ПР9_Отчёт_ЗаболотниковМЕ_9373

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра информационных систем

отчет

по практической работе №9

по дисциплине «Теория информации, данные, знания»

Тема: Расчет изменения энтропии Марковской системы. Уравнение А.Н. Колмогорова

Студент(ка) гр. 9373		Заболотников М.Е.
Преподаватель		Писарев И. А.

Санкт-Петербург

2020

Цель работы

Сформулировать ответы на вопросы с указанием источников информации.

Вопросы по теме 9:

1. Дайте определение Марковского случайного процесса.

2. Что понимается под предельными вероятностями марковского случайного процесса с непрерывным временем (непрерывная цепь Маркова)?

3. Как вычислить предельные вероятности состояний с использованием системы уравнений Колмогорова?

4. Дан граф переходов системы из одного состояния в другое. Граф задан в виде таблицы соответственно варианту. В табл. 1 обозначено: «Исх.» - начало дуги графа, «Вх.» - конец дуги. Под весом дуги понимается интенсивность перехода системы из одного состояния в другое.

Таблица смежности Графа переходов:

Исх.	1	2	5	6	3	1	6	4
Вх.	2	3	1	5	5	4	4	6
Вес.	0.1	0.2	0.1	0.8	0.9	0.7	0.2	0.6

Требуется:

1) Построить по исходным данным граф состояний;

2) Рассчитать энтропию системы в исходном состоянии, приняв все состояния равновероятными;

3) Составить систему алгебраических уравнений для расчета предельных вероятностей состояний в установившемся режиме;

4) Решить систему уравнений (с помощью MatLab, Excel или др.);

5. Для предыдущего примера: определить энтропию системы в установившемся режиме и изменение энтропии. Первоначально все состояния системы равновероятны.

Выполнение работы

1. Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем называется непрерывной цепью Маркова при условии, что переход системы из состояния в состояние происходит не в фиксированные, а в случайные моменты времени.

2. Пусть система характеризуется состояниями , a переход из состояния в состояние может осуществляться в любой момент времени. Обозначим через вероятность того, что в момент времени система будет находиться в состоянии , где . Требуется определить для любого вероятности состояний . Эти вероятности и называются предельными.

3. Пусть система имеет конечное число состояний . Случайный процесс, протекающий в этой системе, описывается вероятностями состояний , где — вероятность того, что система в момент находится в состоянии . Для любого

Вероятности состояний находят путем решения системы дифференциальных уравнений (уравнений Колмогорова), имеющих вид

где . Величина называется потоком вероятности перехода из состояния в причем интенсивность потоков может зависеть от времени или быть постоянной. Уравнения выше составляют по размеченному графу состояний системы, пользуясь следующим мнемоническим правилом: производная вероятности каждого состояния равна сумме всех потоков вероятности, идущих из других состояний в данное состояние, минус сумма всех потоков вероятности, идущих из данного состояния в другие. Чтобы решить систему дифференциальных уравнений, нужно задать начальное распределение вероятностей . Для решения применяют численные методы.

4. Решение:

Граф состояний:

Рис.1 Граф состояний

Энтропия системы в исходном состоянии.

Так как в начале все состояния системы имеют равную вероятность, то энтропия равна:

Система алгебраических уравнений для расчёта предельных вероятностей системы в установившемся режиме:

Решение данной системы уравнений.

Все левые части дифференциальных уравнений принимаем за 0, так как при функции уже не зависят от времени.

Умножим левые и правые части уравнений на 10 и приведём подобные слагаемые. Получим:

Решая систему уравнений, получаем:

, , , , и

.

Энтропия в установившемся режиме.

Тогда изменение энтропии: .

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. https://yadi.sk/i/Qd9SAkU2mdSGYw

2. https://yadi.sk/i/-H9EfZXgOsUrrw

3. https://yadi.sk/i/-lje0c4skn_w4A