Теория очередей

Таблица 1.5. Формулы и обозначения для модели очередей D - с ограниченным размером источника Формулы

Сервисный показатель X = T/(T+U)

_{Среднее число ожидающих L= N(1-F)}

Среднее время ожидания

_{W } ^{L(T  U )}

N  L

_ ^{T (1  F )}

^XF

Среднее число обрабатываемых J = NF(1-X) Среднее число обслуженных H = FNX Размер источника N = J+L+H

Обозначения: D - вероятность того, что единица будет ожидать в очереди; F - коэффи- циент эффективности; H - среднее число единиц обслуженных; J - среднее число обрабаты- ваемых единиц; L - среднее число единиц, ожидающих обслуживания; М - число каналов об- служивания; N - число потенциальных клиентов; T - среднее время обслуживания; U - сред- нее время между единицами, поступающими на обслуживание; W - среднее время ожидания

в очереди единицы; X - сервисный показатель.

Алгоритм расчета.

1. Рассчитываем Х (сервисный показатель, где Х =Т/(T+U)).

2. Находим Х и соответствующее М (где М - число каналов обслуживания).

3. Устанавливаем соответствие D и F.

4. Рассчитываем L, W, J, H или что-либо другое, необходимое для измерения работы системы обслуживания.

Пример 1.11. Модель очередей с ограниченным размером источника. Статистика сви- детельствует, что каждый из пяти имеющихся агрегатов требует ремонта после примерно 20 часов работы. Поломки определяются распределением Пуассона. Один техник может отре- монтировать агрегат в среднем за два часа в соответствии с экспоненциальным распределе- нием. Поломка агрегата обходится в $120/час, техникам платят $25/час. Нужно ли принять второго техника для ремонта?

Предположим, второй техник может чинить агрегат в среднем за два часа. Считаем, что ограниченный источник равен пяти агрегатам, чтобы сравнить затраты одного или двух тех- ников.

1. Отмечаем, что Т=2 часа и U=20 часов.

2. Тогда Х=Т/(T+U)=2/(2+20)=2/22=.091(округляем до .090).

3. Для М=1 каналу, D=.350 и F=.960.

4. Для М=2 каналам, D=.044 и F =.998.

5. Среднее число работающих агрегатов J=NF(1-X).

Для М=1 J=(5)(.960)(1-.091)=4.36.

_{Для М=2 J=(5)(.998)(1-.091)=4.54.}

6. Стоимостной анализ выглядит следующим образом

Средние затраты в час

Затраты в час для

Число

_{техников}

Среднее число агре-

		(N-J)($120/час)	(по $25/час)
1	.64	$76.80	$25.00	$101.80
2	.46	$55.20	$50.00	$105.20

_{гатов в ремонте}

для времени ремонта

техников

Общие

_{затраты}

Анализ показал, что достаточно иметь одного техника. При этом будет иметь место

экономия в размере: $105.20-101.80=$3.40 в час.

В практической деятельности менеджер может столкнуться с ситуациями, для которых требования традиционных моделей не удовлетворяются. В этих случаях используются более сложные математические модели или методы, называемые моделированием Монте-Карло.

Многие реальные приложения теории очередей требуют применения, где это возмож-

но, имитационного компьютерного моделирования, которое стало неотъемлемой частью многих стандартных пакетов прикладных программ, используемых в производственном/ операционном менеджменте.