методичка из инета по мн-вам

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Учебно-методическое пособие

Пенза 2014

УДК 51 (075)

Р 47

Рецензент кандидат педагогических наук, доцент,

заведующая кафедрой начального общего образования ГАОУ ДПО «Институт регионального развития Пензенской области»

А. В. Маркова

Элементы теории множеств: Учебно-методическое пособие/ Сост.: Кулагина Т. В., Тихонова Н. Б. – Пенза: ПГУ, 2014. –32 с.

Учебное пособие подготовлено на кафедре «Теория и методика дошкольного и начального образования» и предназначено для студентов-бакалавров очного и заочного отделений факультета педагогики, психологии и социальных наук, профиль «Начальное образование».

УДК 51(075)

© Кулагина Т.В. ©Тихонова Н.Б.

Пензенский государственный университет, 2014

2

СОДЕРЖАНИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ……………………………......... 4

1.Понятие множества………………………………………………….. 4

1.1. Способы задания множества…………………………………… 5

1. 2. Подмножества……………………………………………........... 8

1.3. Отношения между множествами……………………................. 9

2.ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ……………………………… 13

2.1.Пересечение………………………………………………………. 13

2.2.Объединение………………………………………………............ 13

2.3.Разность…………………………………………………............... 14

2.4.Симметрическая разность…………………………….................. 15

2.5.Декартово произведение…………………………………........... 16

2.6.Разбиение множества на классы. Классификация……………... 17

3.СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ НАД МНОЖЕСТВАМИ…………......... 19

УПРАЖНЕНИЯ…………………………………………………………. 24

Литература………………………………………………………………. 34

3

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Теория множеств как математическая дисциплина создана Кантором1. Теория множеств стала основой многих разделов математики — общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и оказала существенное влияние на современное понимание предмета математики. В первой половине XX века теоретикомножественный подход был привнесён и во многие традиционные разделы математики, в связи с чем стала широко использоваться в преподавании математики, в том числе в школах.

1. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА

Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Понятие множества настолько общее, что невозможно дать ему какое-либо определение, которое не сводилось бы просто к замене слова «множество» его синонимами: совокупность, собрание, объединение элементов и т.п. Объекты, из которых образовано множество, называются его

элементами.

Вот что сказано у самого Кантора: «Под «множеством» мы понимаем любое объединение в одно целое определенных вполне различаемых объектов из нашего восприятия или мысли». Но это описание понятия множества нельзя считать его математическим определением. Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Это понятие можно только постараться пояснить на примерах.

Например:

множество (набор) карандашей в коробке;

множество (класс) хвойных деревьев;

множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной (окружность).

Множества принято обозначать прописными латинскими буквами: A, B, C, D, …, Z, а элементы множества – малыми: a, b, c, d,

…, x, y, z.

1 Георг Кантор (1845-1918) - немецкий математик. Родился 3 марта 1845 в СанктПетербурге. Наиболее известен как создатель теории множеств. Кантор ввёл понятие взаимно-однозначного соответствия между элементами множеств, дал определения бесконечного и вполне-упорядоченного множеств и доказал, что действительных чисел «больше», чем натуральных.

4

Утверждение: «элемент а принадлежит множеству А» символически записывается так: a A.

a A - означает, что элемент a не принадлежит множеству А. Множества, элементами которых являются числа, называются

числовыми множествами.

Для ряда числовых множеств в математике приняты стандартные обозначения:

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел;

C – множество комплексных чисел.

Понятие множества и некоторые другие с ним связанные, являются основой начального обучения математики и широко в нем используются. В большинстве учебников по математике для начальной школы термин «множество» отсутствует, и это понятие используется неявно. Хотя есть некоторые авторы, которые явно включают понятие «множество» в начальный курс математики (Петерсон Л.Г.). Формирование таких важнейших понятий, как число, операций сложения и умножения натуральных чисел, понятие о геометрической фигуре, в школьном курсе математики происходит на теоретико-множественной основе.

1. 1. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВА

Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.

Существуют два способа задания множества.

1. Перечисление всех элементов.

Множество можно задать, перечислив все его элементы. В таком случае названия всех элементов множества записывают в строку, отделяя запятыми, и заключают в фигурные скобки. Например:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

2. Указание характеристического свойства.

Множество можно задать, сформулировав характеристическое свойство.

5

Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. Например:

A {a | a N и a 10} (множество натуральных чисел меньших

10)

Множества могут содержать как конечное, так и бесконечное число элементов.

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами. Все элементы этих множеств можно перебрать (пересчитать). Конечные множества, содержащие n элементов, называются n-элементными множествами. Например: множество, содержащее один элемент - одноэлементное множество, множество, содержащее пять элементов - пятиэлементное множество и т.д. Утверждение: «Число элементов множества А равняется k» символически записывается так:

В математике приходится постоянно сталкиваться с бесконечными множествами (нельзя сказать, сколько элементов в этих множествах, нельзя их полностью перебрать). Например: множества натуральных, целых, четных, нечетных чисел и многие другие.

Для удобства вводится также и множество с числом элементов равным нулю, т.е. множество, не имеющее элементов.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом , n( )=0.

Например, множество русских слов, начинающихся на букву Ъ. Таких слов нет, поэтому это пустое множество, численность его элементов равна нулю.

Числовые множества можно изобразить на координатной прямой. Например:

а) A={x, x N, x 5}

А - это множество, состоящее из первых пяти натуральных чисел, на координатной прямой отмечается пятью точками.

1 2 3 4 5

6

б) В={x, x N0, x 7}

В – это множество, состоящее из 8 элементов, включая ноль.

B

в) С={x, x Z, -3 x<5}

C – это множество целых чисел от -3 до 4, на координатной прямой обозначается тоже отдельными точками.

C

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

г) D={x, x R, -3 x 4}

D – это бесконечное множество действительных чисел на отрезке от -3 до 4, который можно записать еще так: [-3, 4]. На координатной прямой замкнутый промежуток можно обозначить следующими способами:

д) Е={x, x R, -3<x<4}

Е – это бесконечное множество действительных чисел на интервале от -3 до 4, который можно записать еще так: (-3, 4). На координатной прямой открытый промежуток можно обозначить следующими способами:

е) F={x, x R, x<4}

F – это бесконечное множество действительных чисел меньших 3, записывают так: (-∞, 3). На координатной прямой луч можно обозначить следующими способами:

ж) G={x, x R, x 2,5}

G – это бесконечное множество действительных чисел больших либо равных 2,5, записывают так: [2,5; ∞). На координатной прямой луч можно обозначить следующими способами:

7

1. 2. ПОДМНОЖЕСТВА

Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. В этом случае множество А является надмножеством В. Записывают это Прочитать эту запись можно по-разному:

В является подмножеством А,

А является надмножеством В,

В включается во множество А,

А включает в себя множество В.

Например, А – множество двузначных чисел, а В – множество двузначных чисел, кратных 5.

Считают, что каждое множество А является подмножеством самого себя. A A.

Пустое множество является подмножеством любого множества:

A.

Любое непустое подмножество В множества А, не совпадающее со множеством А, называется собственным подмножеством.

Для множества А пустое множество и само множество А называются несобственными подмножествами множества А.

Множество, которое включает все рассматриваемые множества, называется универсальным. Обозначается U.

Для каждого множества, состоящего из n элементов можно образовать 2n подмножеств.

Любое множество можно изобразить графически, нарисовав замкнутый контур и представив себе, что элементы этого множества изображены точками, находящимися внутри этого контура. Показывать на рисунке точки не обязательно. Универсальное множество изображается в виде прямоугольника. Такой способ изображения множеств носит название диаграмм Венна2 (или кругов Эйлера3). Чаще называется диаграммами Эйлера-Венна.

2Джон Венн (1886-1921) — английский логик и философ. Родился 4 августа 1834

вЙоркшир. Умер — 4 апреля 1923, Кембридж. Он известен за введение диаграмм Венна, которые используется во многих областях, таких как теория множеств, теория

вероятностей, логика, статистика и информатика.

3 Леона́рд Э́йлер (1707-1783) — швейцарский, немецкий и российский математик

и механик. Родился 15 апреля 1707 в Швейцарии. Умер 7 (18) сентября 1783 в СанктПетербурге. Эйлер — автор более чем 850 работ (включая два десятка фундаментальных монографий) по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и

8

Например, числовые множества можно изобразить так.

1. 3. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ

Например, А – множество треугольников, В – множество трапеций. Эти множества не имеют общих элементов, т. е. не существует фигуры, которая была бы одновременно и треугольником, и трапецией. Поэтому множества А и В находятся в отношении непересечения.

Если множества A и B имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно и А, и В, то говорят, что эти

множества находятся в отношении пересечения. Записывают это

A B .

другим областям. Академик Петербургской, Берлинской, Туринской, Лиссабонской и Базельской академий наук, иностранный член Парижской академии наук.

Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. С 1726 по 1741, а также с 1766 года был академиком Петербургской академии наук (будучи сначала адъюнктом, а с 1731 года — профессором). Хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском.

9

Например, А – множество прямоугольников, В – множество ромбов. Множества А и В находятся в общем положении пересечения, так как существует фигура, которая является одновременно и ромбом, и прямоугольником – это квадрат, а так же есть прямоугольники, которые не являются ромбами, и есть ромбы, которые не являются прямоугольниками. Иллюстрация этого отношения изображена на обложке пособия.

Например, А = {12, 21, 11, 22}, B = {10, 11, 12, 20, 21, 22}.

A B A B и B A.

Например, А ={a, a N, a<6}, B={b, b Z, 1 b 5}.

Множества А и В равны, так как состоят из одних и тех же элементов: 1, 2, 3, 4, 5.

10