Отрезок и интервал
Отрезком (segment) [a, b] называют множество, элементы которого удовлетворяют неравенству:
a ≤ x ≤b
Интервалом (interval) (a, b) называют множество, элементы которого удовлетворяют неравенству:
a < x <b
|
|
|
|
|
|
|
|
a Отрезок b |
x |
a Интервал b |
x |
||||
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
31
Полуинтервалы и бесконечные интервалы
Множества, элементы которых удовлетворяют неравенствам:
a ≤ x <b a < x ≤b
называют полуинтервалами:
[a;b) (a;b]
Кроме этого, рассматривают также бесконечные интервалы и
полуинтервалы:
(−∞;b) (a;+∞)
(−∞;+∞) (−∞;b] [a;+∞)
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
32
Окрестность точки (neighborhood of point)
Интервал:
где
(a −ε; a +ε)
ε >0
Называется ε-окрестностью точки a.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a-ε |
a |
a+ε |
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
33
Счетные множества
Множество называется счетным, если оно равномощно
множеству натуральных чисел.
Пример. Множество целых чисел счетно:
… |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
… |
9 |
7 |
5 |
3 |
1 |
2 |
4 |
6 |
8 |
… |
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
34
Счетность множества рациональных чисел
Множество рациональных чисел
счетно.
Доказательство. На рисунке
представлен алгоритм подсчета
рациональных чисел от 1 до
бесконечности. Таким образом мы
подсчитаем все рациональные
числа, что означает счетность
множества рациональных чисел.
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
||
|
|||||
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
|
– |
– |
– |
– |
||
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
|
– |
– |
– |
– |
||
3 |
3 |
3 |
3 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
|
– |
– |
– |
– |
||
4 |
4 |
4 |
4 |
|
|
… |
… |
… |
… … |
||
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
35
Континуум
Утверждение. Множество действительных чисел несчетно.
Мощность множества действительных чисел называют
мощностью континуума (от латинского continuum –
непрерывный).
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
36