Сжим_отобр1

Принцип сжимающих отображений

Метрические пространства.

Множество М наз. метрическим пространством, если такая функция (x, y), x, y M , что для x, y M

1.(x, y) ( y, x)

2.(x, y) 0

3.(x, y) 0 x y

4.x, y, z M , (x, y) (x, z) (z, y)

Примеры.

1.Числовая ось. (x, y) x y

2.Евклидово пространство En . (x, y) x y (x1 y1 )2 (x2 y2 )2 ... (xn yn )2

3.Пространство С непрерывных на [a; b] функций . (x, y) max x(t) y(t)

4.Шар x B(a, r) : (x, a) r

5.Сфера x S (a, r) : (x, a) r

xn a (xn , a) 0

(xm , xn )

Пространство наз. полным, если в нем любая сходящаяся в себе последовательность имеет предел.

Отображения

x M , : x y (x) M

Элемент b M наз. пределом отображения в точке а, если xn a выполняется (xn ) b

Отображение Ф наз. непрерывным в точке а, если lim (x) (a)

x a

Отображение Ф наз. сжимающим, если существует такое число 0 1, что

x1, x2 M : (Ф(x1),Ф(x2 )) (x1, x2 )

Элемент x наз. неподвижной точкой отображения Ф, если x (x)

Теорема 1. Всякое сжимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет единственную неподвижную точку.

Доказательство.

Определим последовательность xn формулой xn 1 (xn ), n 1, 2,3,...

(xn 1, xn ) ( (xn ), (xn 1)) (xn , xn 1) . Отсюда

(xn 1, xn ) n 1 (x2 , x1 )

Далее, пусть m > n, тогда

(xm , xn ) (xm , xm 1) (xm 1, xn ) (xm , xm 1) (xm 1, xm 2 ) ... (xn 1, xn ) .

(xm , xn ) (x2 , x1 )( m 2 m 3 ... n 1 )

(xm , xn ) (x2 , x1 ) n 1 (1 ... m n 1 )

(xm , xn ) (x2 , x1 ) n 1 /(1 ) Отсюда следует сходимость в себе и, далее,