Лекция 7. Исследование функций
7-1 Цели и стадии исследования функций 7-2 Возрастание и убывание. Точки экстремума
7-3 Выпуклость и вогнутость, точки перегиба
7-4 Асимптоты графика функций
7-5 Построение графиков функций
23 сентября 2007 г.
Эпиграф
Следует помнить, что в каком-то
смысле высшая математика проще
элементарной.
Исследовать, например, лесную чащу пешком очень трудно, с
самолета это делается проще.
У.Сойер
Английский математик и педагог
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
2
7-1.
Цели и стадии исследования функций
Подход к исследованию функций
23 сентября 2007 г.
Цели исследования функций
Исследование функции проводят для того, чтобы описать при
помощи текста и (или) графически поведение функции для всех
возможных значений аргумента.
Исследование функций проводят в несколько стадий.
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
4
Стадии исследования функций
Шаг 1. Найти область определения функции.
Шаг 2*. Исследовать функцию на четность-нечетность.
Шаг 3. Исследовать поведение функции вблизи границ
области определения и точек разрыва.
Шаг 4. Найти экстремумы, интервалы возрастания и убывания.
Шаг 5*. Исследовать направление выпуклости графика функции, найти точки перегиба.
Шаг 6. Найти точки пересечения с осями координат, другие вспомогательные точки.
Шаг 7. Построить асимптоты.
Шаг 8. Завершить построение графика.
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
5
7-2.
Возрастание и убывание. Точки экстремума
Понятие возрастания (убывания) функции Необходимое и достаточное условия монотонности
Понятие экстремума
Необходимое и достаточное условия экстремума
23 сентября 2007 г.
Возрастание (убывание) функции
Функция y = f (x) называется возрастающей на промежутке X, если для любых двух значений x1 и x2 из этого промежутка
большему значению аргумента соответствует большее значение
функции:
x2 > x1 |
|
f (x2 ) > f (x1 ) |
||
f(x2) |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x1) |
|
|
|
Самостоятельно дайте |
0 |
|
|
x |
определение убывающей |
1 |
2 |
функции, невозрастающей |
||
функции. |
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
7
Теорема Лагранжа
Теорема о конечном приращении. Если функция непрерывна
на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b), то
существует такая точка c (a, b), что
f (b) − f (a) = f ′(c)(b −a)
y
f (b) − f (a)
b −a
0 a c b x
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
8
Достаточное условие монотонности
Теорема. Если производная дифференцируемой функции
положительна внутри некоторого промежутка X, то функция
возрастает в этом промежутке.
Доказательство. Выберем в этом промежутке два значения:
x2 x1
Для функции выполняются условия теоремы Лагранжа, поэтому:
f (x2 ) − f (x1 ) = f ′(ξ)(x2 − x1 ) |
ξ X |
|||
Поскольку производная положительна, то |
|
Самостоятельно |
||
|
f (x2 ) − f (x1 ) > 0 |
|
||
|
|
докажите, что если |
||
И это означает, что |
|
производная |
||
f (x2 ) > f (x1 ) |
|
отрицательна, то |
||
|
функция убывает. |
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
9
Необходимое условие монотонности
Если функция возрастает на некотором промежутке X, то
производная неотрицательна на этом промежутке:
f ′(x) ≥ 0
Если функция убывает на некотором промежутке X, то
производная неположительна на этом промежутке:
f ′(x) ≤ 0
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
10