Ответы на экзаменационные вопросы

Алгебраическая форма комплексного числа, действия с комплексными числами в алгебраической форме.

Г еометрическое изображение комплексного числа. Модуль и аргумент.

Тригонометрическая форма комплексного числа, действия с комплексными числами в тригонометрической форме.

Формула Муавра. Показательная форма комплексного числа, формулы Эйлера.

Корни -й степени из комплексного числа.

Теорема Безу и её следствие. Кратность корня многочлена. Теорема: Следствие: Кратность корня — повторений среди множителей многочлена.

Схема Горнера, разложение многочлена по степеням линейного двучлена. Схема Горнера: Разложение многочлена по степеням:

Разложение многочленов на неприводимые множители над полями и . Над : Над :

Выделение целой части рациональной дроби. Простейшие дроби. Разложение правильной дроби на простейшие над полями и . Выделение целой части рациональной дроби: Простейшие дроби: Разложение правильной дроби на простейшие: 4. В числителях полученных дробей приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.

М атрицы, основные обозначения, сложение матриц и умножение матрицы на число. Сложение (применимо к матрицам одинакового строения): Умножение на число:

Умножение матриц, свойства умножения. Свойства: 1. 2. 3. 4.

Элементарные преобразования матриц, матрицы элементарных преобразований, их связь. Элементарные преобразования: 1. Перестановка 2-х строк/столбцов 2. Умножение элементов строки/столбца на число 3. Прибавление к одной строке/столбцу другой, умноженной на некоторое число Матрицы элементарных преобразований: — перестановка 2-й и 3-й строк — умножение 2-й строки на 6 — прибавление ко 2-ой строке 3-ей (к 3-му столбцу 2-го), умноженной на 6 При умножении на матрицу эл. преобразований слева изменяются строки, справа — столбцы.

Ступенчатые матрицы, приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. Ступенчатая матрица — матрица, у которой при увеличении номера строки, следующий ведущий элемент расположен правее предыдущего. Приведение матрицы к ступенчатому виду: 1) если , то если , тогда смена строк , иначе переходим к следующему столбцу и повторяем этот шаг; 2) к каждой строке, кроме первой, прибавим первую строку, умноженную на число ; 3) мысленно зачеркнём первый столбец и первую строку; повторим шаги для получившейся матрицы;

Обратная матрица, вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. — обратная матрица, если обратимы только квадратные матрицы (но не все)

Подстановки и их простейшие свойства. Перестановка — упорядоченный набор элементов, среди которых нет одинаковых. 1, 2, …, n — тривиальная перестановка 1, 2, 7, 4, 5, 6, 3, 8, …, n — транспозиция Простейшие свойства: От любой перестановки можно прийти к тривиальной за конечное число транспозиций. Если количество транспозиций — чётное, то перестановка — чётная, и наоборот. Если количество инверсий — чётное, то перестановка — чётная, и наоборот.

Определение определителя, его простейшие свойства (полилинейность, поведение определителя при элементарных преобразованиях, определитель с нулевой строкой и двумя одинаковыми строками). Определитель — скалярная характеристика квадратной матрицы со следующими свойствами: 1) Нормированность 2) Антисимметричность 3) Полилинейность Простейшие свойства: Доказательство: Доказательство:

Определение определителя с помощью перестановок.

Определитель транспонированной матрицы.

Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца. Доказательство:

Линейная зависимость и линейная независимость строк и столбцов матрицы, свойства. Линейная независимость — из того, что линейная комбинация равна 0, следует, что все коэффициенты равны 0. Линейная зависимость — можно составить линейную комбинацию, равную 0, причём не все коэффициенты будут равны 0. Строки ступенчатой матрицы линейно независимы. Свойства:

Ранг матрицы, его свойства. Максимальное количество линейно независимых строк/столбцов матрицы. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.

Ранг ступенчатой матрицы. Количество ненулевых строк.

Вычисление обратной матрицы с помощью присоединённой матрицы.

Определитель произведения двух матриц.

Системы линейных уравнений, матричная запись. Частное и общее решения. Частное решение — конкретный набор значений переменных, который даёт верные равенства. Общее решение: при конкретном выборе параметров получается частное решение.

Формулы Крамера.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли. Привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. Если последняя строка вида , то система не совместна. Иначе начинаем «обратный ход» метода Гаусса. Теорема Кронекера – Капелли:

Однородные системы линейных уравнений, свойства решений. Система однородна, если Основные свойства: 1. Система совместна. Всегда есть решение . 2. Сумма решений — решение: . 3. Решение, умноженное на число, — решение: .

Фундаментальная система решений системы однородных линейных уравнений. — множество из её линейно независимых решений.

Структура общего решения системы линейных уравнений.

Скалярное произведение векторов и его свойства. Свойства:

Векторное произведение векторов и его свойства. образуют правую тройку Свойства:

Смешанное произведение векторов и его свойства. Свойства: — перестановка двух векторов местами меняет знак — линейность по любому аргументу

Различные формы уравнения прямой на плоскости. Пусть

1. Школьное уравнение

2. Общее уравнение

3. Каноническое уравнение

4. Параметрические уравнения

5. Нормальное уравнение

Нормальное уравнение прямой на плоскости, расстояние от точки до прямой. Нормальное уравнение: Расстояние от точки до прямой:

Различные формы уравнения плоскости в пространстве. Вектор нормали:

1. Уравнение через заданную точку и нормаль

2. Общее уравнение

3. Нормальное уравнение

4. Векторное уравнение

5. Уравнение по трём точкам

6. Уравнение в отрезках

Нормальное уравнение плоскости в пространстве, расстояние от точки до плоскости. — углы между -ом плоскости, проходящим через и соответствующими осями XYZ

Различные формы уравнений прямой в пространстве.

1. Канонические уравнения

2. Параметрические уравнения

3. Векторное уравнение

4. Общие уравнения

5. Уравнение по двум точкам

Взаимное расположение двух плоскостей.

1. Совпадают соответствующие коэффициенты пропорциональны:

2. Параллельны соответствующие коэффициенты , , пропорциональны, а нет:

3. Пересекаются соответствующие коэффициенты , , не пропорциональны

Взаимное расположение прямой и плоскости, угол между прямой и плоскостью.

1. Прямая пересекает плоскость прямой не ортогонален плоскости

2. Параллельны прямая не пересекает плоскость точка прямой не удовлетворяет уравнению плоскости

3. Прямая лежит в плоскости прямая не пересекает плоскость точка прямой удовлетворяет уравнению плоскости Угол между прямой и плоскостью:

Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

1. С крещиваются векторы

2. Пересекаются прямые не скрещиваются векторы не коллинеарны

3. Параллельны прямые не скрещиваются и не пересекаются точка одной прямой не «подходит» второй

4. Совпадают прямые не скрещиваются и не пересекаются точка одной прямой «подходит» второй