Добавил:

Ares_0 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Ряды / Ryady_5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.06.2023

Размер:

91.43 Кб

Скачать

☆

f (x)

		Лекция № 6
		Ряды Фурье
Определение 1. Функциональный ряд вида
	a0	∞
	a0	+ ∑an cos nx + bn sin nx ,	(1)
2		+ ∑an cos nx + bn sin nx ,	(1)
2		n =1

где a0 , a1 ,..., an , ... ,b1 , ..., bn , ... − коэффициенты ряда, называется тригонометрическим рядом.

Если ряд (1) сходится, то его сумма есть периодическая функция с периодом

T = 2π .

Рассмотрим задачу. Дана периодическая функция с периодом T = 2π . Как и при каких условиях можно найти тригонометрический ряд, сходящийся к данной функции?

Пусть f (x) можно представить тригонометрическим рядом, т.е.

∞

f ( x) =

+ ∑an cos nx + bn sin nx .

(2)

n =1

Будем считать, что ряд (2) сходится равномерно. Тогда его можно почленно

интегрировать в промежутке [−π; π] . Определим коэффициенты ряда. Для

этого

проинтегрируем его в этом промежутке

∞

∫

f ( x)dx =

∫ dx + ∑an ∫ cos nxdx + bn ∫ sin nxdx .

(3)

−π

n =1

−π

Все интегралы в правой части выражения (3), кроме первого, равны нулю. В

силу чего получим

∫ f ( x)dx .

(4)

−π

Затем умножим ряд (2) на cos mx и опять проинтегрируем

∫

f (x) cos mxdx =

∫ cos mxdx +

−π

∞

+∑an ∫ cos mx cos nxdx +bn ∫ cos mx sin nxdx.

(5)

n=1

−π

Рассмотрим отдельно в выражении (5) интегралы:


	π	n ¹ m :
	π

	∫ cos mx cos nxdx =
	−π	m = n :

Несложно вычислить

1	π
	∫ (cos(m + n)x + cos(m - n)x)dx = 0;
2
	−π

π		1	π
∫ cos2 nxdx =			∫ (1+ cos 2nx)dx = π.

−π	2		−π

π	π	1	π
∫cosmxdx =0;	∫cosmxsinnxdx =		∫(sin(n+m)x +sin(n−m)x)dx =0.
		2
−π	−π		−π

Тогда из выражения (5) следует

a =	1	π	f (x) cos nxdx.
		∫		(6)
n	π

−π

Аналогично, умножая ряд (2) на sin mx и интегрируя, получаем

b =	1	π	f ( x) sin nxdx .
	π	∫		(7)
n

−π

Определение 2. Коэффициенты тригонометрического ряда (2), определяемые по формулам (4), (6), (7), называются коэффициентами ряда Фурье, а сам ряд (2) – рядом Фурье.

Замечание 1. Интегралы в формулах (4), (6), (7) можно вычислять по любому отрезку, длина которого равна 2π , что следует из свойства интеграла для

a+T	T
периодической функции с периодом Т: a: ∫	f (x)dx =∫ f (x)dx .
a	0

Условия разложения функции в ряд Фурье

Что нужно для того, чтобы ряд Фурье сходился, и сумма полученного ряда равнялась значениям данной функции в соответствующих точках?

Определение 3. Функция f (x) называется кусочно– монотонной на отрезке [a; b] , если этот отрезок можно разбить конечным числом точек x1 , x2 ,..., xn на интервалы (a; x1), (x1 ; x2 ),..., (xn ; b) так, что на каждом из этих интервалов функция монотонна.

В дальнейшем будем рассматривать кусочно– монотонные функции, имеющие разрывы только первого рода. Такие условия принято называть условиями Дирихле.

		О а				x1	x2	x3	x4	b	x
Теорема (Дирихле). Пусть функция							f (x)	с периодом T = 2π удовлетворяет
условиям Дирихле в промежутке [−π ; π]. Тогда её ряд Фурье сходится											в каждой
точке x [−π ; π] и сумма этого ряда
					a0	∞
		S (x) =			a0	+ ∑an cos nx + bn sin nx
		S (x) =				+ ∑an cos nx + bn sin nx
	2					n=1
равна:	S(x) = f (x) во всех точках непрерывности f (x) ;
1.	S(x) = f (x) во всех точках непрерывности f (x) ;
2.	S(x) =	f (x +0) + f (x −0)	во всех точках разрыва;
2.	S(x) =		во всех точках разрыва;
	2
3.	S(x) =	f (−π +0) + f (π −0)		на концах промежутка.
3.	S(x) =			на концах промежутка.
	2

Замечание 2. Поэтому для разрывных функций ряд Фурье пишут в виде

f (x) ~ a0 +∑∞ an cos nx +bn sin nx .

2 n=1

Пример 1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f (x) =π +x

при −π ≤x <π с периодом T =2π . у

−3π

−π

3π

Вычислим коэффициенты Фурье:

1 π

(π + x)dx =

π x +

x 2

= 2π ;

π −∫π

−π

π +x =u

du =dx

∫(π +x)cosnxdx =

sinnx

−π

cosnxdx =dv

v =

(π + x)

∫ sin nxdx = 0;

sin nx

−π −

πn

−π

π +x =u

du =dx

∫(π +x)sinnxdx =

cosnx

−π

sinnxdx =dv

v =−

(π + x)

2π cos π n

2(−1)n +1

∫ cos nxdx = −

= −

cos nx

−π

π n

−π

Ряд Фурье для данной функции имеет вид

∞

(−1)n+1

f (x) = π + 2∑

sin nx .

n=1

Ряд Фурье для функций с периодом T = 2l

Пусть функция

f (x) , заданная на [−l ; l ], является периодической с периодом T

= 2l. Введём новую

переменную t =πx x =

. Тогда

будет функцией

с периодом T =2π и её можно разложить в ряд Фурье на [−π; π], т.е.

∞

∑an cos nt + bn sin nt ,

n =1

а, возвращаясь к переменной x и учитывая, что dt =π dx ,

получим

1 l

∫

dt a0 =

∫ f ( x)dx ;

−π

l − l

1 l

π nx

∫

cos ntdt

∫ f ( x) cos

dx ;

(8)

−π

− l

1 π

1 l

π nx

bn =

−∫π

sin ntdt

bn =

−∫l

f ( x) sin

dx .

Тогда ряд Фурье для

этого случая принимает вид

∞

cos π nx + bn sin π nx

f (x) =

+ ∑an

(9)

n=1

2 , −2≤ x ≤0;

T = 2l = 4

Пример 2. Периодическую функцию

f (x) =

0< x <2 с периодом

4 ,

разложить в ряд Фурье.

По формулам (8) вычислим коэффициенты:

			1		0		1	2
=					∫	2dx +		∫ 4dx = x					0−2 + 2x			02 = 2 + 4 = 6 ;


2					−2	2		0
		1			0	2cos π nx dx +				1		2			π nx dx =				2				π nx		0					4			sin π nx					2
					0							2													0													2
=					∫							∫4cos										sin					+											= 0;
=					∫							∫4cos										sin					+											= 0;
2					−2	2		2				0			2				π n				2		−2				π n					2				0
2					−2	2		2				0			2				π n				2		−2				π n					2				0
	1				0				1		2								2				π nx	0						4						2
																								0												2

=					∫ 2sin π nx dx +						∫	4sin π nx dx = −									cos						−					cos π nx				=
=					∫ 2sin π nx dx +						∫	4sin π nx dx = −									cos		2				−					cos π nx				=
2				−2		2		2			0				2			π n					2	−2				π n						2		0
				−2							0													−2								2(−1)n				0
												2			4												2					2(−1)n				2
								= −						(1−(−1)n )−						((−1)n −1) =										−					=				(1−(−1)n) .
								= −				πn		(1−(−1)n )−			πn			((−1)n −1) =						πn				−	πn				=		πn		(1−(−1)n) .

При этом, если n = 2k bn = 0 , а если

n =2k −1 bn

π(2k −1)

и тогда

πn

π (2k −1)x

∞ sin

f (x) = 3 +

∑

2k −1

k =1

Соседние файлы в папке Ряды

#
12.06.2023103.81 Кб2Ryady_1.pdf
#
12.06.2023101.52 Кб2Ryady_2.pdf
#
12.06.202392.66 Кб1Ryady_3.pdf
#
12.06.202394.31 Кб1Ryady_4.pdf
#
12.06.202391.43 Кб1Ryady_5.pdf
#
12.06.202379.05 Кб1Ryady_6.pdf