Добавил:

Ares_0 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

ФНП / FNP3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.06.2023

Размер:

76.35 Кб

Скачать

☆

Лекция № 3.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений поступают, как и для случая функции одной переменной, а именно:

1.Определяют значения функции в критических точках, принадлежащих области;

2.Определяют наибольшие и наименьшие значения функции на границе области;

3.Из полученных значений выбирают наибольшее и наименьшее.

Пример 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

	x ³ - 1 ;
z = 3x2 − 6xy + y2 + 4 y в области D :		³ - 1 ;
	y
		+ y £ 3 .
	x

∙M1

∙M0

−1 О

Область D − это треугольник АВС.

Определяем критические точки, принадлежащие области D

z′ =6x −6y =0

x = y

M0 (1; 1) D z(M0 ) =2.

z′y = −6x +2y +

4 =0

−3x + y +2 =0

На границе АВ:

y = 3 − x

z =10x2 − 28x + 21.

= 20x −28 = 0 x =

; y =

z(M

) =

Вычисляем значения функции на концах отрезка АВ

z( A) = z(−1; − 4) = 59 ; z(B) = z(4 ; −1) = 69 .

На границе АС:

x = −1

z = y 2 +10 y + 3 .

= 2 y +10 = 0 M 2 (−1; −5) D .

Вычисляем значения функции на концах отрезка АС

z (C ) = z ( −1; −1) = −6 .

На границе ВС:

y = −1

z = 3x2 + 6x −3 .

		dz	= 6x + 6 = 0	x = −1,
			= 6x + 6 = 0	x = −1,
		dx
т.е. получили точку B.
Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее:
m ax z = z ( B ) = 69 ; m in z = z (C ) = −6 .
D			D
			Условный экстремум
Определение 1.	Условным экстремумом			функции z = f (x, y)	называется
экстремум, достигнутый при условии, что переменные х, у связаны					уравнением
ϕ (x , y) = 0.

Геометрически задача состоит в том, чтобы на этой линии найти такую точку М0, в которой значение функции z = f (x, y) было наибольшим (наименьшим) по сравнению с другими значениями на этой линии в некоторой окрестности точки М0. Такие точки называются точками условного (относительного) экстремума.

Рассмотрим геометрический смысл этого понятия на примере.

Пример 1. Графиком функции z = 1− x2 − y2 является верхняя полусфера. Рассмотрим прямую линию ϕ ( x , y) = x + y − 1 = 0 .

					z
					z =
					z =	1− x2 − y2
				O		y
					∙
x + y − 1 = 0				x	M0
x + y − 1 = 0				x
Для точек этой прямой, в силу симметрии, функция достигает максимального
	1		1
значения в точке M 0		;		. Это и есть точка условного максимума на линии.
значения в точке M 0	2	;		. Это и есть точка условного максимума на линии.
	2		2

Теперь сформулируем задачу, которую предстоит решить. Требуется найти

точки условного экстремума функции			z = f (x, y) при						условии	ϕ (x , y) = 0,
которое называется уравнением связи.										z = f (x, y) ,
По правилу нахождения полной			производной от						функции
получим			¶f		¶f
	dz	=		+		×	dy	.		(1)
			¶x		¶y
	dx						dx
В точках экстремума формула (1) принимает вид
	¶f + ¶f			×	dy	= 0 .				(2)
					dx
	¶x		¶y

Аналогично поступаем с уравнением связи

∂ϕ +

∂ϕ ×

= 0 .

(3)

¶x

¶y

множитель λ , сложим

Умножим выражение

(3)

на

неопределённый

выражением (2) и проведём группировку членов

¶f

+ λ

¶ϕ

¶f

+ λ

¶ϕ dy

¶x

¶y

= 0 .

(4)

¶x

¶y dx

Подберём множитель λ

так, чтобы в выражении (4) выполнялось

∂f

+ λ ∂ ϕ = 0

∂ y

∂y

Тогда получим, что в точках экстремума удовлетворяются три уравнения:

∂f	+ λ	∂ϕ	= 0	;
		∂x
∂x
∂f		∂ϕ
	+ λ		= 0
				;
∂y		∂y
				(5)

ϕ ( x , y ) = 0.

Из системы (5) определяются значения переменных х, у и вспомога-

тельного множителя λ, при которых возможен экстремум.

Условиям (5) можно придать другую форму, если ввести так называемую

функцию Лагранжа

Φ (x , y , λ ) = f (x , y ) + λϕ (x , y ),

тогда система (5) примет вид

∂ Φ∂ x∂ Φ∂ y

∂ Φ∂ λ

=0 ;

(6)

= 0 .

Рассмотренный приём называется методом множителей Лагранжа. Системы (5)

или (6) представляют собой необходимые условия условного экстремума.

Достаточные условия существования условного экстремума определяются по знаку определителя

	0	′	′
		′	′
		ϕ x	ϕ y
=	ϕ ′	Φ ′′	Φ ′′
	x	xx	xy	.	(7)
	ϕ ′	Φ ′′	Φ ′′	.	(7)
	ϕ ′	Φ ′′	Φ ′′
	y	xy	yy

Если в точке	> 0 ,	то в этой точке условный максимум.
Если в точке	< 0 ,	то − условный минимум.
Если = 0 − ответа нет, требуются дополнительные исследования.
Метод множителей Лагранжа легко распространить для случая функции п
переменных с т связями.
Пример 2. Найти условный				экстремум функции z = xy, x >0, y >0 , если
уравнение связи	x 2 + y 2	= 8 .
Составим функцию Лагранжа
	Φ ( x , y , λ ) = xy + λ ( x 2 + y 2 − 8) .
Получим систему
		∂Φ		= y + 2 λ x = 0 ;
			∂x	= y + 2 λ x = 0 ;
			∂Φ
			∂Φ	= x + 2λ y = 0 ;
			∂y	= x + 2λ y = 0 ;
			∂y
			∂Φ	= x2 + y 2 − 8 = 0 .
			∂λ	= x2 + y 2 − 8 = 0 .
			∂λ

Легко получить решение данной системы: x =

Таким образом, получена точка M 0 (2 ; 2), экстремум.

y = 2; λ = −1 .

в которой может быть

Воспользуемся достаточными условиями экстремума. Вычислим в этой точке определитель (7)

	0	4	4
=	4	−1	1	= 64 > 0 ,
	4	1	−1

т.е. М0 − точка условного максимума, zmax = 4.

Соседние файлы в папке ФНП

#
12.06.2023103.46 Кб2FNP2.pdf
#
12.06.202376.35 Кб1FNP3.pdf