Семестр 1 / Ответы на экзаменационные вопросы
.docxНепрерывность функции в точке — определение. Непрерывность функции в области — определение. Является ли <функция> непрерывной на своей области определения? Ответ обоснуйте.
или
.Решение через
;
Пример
для
:
Непрерывность функции в точке — определение. Теорема об арифметических действиях над непрерывными функциями. Является ли <функция> непрерывной на своей области определения? Ответ обоснуйте.
См. (1)
Если:
Тогда:
См. (1)
Предел функции в точке x0 ∈ R — определение. Теорема о пределах суммы, произведения и частного функций.
Предел функции на бесконечности — определение. Теорема о пределах суммы, произведения и частного функций.
См. (3)
Предел функции в точке x0 ∈ R — определение. Теорема о пределе композиции функций.
См. (3)
Если:
Тогда:
Предел функции на бесконечности — определение. Теорема о пределе композиции функций.
См. (4)
См. (5)
Предел последовательности. Привести пример последовательности, сходящейся к конечному пределу.
Пример:
Предел последовательности. Привести пример последовательности, сходящейся к бесконечному пределу.
См. (7)
Пример:
Предел последовательности. Привести пример последовательности, не имеющей предела.
См. (7)
Пример:
Последовательность, сходящаяся в себе — определение. Является ли <последовательность> сходящейся в себе? Ответ обоснуйте.
Последовательность, для которой выполняется условие Коши:
Если последовательность имеет конечный предел, то для неё выполняется условие Коши.
Первый замечательный предел.
Второй замечательный предел.
Теорема Больцано (о корне). Удовлетворяет ли <функция> на указанном промежутке т. Больцано? Ответ обоснуйте.
Если:
или
Тогда:
Доказать непрерывность, показать, что
и
или наоборот.
Теорема Вейерштрасса (о достижении наибольшего и наименьшего значений). Удовлетворяет ли <функция> на указанном промежутке т. Вейерштрасса? Ответ обоснуйте.
Если: Тогда:
Доказать непрерывность функции.
Дифференцируемая функция — определение. Теорема о производной суммы, произведения и частного функций. Является ли <функция> дифференцируемой в указанной точке? Ответ обоснуйте.
Посчитать предел из 1-го подпункта.
Дифференцируемая функция — определение. Теорема о производной композиции функций. Является ли <функция> дифференцируемой в указанной точке? Ответ обоснуйте.
См. (15)
Если:
Тогда:
См. (15)
Монотонность функции. Связь (строгой) монотонности и первой производной. Является ли <функция> (строго) монотонной? Ответ обоснуйте.
Найти производную и узнать, когда она положительна, отрицательна и равна нулю.
Теорема Ролля.
Если:
Тогда:
Теорема Лагранжа.
Если: Тогда:
Теорема Коши.
Если:
Тогда:
Правило Лопиталя. Из какой теоремы следует правило Лопиталя?
Если:
Тогда:
Следует из теоремы Коши.
Формула Тейлора с остатком в форме Пеано. Выписать формулу Тейлора для <функции>.
Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа. Выписать формулу Тейлора для <функции>.
В
ыпуклость
функции.
Связь (строгой) выпуклости
и второй производной.
Является
ли<функция>
(строго)
выпуклой?
Найти 2-ю производную и узнать, когда она больше, меньше и равна нулю.
Первообразная — определение. Теорема о классе первообразных данной функции. Является ли одна из <функций> первообразной для другой? Ответ обоснуйте.
Если:
Тогда:
Найти производную первой функции. Если ответ получился равен второй функции, значит первая — первообразная для второй.
Вопросы 2 этапа
Функция. Определение, инъективность, сюръективность, биективность. Композиция функций. Обратная функция.
Определение функции
Функция — закон, по которому каждому элементу заданного множества
ставится в соответствие элемент
множества
.
Инъективность
— инъективна, если
Сюръективность
— сюръективна, если
Биективность
—
биективна, если она
инъективна и сюръективна
Композиция функций
Пусть
и
—
две функции (
).
Тогда их композицией называется
функция
,
что
Обратная функция
— биективна, тогда
— обратная функция
Непрерывность функции в точке и в области. Теорема об арифметических действиях над непрерывными функциями.
Непрерывность функции в точке
или
Непрерывность функции в области
.
Теорема об арифметических действиях над непрерывными функциями
Если: Тогда: Доказательство: по определению непрерывности
по
теореме о пределах суммы, произведения
и частного функций:
тогда
по определению эти функции непрерывны
в точке
Непрерывность функции в точке и в области. Теорема о композиции непрерывных функций.
Если:
— непрерывна в
— непрерывна в
Тогда:
— непрерывна в
Доказательство:
Предел функции. Теорема о пределах суммы, произведения и частного функций.
Предел функции
Теорема о пределах суммы, произведения и частного функций
Доказательство: Пусть
Тогда
по теореме
о связи функции, её предела и бесконечно
малой функции:
Выразим:
сумму:
произведение:
частное:
По
свойствам
бесконечно малых:
Тогда
по теореме
о связи функции, её предела и бесконечно
малой функции:
Предел функции. Теорема о пределе композиции функций.
Если:
Тогда:
Доказательство:
Предел последовательности.
Последовательность, сходящаяся в себе — определение. Критерий Коши.
Последовательность, сходящаяся в себе
Критерий Коши.
Если:
Тогда:
Доказательство:
Первый замечательный предел.
Доказательство: Докажем, что односторонние пределы
,
равны 1.
Отложим
этот угол на единичной окружности
так, чтобы его вершина совпадала с
началом координат, а одна сторона
совпадала с осью
.
Пусть
— точка пересечения второй стороны
угла с единичной окружностью, а точка
— с касательной к этой окружности в
точке
.
Точка
— проекция точки
на ось
.
Подставляя
в (1), получаем:
Перейдём
к пределу:
Найдём
левый односторонний предел:
Тогда:
Второй
замечательный предел.
Доказательство:
Теорема Больцано (о корне).
Если:
или
Тогда:
Доказательство:
Рассмотрим
случай с
(для другого случая аналогично)
Теорема Вейерштрасса (о достижении наибольшего и наименьшего значений).
Если: Тогда: Доказательство: Рассмотрим случай для верхней границы (для нижней по аналогии)
Дифференцируемая функция. Теорема о производной суммы, произведения и частного функций.
Дифференцируемая функция.
Теорема о производной суммы, произведения и частного функций.
Доказательство: сумма:
произведение:
частное:
Дифференцируемая функция. Теорема о производной композиции функций.
Если: Тогда:
Доказательство:
Монотонность функции.
Доказательство: случай для возрастания (для остальных по аналогии)
Теорема Ролля.
Если: Тогда: Доказательство:
Теорема Лагранжа.
Если: Тогда: Доказательство:
Теорема Коши.
Если: Тогда: Доказательство:
Формула Тейлора с остатком в форме Пеано.
Доказательство:
Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа.
Выпуклость функции.
Первообразная. Теорема о классе первообразных данной функции.
Первообразная.
Теорема о классе первообразных данной функции.
Если: Тогда: Доказательство:
