ПР1_Заболотников_9373

Цель работы.

Ознакомление с основными правилами формирования выборки и подготовки выборочных данных к статистическому анализу.

Основные теоретические положения.

Для выполнения данной практической работы использовались следующие понятия и формулы:

1.Генеральная совокупность – множество всех изучаемых объектов или возможных результатов всех наблюдений некоторой случайной величины.

2.Выборная совокупность (она же – выборка) – множество случайно отобранных объектов из генеральной совокупности.

3.Виды выборки: простая, механическая, типическая и серийная.

4.Ряд распределения выборки дискретных величин – ряд,

представленный в форме таблицы вида:

частота.

5.Ранжированный ряд – ряд элементов выборки (такие элементы называются вариантами), упорядоченный по неубыванию.

6.Вариационный ряд – отсортированный дискретный ряд распределения.

7.Интервальный вариационный ряд – ряд, представленный через

интервалы:

8. Накопленная частота элемента – сумма частоты самого элемента и частот всех элементов до него. Иными словами (на примере абсолютной частоты):

=1

То же самое справедливо и для относительных частот.

9.Полигон частот – линия, соединяющая точки ряда распределения

( , ) или ( , ).

10. Гистограмма (для интервалов) – набор столбцов, ширина которых равна длине интервала, а высота – отношению абсолютной частоты интервала к его длине. Гистограмма – это своего рода аналог плотности распределения.

3

11.Кумулята – ломанная, соединяющая точки с координатами ( , )

или ( , ).

12.Эмпирическая функция распределения – функция ( ) = (где

– число выборочных значений ), которая определяет для каждого значения

относительную частоту события < . Данная функция имеет вид:

0, ≤ 1

( ) = 1, 1 < ≤ 2 (7)1 + 2, 2 < ≤ 3

…

{1, >

Постановка задачи.

Осуществить формирование репрезентативной выборки заданного объема из имеющейся генеральной совокупности экспериментальных данных.

Осуществить последовательное преобразование полученной выборки в ранжированный, вариационный и интервальный ряды. Применительно к интервальному ряду построить и отобразить графически полигон, гистограмму и эмпирическую функцию распределения для абсолютных и относительных частот, а также кумуляту. Полученные результаты содержательно проинтерпретировать.

Исходные данные – база данных из источника [1].

Выполнение работы.

1.Для выполнения практической работы был выбран язык программирования MATLAB. Данный язык был выбран, так как он наиболее удобен при работе с выборками, графиками, функциями и т.п. Текст программного кода представлен в приложении A.

2.Из базы данных, представленной на сайте (см. источник [1]), была сформирована двумерная генеральная совокупность (столбцы ACORN-G и

ACORN-D).

4

3.Из указанной в п. 2 генеральной совокупности была взята выборка,

полученная случайным образом, следовательно, выборка – случайная. Данные

выборки представлены ниже (см. табл. 1).

Таблица 1 – Исходная выборка

4. Далее из выборки был получен ранжированный ряд (см. рис. 1). В

верхней строке располагаются номера элементов, ниже – сами элементы. Размах выборки довольно большой для такого количества элементов:

= − = 295 − 20 = 275.

5

Рисунок 1 – Ранжированный ряд Ранжированный ряд был преобразован в вариационный (см. рис. 2). В

верхней строке также расположен порядковый номер элемента, ниже – сам элемент, на третьей строке – его абсолютная частота, и на четвёртой – относительная частота. Как видно из рисунка, самое частое появление какого-

либо элемента здесь равно 6 (число 98). А в целом, выборка оказалась довольно разнообразной, потому что из 111 элементов 66 различные.

Рисунок 2 – Вариационный ряд

6

После того, как был построен вариационный ряд, он был преобразован в интервальный. Результаты отражены на рис. 3. Стоит отметить, что при использовании формулы Стёрджесса количество интервалов:

= 1 + [log2 111] = 1 + 6 = 7

Можно заметить, что правая граница седьмого интервала оказалась меньше максимального элемента: 243.4375 < 295. Следовательно, пришлось дальше строить интервалы до тех пор, пока правая граница последнего интервала не окажется больше либо равной максимальному значению выборки. Таким образом, к общему числу интервалов добавились ещё два, то есть стало равно

9. Учитывая, что формула Стёрджесса тем более точна, чем ближе распределение к нормальному, можно сделать вывод, что наше распределение далеко от нормального. Тем более, что, если взглянуть на рис. 3, можно увидеть,

что восьмой интервал не содержит в себе ни одного элемента, хотя данный интервал – не последний. Опять же, для понимания: на верхней строке расположен номер интервала, на последующих двух строках – соответственно левая и правая границы интервала, на четвёртой строке – абсолютная частота интервала, и на последней строке – его относительная частота.

Рисунок 3 – Интервальный ряд

5. Далее для интервального ряда абсолютных частот были построены и отображены графически: полигон (рис. 4), гистограмма (рис. 5), эмпирическая функция (рис. 6) и кумулята (рис. 7). Для того, чтобы построить ниже описанные графики, за абсциссы точек брались значения середин интервалов.

7

Если внимательно посмотреть на график полигона и на гистограмму (рис. 4 и 5 соответственно), то можно убедиться в том, что распределение элементов по интервалам не совсем нормальное. Особенно это видно на полигоне. Что касается эмпирической функции, то из её графика (рис. 6) видно, что вероятность выполнения условия < резко взрастает на пути к середине графика. Понятно,

что данный график удовлетворяет условию ( ) [0; 1].

Те же графики были построены и для ряда относительных частот. Ниже представлены результаты построения полигона (рис. 8), гистограммы (рис. 9),

эмпирической функции (рис. 10) и кумуляты (рис. 11) для относительных частот.

8

Рисунок 10 – Эмпирическая функция Рисунок 11 – Кумулята относительных частот

Из рисунков видно, что они пропорционально-идентичны графикам для абсолютных частот. Это связано с тем, что относительная частота напрямую зависит от абсолютной. График эмпирической функции – один и тот же для обоих случаев. Ну а так как по сути кумулята для относительных частот и график эмпирической функции строятся по одним и тем же значениям (что вытекает из определений эмпирической функции и кумуляты), их графики совершенно одинаковые. Единственное отличие: график кумуляты, в отличие от графика эмпирической функции, не уходит в ±∞, так как кумулята начинается со значения частоты первого элемента и заканчивается накопленной частотой последнего. Иными словами, область определения кумуляты представляется как

9

вещественной прямой.

Выводы.

В ходе работы были изучены такие понятия, как генеральная совокупность,

выборка, ряд распределения, ранжированный ряд распределения, вариационный ряд, интервальный ряд и т.д. Были построены полигоны, гистограммы, графики эмпирических функций и кумуляты для интервального ряда абсолютных и относительных частот. Также было отмечено, что графики попарно пропорционально идентичны и отличаются лишь масштабом по оси ординат.

Это следует из прямой зависимости относительной частоты от абсолютной.

Графики эмпирической функции для обоих типов частот совершенно одинаковые, так как, по определению, = = . Кроме того, благодаря графикам полигона и гистограммы, а также тому, что формула Стёрджесса дала далеко не точное количество интервалов, было понятно, что распределение,

рассмотренное в данной работе, не является нормальным.

10