Добавил:

Ares_0 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Ряды / Ryady_6

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.06.2023

Размер:

79.05 Кб

Скачать

☆

Лекция № 6

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Разложение в ряд Фурье четной функции.

Воспользуемся свойством интеграла в симметричных пределах от четных и нечетных функций. Тогда для четной функции получим

a =

f (x)dx =

f (x)dx ;

∫

l ∫

−l

1 l

πnx

2 l

πnx

∫

dx =

∫

f (x)cos

dx ;

−l

1 l

πnx

∫

dx = 0

f (x) sin

−l

и ряд Фурье принимает вид

∞

π nx .

f ( x) =

+ ∑an cos

n =1

Разложение в ряд Фурье нечетной функции.

Аналогично получаем

a =

f (x)dx = 0;

∫

−l

1 l

πnx

a =

∫

f (x) cos

dx = 0;

−l

1 l

πnx

2 l

πnx

b =

∫

dx =

l ∫

f (x)sin

−l

∞

и ряд Фурье принимает вид

f ( x) = ∑bn sin π nx .

n =1

Пример 1. Периодическую функцию f (x) =| x |

с периодом T = 2l, заданную на

промежутке [−l ; l ] , разложить в ряд Фурье.

Так как функция

f (x) =| x | четная, то ряд Фурье имеет вид

∞

f (x) =

+ ∑an cos πnx ,

n=1

a =

l xdx =

= l

;

где

∫

πnx

u = x

du = dx

an =

∫x cos

dx =

πnx

dv = cos

v =

sin

πn

πnx

sin

∫sin

×cos

πn

			−	4l	, n = 2k	− 1;
	2l

=		((−1)n − 1) =		π 2 n 2
	π 2 n 2
				0 , n = 2k .

Тогда окончательно ряд Фурье этой функции примет вид

π (2k − 1) x

∞

cos

| x | =

−

∑

(2k −

k =1

x = 0 , можно получить

Из выражения для этого ряда, если положить

интересную формулу для приближенного вычисления числа π

∞

= ∑

(2k −1)2 .

k =1

Разложение непериодических функций в ряд Фурье

Часто возникает задача о разложении в ряд Фурье функции, удовлетворяющей условиям Дирихле на [0 ; l ] , только в ряд по косинусам или только по синусам. В таких случаях поступают следующим образом:

Разложение в ряд Фурье по косинусам. Тогда функцию f (x) доопределяют

так чтобы	при x [−l ; 0 ]	f (−x) = f (x)				и	периодически продолжают			на всю
числовую ось. В этом случае говорят,				что функция продолжена “ четным“						образом
и для неё					∞
			a0		∞
		f (x) =	a0		+ ∑an cos π nx .
		f (x) =			+ ∑an cos π nx .
		2			n=1		l
Разложение в ряд Фурье по синусам. Тогда функцию f (x) доопределяют так
чтобы при	x [−l ; 0 ] f (−x) = − f (x) и						периодически продолжают			на всю
числовую ось. В этом случае говорят, что							функция продолжена		“ нечетным“
образом и для неё					∞
					∞
		f ( x) = ∑ bn sin π nx .
					n =1		l
Теперь рассмотрим общий случай.
Разложение произвольной функции, удовлетворяющей условиям Дирихле на
[a ; b ] ,	в ряд Фурье.
[a ; b ] ,	в ряд Фурье.	Для этого				функцию периодически		с периодом

T= 2l = 2 × b - a

продолжают на всё числовую ось, а затем коэффициенты Фурье

вычисляют по формулам:

a =

f (x)dx ; a =

f (x)cos

2πnx

dx ;

b −a

∫

b −a

∫

b −a

b =

f (x)sin

2πnx

dx.

b −a

∫

b −a

Пример 2. Функцию f (x) = x2 , заданную на промежутке [1; 3 ] , разложить в ряд Фурье.

Вычислим коэффициенты Фурье с учетом, что b−a = 2.

3	x	3	3

a0 = ∫ x2 dx =
	3
1			1

= 9 − 1 = 26 ; 3 3

u = x2

du = 2xdx

= ∫ x

cosπ nxdx =

= cosπ nxdx v =

sin π nx =

π n

x2 sin π nx

u = x

−

∫ x sin π nxdx =

π n

dv = sin π nxdx

2x cosπ nx

6cos3π n

∫cosπ nxdx ==

−

π 2n2

du = dx
			=
v = −	cosπ nx		=

		π n
		π n

2cosπ n = 4(−1)n
π 2n2	π 2n2 ;

u = x

du = 2xdx

sin π nxdx =

= ∫ x

cos π nx

dv = sin π nxdx

v = −

π n

x2 cosπ nx

u = x

du = dx

= −

∫ x cosπ nxdx =

sinπ nx

π n

= сosπ nxdx

v =

π n

(−9(−1)n + (−1)n )

2x sin π nx

−

∫ sin π nxdx =

π n

2 n2

π 2 n2

= −

8(−1)n

(cos3π n − cosπ n) = −

8(−1)n

π 3n3

π n

Тогда ряд Фурье для данной функции примет вид

∞

(−1)n

2(−1)n

∑

cos π nx −

sin π nx .

π n

n = 1

Интеграл Фурье

Ранее мы

рассмотрели

разложения в

ряд Фурье периодических и

непериодических функций, заданных на конечном промежутке. Если задана непериодическая функция на бесконечном интервале, то её можно представить интегралом Фурье, который получается путём предельного перехода в ряду Фурье при l → ∞ .

Теорема. Пусть функция f (x) определена на (−∞; ∞) , имеет конечное число

∞

точек разрыва и ∫ | f (x) | dx < ∞ . Тогда её можно представить интегралом Фурье,

−∞

т.е.

					1	∞ ∞
			f (x) =			∫ ∫ f (t) cos λ(t − x)dt dλ .				(1)
			f (x) =		π	∫ ∫ f (t) cos λ(t − x)dt dλ .				(1)
					π	0 −∞
Формулу (1), если воспользоваться формулой для косинуса разности, можно
представить в другом виде
			∞	(a(λ ) cos λ x + b(λ ) sin λ x ) d λ , ,
	f ( x) = ∫			(a(λ ) cos λ x + b(λ ) sin λ x ) d λ , ,
где			0
где			∞						∞
	1		∞					1	∞
a(λ ) =	1		∫ f (t ) cos λtdt ;				b(λ ) =	1	∫ f (t ) sin λtdt .
a(λ ) =		π	∫ f (t ) cos λtdt ;				b(λ ) =	π	∫ f (t ) sin λtdt .
		π	−∞					π	−∞
			−∞						−∞

Замечание. Для четных и нечетных функций интеграл Фурье преобразуется аналогично, как и ряд Фурье.

sin x ,

| x |£ π ;

Пример 3. Функцию

f (x) =

0 ,

| x |> π

представить интегралом Фурье.

Так как функция нечетная, то

a(λ) = 0 ,

∞

b(λ) =

∫sin t sin λtdt +

∫ 0 ×sin λtdt =

∫ (cos(1- λ)t - cos(1+ λ)t)dt =

sin(1 − λ )t

sin(1 + λ )t

sin λπ

2 sin λπ

−

1 − λ

1 + λ

1 − λ

1 + λ

Тогда интеграл Фурье этой функции примет вид

	2	∞ sin λπ sin λ x
f ( x) =		∫0		d λ .
	π		1 - λ 2

Соседние файлы в папке Ряды

#
12.06.2023103.81 Кб2Ryady_1.pdf
#
12.06.2023101.52 Кб2Ryady_2.pdf
#
12.06.202392.66 Кб1Ryady_3.pdf
#
12.06.202394.31 Кб1Ryady_4.pdf
#
12.06.202391.43 Кб1Ryady_5.pdf
#
12.06.202379.05 Кб1Ryady_6.pdf