Добавил:

Ares_0 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Ряды / Ryady_4

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.06.2023

Размер:

94.31 Кб

Скачать

☆

	Лекция № 4
Разложение функций в степенные ряды
Как было показано ранее,	сумма степенного ряда является непрерывной	и
дифференцируемой функцией	в интервале сходимости. Допустим, что функция

f (x) , которую будем представлять как сумму степенного ряда, удовлетворяет этим условиям в окрестности некоторой точки x0 . Тогда её в окрестности этой точки можно представить в виде ряда

f (x) =a0 +a1(x−x0)+a2(x−x0)2 +...+an(x−x0)n +....

(1)

Требуется найти коэффициенты an (n = 0, 1, 2,K) .

Положим в формуле (1)

x = x0 , получим a = f (x0 ). Продифференцируем выражение (1)

′

n−1

+....

(2)

f (x) =a1 +2a2(x−x0)+3a3(x−x0)

+...+nan(x−x0)

Подставим в выражение (2)

x = x0 , получим

= f ′( x0 ) .

Аналогично, дифференцируя п раз:

f (n) (x) = n(n -1)(n -2)...2×1×a +(n +1)n...2×1×a

(x - x ) +.....

(3)

n+1

an =

f (n) (x )

Подставив значение x = x0 в выражение (3),

получим

Тогда, окончательно

′

′′

(n)

(x0)

f (x) = f (x0)+

f (x0)

−x0)+

f (x0)

(x−x0)2 +...+

(x−x0)n +...

(4)

Степенной ряд (4) называется рядом Тейлора функции

f (x)

в окрестности

точки x0 . Если положить x0 =0,

то получим ряд Маклорена

f (x) = f (0) +

f ′(0)

x +

f ′′(0)

x2 +... +

f (n ) (0)

xn +...

Каким условиям должна удовлетворять функция, чтобы её можно было разложить в ряд Тейлора? Воспользуемся формулой Тейлора

′

′′

(n)

(x0)

(n+1)

n+1

f (x) = f (x )+

f (x0)

(x−x )+

f (x0)

(x−x )2 +...+

(x−x )n +...+

(ξ)(x−x0)

(n+1)!

где x0 <ξ < x . Из этой

формулы

следует: если все производные

функции

ограничены в окрестности точки x0 , т.е. | f (n) (ξ)|≤M,

n =0, 1, 2,...,

то

		(x) \|≤ lim	M \| x − x \| n+1	= 0
lim \| Rn			0
lim \| Rn			(n +1)!
n→∞		n→∞	(n +1)!
и тогда limSn (x) = f (x) , т.е.	ряд (4) сходится.
n→∞

f (x)

Рассмотрим некоторые примеры разложений элементарных функций в ряд Тейлора при x0 = 0 (ряд Маклорена).

′

′′

(n)

(x) = ... = e

1. f (x) = e . Вычислим производные

f (x) = f (x) = ... = f

Следовательно, получим ряд

∞

e x = 1 +

+ ... +

+ ... = ∑

(5)

n !

n = 0 n !

Область сходимости такого ряда была определена на предыдущей лекции

(прим. 3): (−∞;∞) .

Аналогично получим

2n−1

∞

2n−1

sin x = x −

−...(−1)n+1

+... = ∑(−1)n+1

, x (−∞; ∞).

(2n −1)!

n=1

∞

cos x =1−

−... + (−1)n

+... = ∑(−1)n

, x (−∞; ∞).

(2n)!

n=0

(1+ x)m =1+ mx +

m(m −1)

x2 +... +

m(m −1)...(m − n +1)

xn +... =

∞

m(m −1)...(m − n + 1)

= ∑

xn , x

(−1; 1).

n=0

В разложениях 2−3 наглядно проявляются четность и нечетность функций

sin x и

cos x

соответственно,

также

знакомые

формулы

дифференцирования

′

= cos x

′

(sin x)

(cos x) = −sin x .

Применяя свойства степенных рядов к последнему ряду 4 можно получить

еще несколько полезных для практики рядов.

Для т = −1 ряд 4 примет вид

∞

= (1+ x)−1

= 1− x + x2− x3+ x4− ... + (−1)n xn + ... = ∑(−1)n xn .

1+ x

n=0

Проинтегрировав почленно этот ряд, получим

∞

ln(1+ x) = x −

−... + (−1)n+1

+ ... = ∑(−1)n+1

, x (−1; 1].

n=1

Если вместо переменной х взять

x2 ,

то ряд 4 будет иметь вид

∞

= (1+ x2 )−1

= 1− x2+ x4− x6 + x8− ... + (−1)n x2n + ... = ∑(−1)n x2n .

1+ x

n=0

Проинтегрировав почленно этот ряд, получим

∞

2n−1

arctg x = x −

−

+ ... =

∑(−1)n+1

, x (−1; 1].

n=1

2n −1

Применение рядов Тейлора

Приближенное вычисление значений функции.

Пример. Найти с точностью до 0,01 значение ln1,5 . Воспользуемся

разложением функции ln(1 + x) ,

полагая x = 0,5

ln 1, 5 =

−

− ... ≈

−

≈ 0, 40 ,

160

так как полученный числовой ряд является знакочередующимся.

Интегрирование с помощью степенных рядов.

Если интегралы не выражаются через элементарные функции, то разлагая подынтегральную функцию в ряд Тейлора и почленно интегрируя, можно получить выражение этого интеграла в виде степенного ряда.

F (x) = ∫e−

dz и представим

Пример.

Рассмотрим

функцию

её в

виде

x ® -

степенного ряда,

заменив в ряде (5)

2 , т.е.

− z 2

= 1 -

+ ... .

e 2

Тогда

2 !

z 2

z 6

F ( x ) =

+ ... d z =

∫0

2 ! 2

z2n−1

∞

x2n−1

= z -

-...+(-1)n+1

...

= ∑(-1)n+1

3×2

n 1

5×2 2!

(2n -1)2

−

(n -1)!

n 1

(2n -1) 2

− (n -1)!

Таким же методом можно вычислять и определённые интегралы.

Пример. Вычислим интеграл Френеля ∫sin x2 dx с точностью до 0,001.

Воспользуемся

разложением функции

sin x

ряд

Тейлора,

заменив в нём

x ® x2 и проинтегрировав,

x10

-... + (-1)n+1

x4n−2

∫sin x2dx = ∫ x2

+... dx =

(2n -1)!

-...

-... .

7 ×3!

1320

11×5!

Так как

то

∫sin x2 dx »

» 0, 309 .

1000

1320

Интегрирование дифференциальных уравнений.

Рассмотрим этот метод на примере.

Пример. Найти четыре первых отличных от нуля членов разложения в

степенной

ряд

решения

дифференциального

уравнения

y¢ = xy + e y −1

удовлетворяющего начальному условию y(0) =1.

Решение ищем в виде ряда Маклорена

y(x) = y(0) +

y′(0)

x +

y′′(0)

x2 +

y′′′(0)

x3 +... .

y¢(0) =

Тогда y(0) = 1

0 ×1+ e1−1 = 1.

Вычислим производные:

y¢¢ = y + xy¢ + y¢ey−1

y¢¢(0) =1+ 0 +1×e0 = 2;

′′′

′

′′

y−1

′ 2

y−1

′′′

=1+1+ 2 +1 = 5.

= y

+ y

+ xy + y e

+ ( y )

(0)

Подставив в ряд для y(x) полученные значения функции и её производных,

находим искомый ряд

y( x) = 1 + x + x 2

x3 + ... .

= cos x + i sin x

Докажем известную формулу Эйлера

eix

, где

введено

обозначение i =

(мнимая единица).

−1

Воспользуемся разложением в ряд Тейлора функции

∞

e x

= 1 +

+ ... +

+ ... = ∑

n = 0

В этом ряде заменим x → ix .

Тогда получим

eix = 1+

i −

−

i +

+ ... = 1−

− ... + x −

С учетом

разложений в

ряд функций sin x и cos

формулу Эйлера

eix = cos x + i sin x .

	x	3		x	5
	x		+	x		− ... i .
			+			− ... i .
3!			5!
x получим							искомую

Соседние файлы в папке Ряды

#
12.06.2023103.81 Кб2Ryady_1.pdf
#
12.06.2023101.52 Кб2Ryady_2.pdf
#
12.06.202392.66 Кб1Ryady_3.pdf
#
12.06.202394.31 Кб1Ryady_4.pdf
#
12.06.202391.43 Кб1Ryady_5.pdf
#
12.06.202379.05 Кб1Ryady_6.pdf