Добавил:

Ares_0 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

ДУ / Lektsia1_DU_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.06.2023

Размер:

106.23 Кб

Скачать

☆

Лекция №1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Часто, рассматривая явления, мы не можем непосредственно установить вид исследуемой зависимости у от х. Однако мы можем установить зависимость между функцией, её производными и аргументом.

Рассмотрим следующие две задачи.

1. Задача о радиоактивном распаде. Экспериментально установлено, что скорость радиоактивного распада вещества массы М пропорциональна количеству нераспавшегося вещества, т.е.

dM = −k M , dt

где k − коэффициент распада, который устанавливается экспериментально.

2. Задача о падении тела. С некоторой высоты падает тело массой т. Требуется установить по какому закону изменяется путь S, проходимый данным телом.

Согласно второму закону Ньютона имеем

d 2 S

dS 2

= F ,

где F

= m g −

Fсопр , а Fсопр = kV

= k

dS 2

d 2 S

Таким образом, получим

= mg − k

dt 2

Полученные соотношения представляют собой дифференциальные для нахождения функций M (t) , S (t) и являются математическими соответствующих физических процессов.

Определение дифференциального уравнения

уравнения

моделями

Определение 1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у(х) и её

производные: y ′, y ′′,K , y ( n ) .
Его общий вид		F ( x , y ,	y′, y′′,K, y( n ) ) = 0 .
					(1)
Дифференциальные уравнения, у которых функция у(х) является функцией
одного	переменного,	называются	обыкновенными	дифференциальными
уравнениями.

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.

Например, для первой задачи – уравнение первого порядка, для второй – уравнение второго порядка.

Определение 3. Решением дифференциального уравнения (1) называется функция y = ϕ (x) , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Процесс отыскания решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Замечание 1. Наряду с термином “ решение дифференциального уравнения“

употребляется термин		“ интеграл ДУ“, под	которым,		как	правило, понимается
решение дифференциального уравнения, полученное					неявно, т.е.			в	виде
Φ(x, y) =0.						y′′+ y = 0
Например,	для	дифференциального		уравнения					функцию
y = sin x обычно	называют решением,		а	для	ДУ	y′ = −	x	− выражение
							y

x2 + y2 =1 обычно называют интегралом дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения первого порядка
Общие понятия. Теорема существования и единственности
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка (ДУ-1)
F (x ,	y , y′) = 0 .	(2)
Если уравнение можно разрешить относительно производной, то
y ′ =	f ( x , y ) ,	(3)
где функция f (x , y) определена в некоторой области D.
Для примера рассмотрим уравнение	y′ = 2 xy . Нетрудно убедится в том, что
его решением является функция y = Ce x 2	, где С − произвольная постоянная. И на

любых других примерах можно убедится в том, что любое решение ДУ-1 есть бесконечное множество функций, которые определяются формулой, содержащей одну произвольную постоянную С, т.е. имеют вид

y = ϕ (x , C ) или Φ( x , y , C ) = 0 .	(4)
Определение 4. Общим решением или общим интегралом уравнений	(2) или

(3)называется множество функций (4) удовлетворяющих условиям:

1.Обращают в тождество уравнение при любых значениях С;

2.Для любой точки M0 (x0 ; y0 ) D можно найти такое значение постоянной

0 0 =ϕ (x0 , C0 ) или Φ( x0 , y0 , C0 ) = 0 .

Давая произвольной постоянной С различные числовые значения, из общего решения получим так называемые частные решения.

Для того, чтобы из общего решения выделить конкретное частное решение, необходимо задать начальное условие, т.е. условие вида

y	x=x0	= y0 или y(x0 ) =y0 .	(5)


В этом случае задачу о нахождении частного решения принято называть
задачей Коши.
Пример 1. Решить задачу Коши:		y′ = 2 xy , y(0) = 5 .	y = Ce x 2 .
Как было показано ранее, общее решение имеет вид
Определим константу С, исходя из начального условия
5 = Ce0 C =5		y = 5ex2 − решение задачи Коши.
Теорема Коши. Если в дифференциальном уравнении			y′ = f (x , y) функция

f (x , y) непрерывна в некоторой области D, содержащей точку M0 (x0 ; y0 ) , то

существует решение y = ϕ (x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному

условию y(x0 ) =y0 . Если, кроме этого, в этой области

∂f

непрерывна производная ∂y , то решение уравнения единственно.

Пример 2. Найти область единственности решения ДУ

y′ =

(y −1)

e x .

f (x , y) =

(y −1)

ex .

Здесь

Тогда

∂f

e x

∂y

y − 1

и при y = 1 возможно нарушение единственности решения.

Во всех остальных

точках решение единственное.

Уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим ДУ-1 (3). Если y′ =

то уравнение (3) можно представить в

виде

f ( x , y)dx

− dy = 0 .

Если к тому же

f (x , y) = −

M (x , y)

то

N(x , y) ,

M (x , y)dx + N (x , y)dy = 0 .

(6)

Пусть в уравнении (6) выполняются условия:

M(x, y) = f1(x) f2 (y) ; N(x, y) = f3 (x) f4 (y) ,

тогда оно примет вид

f1 ( x) f2 ( y)dx + f3 (x) f4 ( y)dy = 0 .

(7)

Определение 5. Уравнение (7) называется уравнением с разделяющимися переменными.

Разделим уравнение (7) на произведение f 2 ( y ) f 3 ( x ) , тогда получим

f1 (x) dx + f4 ( y) dy = 0. f3 (x) f2 ( y)

Интегрируя уравнение (8), получим его общий интеграл

∫ f1 (x) dx + ∫ f4 ( y) dy = C . f3 (x) f2 ( y)

(8)

(9)

Замечание 2. Особого внимания требуют точки, где обращаются в нуль функции f 2 ( y ) и f 3 ( x ) . Пусть, например, f2 ( y0 ) = 0 . Тогда уравнение (7) наряду с решением (9) имеет и решение y = y0 . Аналогично, если f 3 ( x0 ) = 0 , то x = x0 является решением уравнения (7).

Пример 3. Найти общее решение уравнения (xy2 −x)dx −(x2 y −4y)dy =0

Преобразуем уравнение:

x( y2 −1)dx − y(x2 −4)dy = 0

или

xdx

−

ydy

= 0 ,

−

−1

при этом x ¹ ±2 ; y ¹ ±1 . Интегрируя уравнение, получим

ln | x 2 − 4 | −

ln | y 2 −1 | =

или

x 2

− 4

= ln

x 2 − 4 = C ( y 2 −1) .

y 2

−1

y = ±1 , а решение вида

К этому решению нужно добавить решение вида

x = ±2 входит в общее решение при C = 0 . Окончательно,

имеем

− 4

= C ( y

−1) ;

y = ±1.

Пример 4. Решить задачу о радиоактивном распаде вещества:

= −k M .

d t

Разделим переменные:

= −k d t .

M = C e − k t .

Интегрируя,

получим

ln M = −kt

+ln | C | или

Если известна начальная масса M0

при

t = 0 , тогда

M 0 = Ce 0 C

= M 0 и M = M 0e−k t .

Определим коэффициент k из наблюдений. Пусть за время t1 масса

вещества

стала равной M1. Тогда

M 0

= M

e−k t1

= −k t k =

M 0

Таким образом, получили конкретный вид закона изменения заданной массы

радиоактивного вещества в зависимости от времени.

Однородные дифференциальные уравнения

Определение 6. Функция f (x ,

y) называется однородной функцией,

если t

выполняется

f (t x , t y) = f (x ,

y) .

Например, функция

f (x , y) =

является однородной, так как

+ y

f (t x , t y) =

t xt y

= f (x , y) .

+ y

Определение 7. Уравнение вида

y′ =

f (x , y) называется однородным

уравнением,

если

f (x ,

однородная функция.

Покажем, что решение однородного уравнения сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными.

По условию f (t x , t y) = f (x , y) . Положим в этом тождестве

f (x , y) =		y
	f 1,

		x

и уравнение примет вид

t = 1 , тогда x

dy	=		y
		f 1,		.
dx
			x

	u =	y	y = u x	и y	′	′
Сделаем замену
		x				= u x + u .

Тогда получим уравнение с разделяющимися переменными

u + x

= f (1, u)

f (1, u) −u

Интегрируя его,

а затем,

подставляя

u =

, находим решение.

Замечание. Аналогично, как и для уравнений с разделяющимися переменными,

если

f (1, u0 ) −u0 = 0 , то однородное

уравнение

обладает решением u = u0

или

y = u 0 x .

Пример 1. Определить кривую, проходящую через

точку M 0 (4 ; 3) , если

подкасательная АВ любой её точки

есть среднее арифметическое координат.

∙ M ( x ; y )

Если M ( x ; y )

− текущая точка

кривой, то по условию задачи,

получаем уравнение

tgϕ = y′

x + y

y′ =

2 y

О А

y′

x + y

замену y = ux и

Получили

однородное

уравнение,

поэтому

делаем

′

Тогда дифференциальное уравнение примет вид

= u x + u .

u ′x =

2 u

− u .

Разделяем переменные

(1 + u )d u

d x

d u

2 d u

d x

u (1 − u )

1 − u

и интегрируем

− 2 ln

1 − u

= ln | x | + ln |C | ln

= ln | С x | .

(1 − u)2

Выполнив обратную замену u =

y 2

, получим

= C x

1 −

Окончательно, учитывая, что кривая проходит через заданную точку и, подставляя в общее решение ее координаты

3	= 4 С		−	3	2
		1			,
4				4

находим С = 3 и получаем искомое уравнение кривой у = 3( х − у) 2 .

Соседние файлы в папке ДУ

#
12.06.2023106.23 Кб2Lektsia1_DU_1.pdf
#
12.06.202388.65 Кб0Lektsia3_DU_1.pdf
#
12.06.202387.08 Кб1Lektsia4_DU_1.pdf
#
12.06.202389.09 Кб1Lektsia5_DU_1.pdf