Основы дисперсионного анализа

1. Основные понятия и символы

Определение

Дисперсионный анализ — это статистический метод анализа результатов наблюдений, зависящих от различных одновременно действующих факторов, основанный на сравнении оценок дисперсий соответствующих групп выборочных данных.

Под фактором понимают различные, независимые качественные показатели, влияющие на изучаемые признаки. Факторы обозначают прописными начальными буквами латинского алфавита. Например: А, В, С, ...

Факторы, контролируемые и измеряемые в процессе исследования, называются регулируемыми. Остальные факторы, действующие па изучаемый признак, называются неконтролируемыми. Например, при изучении влияния дозы лекарственного препарата на величину артериального давления больных гипертензией не учитываются такие факторы, как возраст, пол, длительность заболевания, социальный статус и др. В данном случае результаты обследования группируются только по величине дозы принимаемого препарата, и этот фактор является регулируемым.

Признаки, изменяющиеся под воздействием тех или иных факторов, называют результативными. Для их обозначения используют последние буквы латинского алфавита X, Y, Z.

Основная идея дисперсионного анализа состоит в разложении общего отклонения результативного признака на отклонения, вызванные влиянием контролируемых факторов, и отклонения, связанные с влиянием случайных факторов. Под отклонением понимается сумма квадратов отклонений относительно выборочных средних.

Очевидно, что если контролируемый фактор оказывает влияние на признак, то при различных уровнях этого фактора будут наблюдаться существенные изменения средних значений признака. Следовательно, изменения, вызванные влиянием контролируемого фактора, будут более значимы, чем влияние неконтролируемых (случайных) факторов.

Таким образом, задача дисперсионного анализа заключается в разложении общей дисперсии признака на дисперсию, вызванную влиянием контролируемого фактора (Д_фак), и дисперсию остаточную (Д_ост), то есть вызванную неконтролируемыми факторами. Отношение факторной дисперсии к остаточной определяется для оценки существенности влияния регулируемых факторов на признак. Для этого используется критерий Фишера, который позволяет выявить значимость отличия факторной и остаточной дисперсий и тем самым подтвердить или опровергнуть гипотезу о влиянии изучаемого фактора на контролируемый признак.

При этом выдвигается две гипотезы: Н₀ — фактор не влияет на признак, и следовательно, ; Н₁ — фактор влияет на признак, и следовательно, хотя бы одно выборочное среднее значимо отличается от других.

Таким образом, с помощью дисперсионного анализа возможно оценить различия между выборочными средними большого количества выборок, что позволяет использовать его подобно критерию Стьюдента, когда выборок больше двух.

Как и любой статистический метод, дисперсионный анализ имеет ряд допущений о свойствах измеряемых случайных величин.

1. Выборочные данные должны быть взяты из совокупностей с нормальным законом распределения, то есть выборки, соответствующие каждому уровню контролируемого фактора, должны подчиняться нормальному закону распределения и характеризоваться двумя параметрами — выборочным средним ( ) и выборочной дисперсией ( ).

2. Выборочные дисперсии каждого уровня контролируемого фактора должны быть равны, то есть .

3. Результаты наблюдений должны быть независимыми.