне от [0, 1] в нормальное распределение с заданными параметрами.

Чтобы генерировать значения, принадлежащие нормальному распределению нами,

была написана соответствующая функция, которая использует выражения, выведенные методом преобразование Бокса-Мюллера из уравнения нормального распределения.

Подставив в них необходимые значения МО и СКО, мы получаем значения,

принадлежащие нормальному распределению.

Затем, чтобы построить гистограмму была написана вторая функция позволяющая,

итеративно добавляя в выборку значения определить оптимальный размер выборки для построения достаточно точного графика нормального распределения. По полученному в результате набору интервалов и плотностей вероятности построил гистограмму, которая очень близко повторяла линию уравнения нормального распределения.

Во время итеративного подбора оптимального объема выборки мы рассчитывали МО и дисперсию для промежуточных объемов выборки и после завершения работы алгоритма построили графики зависимости оценок математического ожидания и дисперсии от объема выборки. Построенные графики показали, что с увеличением объёма растёт и точность моделирования равномерного распределения.

6

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Код программы

from matplotlib import pyplot as plt import numpy as np

def ploting_normal_distribution(mu, sigma, intervals = [], weights = []):

'''Построение графика нормального распрелеоения'''

if len(intervals) != 0 and len(weights) != 0: plt.hist(intervals[:-1], intervals, weights = weights)

f = lambda x : 1 / (sigma * np.sqrt(2*np.pi)) * np.exp(-(x- mu)**2/(2*sigma**2))

x = np.linspace(mu-4*sigma, mu+4*sigma, 100) #Генерируем список из кол. элементов

plt.plot(x, f(x), label='f(x)=1/(sigma*np.sqrt(2*np.pi))*\nnp.exp(-(x- mu)**2/(2*sigma**2)\n mu={} sigma={}'.format(mu, sigma), color='red')

plt.title("График нормального распределения") plt.xlabel("x")

plt.ylabel("y")

plt.legend()

plt.show()

def ploting_ME_Disp(matexp, mu, disp, sigma, N_array): fig, axis = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 5)) fig.suptitle('Статистика')

#Рисуем график МО

axis[0].plot(N_array, [mu for i in range(0, len(N_array))], color='red', label='Теоретическое значение')

axis[0].plot(N_array, matexp, label='Рассчитанное значение') axis[0].set_title('Мат ожидание') axis[0].set_xlabel('Размер выборки')

axis[0].legend()

# Рисуем график дисперсии sigma **=2

axis[1].plot(N_array, [sigma for i in range(0, len(N_array))], color='red', label='Теоретическое значение')

axis[1].plot(N_array, disp, label='Рассчитанное значение') axis[1].set_title('Дисперсия')

axis[1].set_xlabel('Размер выборки') axis[1].legend()

plt.show()

def norm_random(mu, sigma, N):

'''Функция создающая случайные числа для нормального распределения'''

alpha = [] # Список сгенерированных чисел for i in range(0, N//2+1):

7

np.sin(2*np.pi*R2))

alpha.append(mu + sigma * np.sqrt(-2*np.log(R1)) * np.cos(2*np.pi*R2))

return alpha[:N]

def slicearray(array, intervals_cnt):

'''Функция для разбивки списка на интервалы и подсчета кол. попаданий'''

interval=[] #список интервалов entries = [] #список кол. попаданий x_min, x_max = min(array), max(array)

delta = (x_max - x_min) / intervals_cnt

#заполняем список интервалов

for x in range (intervals_cnt+1): interval.append(x_min + delta * x)

for i in range(intervals_cnt):

entries.append(sum(True for x in array if interval[i] < x <= interval[i+1]))

return interval, entries, x_min, x_max, delta

def plotiong_norm_hist(mu, sigma, intervals_cnt = 10, step = 1, minNi=100):

'''Создание набора данных выборки для построения графика'''

while True: N += step

A_new = norm_random(mu, sigma, step) A.extend(A_new)

for i in range(len(intervals) - 1): # Добавление новых элементов в соответствующии им интервалы

Ni[i] += sum(True for x in A_new if intervals[i] < x <= intervals[i+1])

if (N - sum(Ni)) / N > 0.01: # Проверка процента чисел выходящих за пределы текущих интервалов

intervals, Ni, x_min, x_max, delta = slicearray(A, intervals_cnt)

8