Добавил:

Ares_0 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

ФНП / FNP2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.06.2023

Размер:

103.46 Кб

Скачать

☆

Лекция № 2.

Производная по направлению

Рассмотрим функцию трёх переменных u = u(x , y , z) , заданную в некоторой

пространственной области

и точку M (x; y ; z) V .

Проведём из точки М вектор

направляющие косинусы которого

cosα; cosβ ; cosγ . На векторе

возьмём точку M1(x +Δx; y +Δy; z +Δz) ,

тогда ρ = (

x)2 +( y)2 +(

z)2 −

расстояние между точками М и М1.

Приращение функции u = u(x ,

y ,

будет иметь вид

Du =

∂u Dx +

∂u

Dy + ∂u Dz +α × Dρ ,

¶x

¶ y

¶z

где lim α = 0 . Если разделить это равенство на

ρ и перейти к пределу при

ρ → 0

ρ → 0 , то получим

lim

∂u =

∂u cosα +

∂u

cos β + ∂u cosγ .

(1)

ρ→0

∂s

∂x

∂y

∂z

Формула (1) представляет собой производную функции u(x , y , z) по

направлению вектора

Замечание 2. Частные производные –

это

частный

случай производных по

направлению векторов:

Замечание 3. На плоскости производная по направлению имеет вид

∂z = ∂z cosα +

∂z

sinα .

∂s

∂x

∂y

Пример 4. Найти производную по

направлению в точке M (0 ; 1; 2 ) от

функции u = x2 y + z2 x +ln y по направлению вектора

= 2i

− j + 2k .

Вычислим частные производные в точке М:

∂u

=(2xy + z2 )M

= 4;

x2+

=1;

=(2xz)M = 0.

∂x M

∂y M

y M

∂z M

Определим направляющие косинусы вектора

cos α =

; cos β = -

; cos γ =

+ 1 +

3 .

¶u

= 4 ×

-1×

+ 0 ×

Тогда производная по направлению

¶s M

Градиент функции

Рассмотрим функцию трёх переменных u = u(x, y, z).

Определение 1. Совокупность точек пространства, удовлетворяющих уравнению u(x, y, z) = C, где C = const, образует поверхность, которая называется поверхностью уровня.

Пример 5. Найти поверхности уровня функции u(x, y, z) = x2 + y2 - z2 .
							C > 0	−	однополостный	гиперболоид,
x	2	+ y	2	− z	2	= C		−	конус,
x		+ y		− z		= C	C = 0	−	конус,
								−	двуполостный	гиперболоид.
							C < 0	−	двуполостный	гиперболоид.

Замечание 4. Для функции двух переменных

z = z(x ,

имеем

уравнения

линии уровня

z(x , y) = C .

grad u = ¶u

¶u

Определение 2.

Вектор

называется

¶ x

¶ y

¶ z

градиентом функции u = u(x, y, z).

Замечание 5. Для функции двух переменных

z = z(x, y) градиент имеет

вид

g ra d z =

¶z

¶x

¶y

Основные свойства градиента:

∂u

1. Производная

проекции grad u на вектор

по направлению

∂s

равна

¶u =| grad u | cos ϕ

grad u

т.е. ¶s

Так как единичным вектором

для вектора

будет вектор

s0 = co sα i + co sβ j + co sγ k ,

то

¶u =

¶u cosα +

¶u

¶u cos γ = grad u ×

cos β +

¶s

¶x

¶ y

¶ z

=| grad u | × | s0 | cosϕ =| grad u | cosϕ ,

что и требовалось доказать.

2.	Производная по направлению в данной точке имеет наибольшее зна-чение,
если направление вектора			совпадает с направлением градиента.
		s
Это следует из свойства 1, так как m ax				∂u	будет при ϕ = 0 .
3.				∂s
	Производная по направлению, перпендикулярному градиенту, равна нулю.
Это свойство также следует из свойства 1, так как
	ϕ = π		cos ϕ = 0		¶u = 0 .
	2				¶s

4. Градиент направлен перпендикулярно к поверхности уровня.

Пример 6. Найти градиент функции u = z ln(x2 + y2 ) +arctg(x2 + z2 ) в точке

M (0 ; 1 ; 1) .

Находим частные производные:

∂u

2xz

∂u

2yz

= 0;

= 2;

+ y

+ z

)

+ y

∂x M

1+(x

∂y M

∂u

ln(x2 + y2 ) +

0 +

=1.

+ (x

+ z

)

∂z M

Тогда

(g rad u ) M

= 2

= (0 ; 2 ; 1) .

Касательная и нормаль к поверхности

Пусть поверхность задана уравнением F (x , y , z) = 0 . Это уравнение можно

рассматривать

как

уравнение

поверхности

уровня

функции

u = F (x , y , z)

при C = 0 , и тогда

нормаль

на основании свойств градиента

получаем уравнение нормали

∙M0

в точке M 0 (x0 ,

y0 , z0 )

x − x0

y − y0 =

z − z0

∂F

∂x M 0

∂y

∂z M 0

M 0

и уравнение касательной плоскости Р

∂F

=0.

(x − x0 )

∂x

+(y − y0 )

∂y

+(z −z0 )

∂z

Замечание 1. Если поверхность задана уравнением z = f (x, y) , то его можно

представить в виде

∂F = ∂f ;

∂F =

∂f ;

∂F =−1,

F(x, y, z) = f (x, y) −z =0

∂x

∂y

∂z

и тогда уравнение нормали

x − x0

∂f∂x M 0

а уравнение касательной плоскости

=	y − y0		=	z − z0	,
=	∂f		=		,
	∂f			−1

	∂y M	0
		0

(x −x )	∂F	+(y −y )	∂F		−(z −z ) =0	.
0		0	∂y		0	.
	∂x		∂y	M
	M0			M
				0

Пример 1. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к сфере x 2 + y 2 + z 2 = 9 в точке M0 (−1; 2; −2) .

Вычислим частные производные в этой точке:

∂F

=(2x)M

∂F

=(2z)M =−4.

=−2;

∂F

(2y)M =4;

∂x

∂y

∂z

0 z + 2

x +1

y − 2

Тогда получаем уравнение нормали

− 2

− 4

а уравнение касательной плоскости –

(x +1)(−2) +( y −2)4 +(z +2)(−4) =0 или − x + 2 y − 2z − 9 = 0 .

Экстремум функции нескольких переменных

Необходимые условия экстремума

Определение 1. Функция z = f (х, у) имеет максимум (минимум) в точке M0 (х0 ; у0 ) , если для любой точки M(x; y) U(M0 ) выполняется неравенство f (x

, y) < f (х0 , у0) ( f (x , y) > f (х0 , у0)).

Максимум и минимум называются экстремумами функции.

Возьмем точку M0 (х0 ; у0 ) ,		дадим в ее окрестности приращения
аргументам x = x0 + x; y = y0 +	y ,	тогда приращение функции

z = f (х, у) − f (х0 , у0 ) = f (x0 +Δx, y0 +Δy) − f (х0 , у0 )

и,

если

z < 0

Δx ,

y , то

точка M0 (х0 ;

у0 ) -

точка максимума,

если

z > 0 Δx , y − точка минимума.

Пример 1. Рассмотрим функцию

z = x2 + y2

и точку M0 (0; 0) (см. рис.).

В этой точке имеем

z = ( x)2 +( x)2 > 0

M0 (0; 0) − точка минимума.

z = f (х, у)

Теорема (необходимые условия экстремума). Если функция

достигает экстремума в точке M0 (х0 ; у0 ) , то в этой точке частные производные

∂z

равны нулю, или не существуют.

∂х

∂y

Дадим переменной у определённое значение у0. Тогда z = f (х,

у0 )

будет

функцией

одной

переменной

х.

При значении

x = x0

она имеет

экстремум,

∂z

=0, либо не существует.

поэтому частная производная

∂x

x=x0

∂z

Аналогично теорема доказывается и для частной производной

∂y

Это условие не является достаточным, что видно из примера.

Пример 2. Рассмотрим функцию

z = x2 − y2 .

Для нее

∂z =

2x = 0

∂x

M 0 (0 ; 0).

∂z

= −2 y = 0

∂ y

A > 0 − min .

В этой точке полное приращение функции z =( x)2 −(		y)2 , откуда следует,
что в её	окрестности z принимает как положительные,	так и отрицательные
значения.	Экстремума нет.

Определение 2. Точки, в которых частные производные равны нулю либо не существуют, называются критическими. Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными.

Замечание. Из определения градиента следует, что в стационарных точках градиент является нулевым вектором.

Достаточные условия экстремума

Теорема. Если в некоторой окрестности стационарной точки M0 (х0 ; у0 ) функция z = f (х, у) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно, то если:

1. =	A	B	= AC − B2 > 0 − экстремум существует.
	B	C

При этом, если

2.= AC − B2 < 0

3.= AC − B2 = 0

A < 0 − max , а при

−экстремума нет.

−ответа нет, требуются дополнительные исследования.

∂2 z

Здесь

A =

;

B =

;

C =

∂x

∂ y

M 0

∂x∂y M 0

M 0

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию

z = x3 +xy−

y2 −2y .

∂z		= 3x2 + y = 0 ;
	∂x
	∂x
	∂z
	∂z	= x − y − 2 = 0 .
		= x − y − 2 = 0 .
	∂ y
	∂ y
Из данной системы, получаем		3x2 + x − 2 = 0

т.е. найдены две стационарные точки: M1(−1; −3); Найдем частные производные второго порядка

x1	= −1; x2			=	2	,

2		4		3
	; −
M2			.
		3
3

		∂2 z = 6x ,		∂2 z	=1,	∂2 z = −1.
		∂2 z = 6x ,			=1,	∂2 z = −1.
		∂x2		∂x∂y		∂y2
В точке M1	: A = −6, B =1,		C = −1			1 = AC − B2		> 0			, поэтому имеем
экстремум, а поскольку		A < 0, то имеем максимум					zmax	=	7	.
экстремум, а поскольку		A < 0, то имеем максимум					zmax	=		.
								2
В точке M :	A = 4,	B =1, C = −1 = AC − B2					< 0 , т.е.				экстремума нет.
2			2

Соседние файлы в папке ФНП

#
12.06.2023103.46 Кб2FNP2.pdf
#
12.06.202376.35 Кб1FNP3.pdf