Лабораторная работа №3.
Точечное оценивание моментов случайной величины.
1.Цель работы
Ознакомление со способами моделирования случайных чисел с заданным законом распределения в современных математических пакетах,
получение навыков нахождения выборочных моментов случайной величины и получение навыков наглядного представления результатов статистической обработки данных.
2.Необходимые теоретические сведения
Как известно из курса теории вероятностей, k-й начальный момент характеризует среднее значение случайной величины, возведенной в степень k. Поэтому естественным (но не единственным) алгоритмом оценивания является оценка через выборочный момент, т.е.:
|
|
|
1 |
N |
|
ˆ |
k |
= |
i |
||
|
|||||
|
N |
k . |
|||
|
|
|
i=1 |
||
|
|
|
|
(1.1)
Здесь |
ˆ |
- оценка k-го центрального момента, N – объем выборки, |
i |
– |
k |
значения элементов выборки. Несложно показать, что данная оценка является
несмещенной. Также из центральной |
предельной теоремы следует, что |
||
ˆ |
будет стремиться к нормальному с ростом N. |
||
распределение k |
|||
Зависимость |
дисперсии оценки |
ˆ |
от объема выборки в случае |
k |
|||
независимости ее элементов определяется следующим выражением: |
|||
|
|
|
D |
|
ˆ |
|
|
= |
1 |
( |
|
|
− |
2 |
, |
|
|
|
|
|
k |
|
N |
2k |
k ) |
(1.2) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
k |
- k-й центральный момент. |
|
Т.е. дисперсия данной оценки убывает |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
пропорционально объему выборки. |
Соответственно |
среднеквадратическое |
||||||||||||||
отклонение (СКО) убывает пропорционально корню из числа элементов в выборке:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ k |
= |
|
2k − k2 . |
|
(1.3) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Таким образом, чем больше объем выборки, тем меньше разброс оценки |
||||||||||||||||||||
относительно истинного значения момента. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Из свойства асимптотической нормальности оценки |
ˆ |
|
||||||||||||||||||
|
k и закона трех |
||||||||||||||||||||
сигма (ЗТС) |
следует |
следующее |
инженерное |
правило: |
при |
достаточно |
|||||||||||||||
большом |
|
объеме выборки |
N, |
выход |
ˆ |
за границы |
диапазона |
||||||||||||||
|
k |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k − 3 |
2k |
k |
, k + 3 |
2k |
k |
|
является редким событием. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
N |
|
|
|
N |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По аналогии с выборочным начальным моментом можно сформулировать понятие выборочного центрального момента.
|
|
ˆ |
|
1 |
N |
|
k |
|
|
|
|
|
( i − ) |
. |
(1.4) |
||||
|
|
k = |
N |
|
|||||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
= 1 |
- истинное |
значение |
математического |
ожидания. На |
||||
практике, как правило, прямое использование выражения (1.4) – невозможно,
т.к. точное значение – не известно. Однако величина может быть оценена заранее, например, при помощи выражения (1.1). Выражение (1.4) при этом принимает вид:
ˆ |
1 |
N |
k |
|
|
k = |
|
( i − ˆ ) |
|
. |
(1.5) |
N |
|
||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для выборочного центрального момента формулируется
правило: при достаточно большом объеме выборки N, выход |
ˆ |
k |
следующее за границы
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||
диапазона |
|
2k − k |
, k + 3 |
2k − k |
|
является редким событием. |
k − 3 |
N |
N |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
3.Порядок выполнения работы
1. Записать плотность вероятности (ряд распределения) и
интегральную функцию распределения случайной величины согласно варианту (см. таб. 1.1).
|
2. |
Рассчитать аналитически математическое ожидание , дисперсию |
||||||||
D, среднеквадратическое отклонение и четвертый центральный момент 4 |
||||||||||
случайной величины. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3. |
Сформировать выборку объемом 1000 чисел |
X = |
x |
, x , |
|
, x |
|
||
|
|
1 |
2 |
|
|
1000 , |
||||
распределенных по заданному закону. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
N |
|
|
4. |
Найти по первым N элементам выборки оценку МО ˆ N |
= |
|
|
xi |
||||
|
|
N |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для |
N =1,1000 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
ˆ |
от N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отобразить график зависимости N |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
6. |
Повторить 100 раз пункты 3-5. |
Все получившиеся |
графики |
||||||
зависимости ˆ N от N изображать на одних тех же осях. На графике уровнем отметить истинное значение , а также нанести граничные линии 3 N , где
N - теоретически рассчитанная зависимость СКО оценки МО от объема выборки N (см. выражение (1.3)).
7.Построить графики зависимости квадрата ошибки от объема
выборки для всех 100 экспериментов:
eN
= ( ˆ |
N |
|
− ) |
2 |
|
. График строить в
логарифмическом масштабе по оси абсцисс и оси ординат (по основанию 2)
8.Усреднить графики из п.7 по всем 100 экспериментам. Сравнить полученный график с теоретическим, построенным по формуле (1.2). График строить в логарифмическом масштабе по оси абсцисс и оси ординат (по основанию 2).
9.Повторить п. 3-8 для оценки второго центрального момента. Для
оценки использовать выражение (1.5) .
4.Варианты заданий
Таб. 1.1. Варианты заданий к лабораторной работе №1
Номер |
Распределение |
Параметры распределения |
|
варианта |
|||
|
|
||
|
|
|
|
1 |
Равномерное |
a = 0, b = 10 |
|
|
|
|
|
2 |
Экспоненциальное |
=1 |
|
|
|
|
|
3 |
Нормальное |
=1, = 5 |
|
|
|
|
|
4 |
Релеевское |
= 20 |
|
|
|
|
|
5 |
Биномиальное |
n =1, p = 0.7 |
|
|
|
|
|
6 |
Равномерное |
a = -20, b = 30 |
|
|
|
|
|
7 |
Экспоненциальное |
= 4 |
|
|
|
|
|
8 |
Нормальное |
= −1, =10 |
|
|
|
|
|
9 |
Релеевское |
= 0.5 |
|
|
|
|
|
10 |
Биномиальное |
n =10, p = 0.1 |
|
|
|
|
|
11 |
Равномерное |
a = -50, b = 50 |
|
|
|
|
|
12 |
Экспоненциальное |
=10 |
|
|
|
|
|
13 |
Нормальное |
= 0, =1 |
|
|
|
|
|
14 |
Релеевское |
= 5 |
|
|
|
|
|
15 |
Биномиальное |
n = 20, p = 0.2 |
|
|
|
|
|
16 |
Равномерное |
a = 20, b = 40 |
|
|
|
|
|
17 |
Экспоненциальное |
= 20 |
|
|
|
|
|
18 |
Нормальное |
=10, =10 |
|
|
|
|
|
19 |
Релеевское |
= 3 |
|
|
|
|
|
20 |
Биномиальное |
n = 4, p = 0.9 |
|
|
|
|
|
21 |
Равномерное |
a = 2, b = 4 |
|
|
|
|
|
22 |
Экспоненциальное |
= 5 |
|
|
|
|
|
23 |
Нормальное |
= −10, =10 |
|
|
|
|
|
24 |
Релеевское |
= 5 |
|
|
|
|
|
25 |
Биномиальное |
n = 7, p = 0.7 |
|
|
|
|
5.Содержание отчета
1.Цель работы.
2.График плотности вероятности (ряда распределения) и
интегральной функции распределения случайной величины, выбранной согласно своему варианту.
D,
4
3. |
Аналитический расчет математического ожидания , дисперсии |
|
среднеквадратического отклонения |
и четвертого центрального момента |
|
случайной величины. |
|
|
4.Описание разработанной программы: список использованных переменных, блок-схема, листинг программы.
5.График, построенный по пунктам 5-6 порядка выполнения лабораторной работы.
6.График, построенный по пунктам 7-8 порядка выполнения лабораторной работы.
7.Графики, построенные по пункту 9 порядка выполнения лабораторной работы.
8.Количественные и качественные выводы.