ДУ / Lektsia3_DU_1

y′′ + a1 (x) y′ + a2 (x) y = 0 ,

(3)

где a1 (x) и a2 (x) непрерывные на некотором отрезке

[a ; b] функции.

Определение 1. Функции y1 (x) и y2 ( x) называются линейно зависимыми (ЛЗ)

на [a ; b] , если x [a ; b]

α1 ; α2 ,

где,

по крайней мере,

одно

из них

отличное от нуля, и для которых

выполняется

равенство

α1 y1 + α 2 y2

= 0 или, если α 2 ¹ 0 , то y2

= λ y1 , т.е.

y2

= λ = - α1

= const .

y1

α2

В противном случае, функции y1 (x) и y2 ( x) называются линейно

независимыми (ЛНЗ).

Например, функции

y = ex−1

и

y

= 2ex − ЛЗ,

так как

y2

= 2е = const ,

а

1

2

y1

y2

функции y1

= cos x и y2 = sin x

− ЛНЗ,

так как

= tg x ¹ const .

y1

Для выяснения ЛЗ или ЛНЗ решений уравнения (3) используется определитель

Вронского

W (x) = W ( y , y

) =

y1

y2

= y y¢ - y

y¢

1

2

y¢

y¢

1 2

2 1 ,

1

2

что следует из теорем:

Теорема 1. Если функции y1 (x)

и y2 ( x) линейно зависимы (ЛЗ) на [a ; b] ,

то

определитель Вронского

W ( y1 , y2 ) = 0

x [a ; b] .

Так как

y2 = λ y1 ,

то

′

- y2 y

′

′

′

= 0 .

W ( y1 , y2 ) = y1 y2

= λ y1 y1 - λ y1 y1

Теорема 2. Если определитель Вронского,

составленный

из

решений

уравнения (3), при некотором

x0 Î[a ; b] отличен от нуля,

т.е. W (x0 ) ¹ 0 ,

то

W ( x) ¹ 0

"x Î[a ; b].

Так как y1 (x) и y2 ( x) решения уравнения (3), то

′′

′

+ a2 y2 = 0 ;

y2

+ a1 y2

′′

′

+ a2 y1 = 0 .

y1

+ a1 y1

Первое равенство умножим на

y1 ,

второе

на

(- y2 ) и сложим полученные

результаты. С учётом, что

W ′ = y′y′ + y y′′- y

′y′

- y

2

y′′= y y

′′ - y

2

y′′ ,

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

d W

+ a W = 0 .

d x

1

x

x

d W

x

− ∫ a1 d x

∫

= −

∫

a1 d x W = W 0 e

xo

(4)

W

x0

x0

или

x

y 1 y 2′ − y 1′ y 2 =

W 0 e

− ∫

a 1 d x

x o

.

Формула (4) называется формулой Лиувилля. Из неё видно,

что если

W0 ¹ 0, то W ( x) ¹ 0

"x Î[a ; b] .

Замечание 1. Из

формулы (4)

также

следует,

что если

при некотором.

x0 [a ; b] W0 = 0 W (x) = 0

x [a ; b].

′

− ∫ a1 d x

x

y 2

e

xo

− ∫ a1 d x

y1−2 d x .

=

y 2 = y1 ∫ e xo

y1

2

y1

Теорема

3.

Если

решения

ЛОДУ-2 (3)

ЛНЗ

на

[a ; b] , то

W ( y1 , y2 ) ¹ 0

"x Î[a ; b] .

x0 [a ; b] . Тогда по

Предположим обратное, т.е. W (x0 ) = 0 при некотором

теореме 2 W ( y1 ,

y2 ) = 0

"x Î[a ; b] .

Предположим,

что y1

¹ 0

(в противном

y y′

− y

y′

y

2

′

y

2

1 2

2 1

= 0

= 0

= λ = const ,

2

y1

y1

y1

т.е.

функции y1 (x) и y2 ( x) линейно

зависимы.

Полученное

противоречие

доказывает теорему.

Теорема о структуре общего решения ЛОДУ-2

Теорема 4. Если функции y1 (x)

и y2 ( x) − два

ЛНЗ решения

уравнения (3),

то

его общее решение имеет вид

y = C1 y1 + C2 y2 , где С1 и С2 произвольные

константы.

Вначале покажем, что y = C1 y1 + C2 y2

является решением уравнения (3), для

C1 y10 + C2 y20

= y0 ;

C y¢

+ C

2

y

¢

= y

¢

(5)

1 10

20

0

y10

y20

= W0 ¹ 0 ,

так как y1 (x) и y2 ( x)

y1¢0

y2¢0

− ЛНЗ

решения уравнения (3).

Из решения системы (5) определяем С1 и С2.

Таким образом,

y = C1 y1 + C2 y2

является общим решением уравнения (3).

Линейные однородные дифференциальные уравнения

второго порядка (ЛОДУ-2) с постоянными коэффициентами

Общий вид ЛОДУ-2

y′′ + a1 y′ + a2 y = 0 ,

где a1 , a2 - const .

(1)

y = ek x .

Будем искать решение этого уравнения в виде

Подставим в уравнение (1):

ek x (k 2 + a1k + a2 ) = 0 k 2 + a1k + a2 = 0 .

(2)

Уравнение (2) называется характеристическим уравнением.

В зависимости от значений корней характеристического уравнения возможны

следующие три случая:

k1 ¹ k2 .

1. Корни уравнения k1

и k2 действительные и

Тогда, очевидно,

что

y = ek1x

и y

2

= ek2 x .

Эти

решения

ЛНЗ,

так

как

1

y1

= e( k1 − k2 ) x ¹ const .

y2

В этом случае общее решение примет вид

yoo = C1y1 + C2 y2 = C1ek1 x + C2ek2 x .

(3)

Пример 1. Найти общее решение уравнения y′′ + 4y′ − 5y = 0.

Составим характеристическое уравнение:

k2 + 4k -5 = 0 k = -5; k =1.

Воспользуемся формулой (3):

1

2

= C e−5x + C

y

oo

2

e x

1

2. Корни k1 и k2 действительные и

k1 = k2

= k .

= ek x .

Тогда в качестве первого частного решения можно взять y

Покажем,

1

что в этом случае, является решением также функция

y

2

= xek x . Подставим

её в

y1

=

1

¹ const .

Эти решения ЛНЗ, так как y2

x

y

oo

= C y

+ C

2

y

2

= ekx

(C

+ C

2

x)

(4)

1

1

1

Пример 2. Найти общее решение уравнения y′′−6y′+9y =0.

Составим характеристическое уравнение

k2 −6k +9 = 0 k = k = 3.

Воспользуемся формулой (4)

1,2

y

oo

= e3x (C + C

2

x)

1

3. Корни комплексно-сопряженные, т.е.

k1, 2 = α ± iβ .

Вначале покажем, что если y = u + iv

является решением уравнения (1),

то

этому уравнению

удовлетворяют функции

u и

v.

Подставим y = u + iv

в

уравнение (1) и выделим действительную и мнимую части:

u ′′ + a1 u ′ + a 2 u + i ( v ′′ + a1 v ′ + a 2 v ) = 0 .

Подчеркнутая сумма и выражение в скобках равны нулю.

Итак, в этом случае частные решения имеют вид

y1 = e (α +i β ) x

и y2 = e(α −iβ ) x .

Если воспользоваться формулой Эйлера, которая будет доказана позже,

то

ei z

= cos z + i sin z ,

y1

= eα x +i β x

= eα x e i β x

= eα x (cos β x + i sin β x ) ;

y2

= eα x −iβ x

= eα x e −iβ x

= eα x (cos β x − i sin β x )

и, как показано выше, решениями уравнения (1) будут являться функции:

eα x cos β x ; eα x

sin β x ; eα x

cos β x ; − eα x sin β x .

Очевидно, линейно-независимыми среди них будут два решения

y1 = eα x cos β x ; y2

= eα x sin β x ,

y1

= ctg β x ¹ const .

Так как y

2

Окончательно, общее решение будет иметь вид

yoo = C1 y1 + C2 y2 = eαx (C1 cos βx + C2 sin βx). .

(5)

Пример 3. Найти общее решение уравнения y′′− 4 y′+13y = 0.

Составим характеристическое уравнение:

k 2 − 4k +13 = 0 k

= 2 ± 3i .

1,2

Воспользуемся формулой (5):

y

oo

= e2 x (C cos 3x + C

2

sin 3x).

1