Определенные интегралы / Opr4

∞

b

∫

f ( х) d x = blim→ ∞ ∫ f ( х) d x .

(1)

a

a

В этом случае интеграл называется сходящимся. Если же предел (1)

не

b

b

∞

c

∞

∫ f (х)dx = alim→−∞ ∫ f (х)dx ;

∫ f (х)dx = ∫ f (х)dx +∫ f (х)dx .

−∞

a

−∞

−∞

c

Если известна первообразная функции f (х) , то

∞

∫

f (х)dx = lim F(b) −F(a) = F(∞) −F(a).

(2)

a

b→∞

∞

dx

Пример 1. Исследовать сходимость интеграла

∫

.

1

2

1

+ x

По формуле (2) получаем

∞

dx

= lim arctg(b) − arctg 1 = π − π = π .

∫

2

1 1 + x

b → ∞

2

4

4

∞

dx

Пример 2. Исследовать сходимость интеграла

∫

;

a > 0.

p

a

x

Согласно определению несобственного интеграла из таблицы неопределённых

интегралов получим

b−p +1

a−p +1

−p +1

∞ dx

lim

-

, p ¹1 ;

a

, p >1 ;

∫

= b→∞

1- p 1- p

= p -1

xp

p =1 .

a

limln b -ln a ,

b→∞

¥ ,

p £1.

Таким образом, интеграл сходится,

если степень

p > 1 и расходится,

если

p ≤ 1 .

Если первообразная функции

f (x) не известна,

то

при исследовании

несобственного интеграла на сходимость применяют признаки сравнения.

Теорема 1. Пусть x [a ; ∞) :

0 ≤ f (x) ≤ g(x) , тогда

∞

∞

− если интеграл

∫ g ( x)dx сходится, то сходится и

∫ f ( x )dx ,

a

a

∞

∞

− если интеграл

∫ f ( x)dx расходится, то расходится и

∫ g ( x )dx .

a

a

∞

Пример 3. Исследовать на сходимость

∫e − x 2

dx .

0

∞

1

∞

∞

∫ e − x 2 d x = ∫ e − x 2 d x + ∫ e − x 2 d x < 1 + ∫ xe − x 2 d x =

0

0

1

1

t = x

2

x : 1 ;

∞

1

∞

e

−1

=

=1 +

e−t dt =1 +

.

dt = 2xdx

t : 1 ;

∞

2

∫1

2

Таким образом, интеграл сходится. Неравенство было получено с

использованием свойства 8 об оценке интеграла.

∞

∞

Теорема 2. Если ∫| f (x) | dx < ∞

∫ f (x)dx < ∞.

a

a

Доказательство аналогичное.

∞

В этом случае интеграл

∫ f ( x)dx

называется абсолютно сходящимся. Если

a

∞

∞

∞

∫ f (x)dx < ∞,

а ∫|

f (x) | dx расходится, то интеграл ∫ f ( x)dx

называется условно

a

a

a

сходящимся.

∞

Например, интеграл ∫

cos x

dx является абсолютно сходящимся, так как

x2

1

∞

∞

cos x

∫

dx < ∫

dx

< ∞ .

x 2

x 2

∞

1

1

Интеграл

∫

sin x

dx − условно сходящийся.

x

1

представляет. Например,

если c (a , b)

− точка разрыва первого рода, тогда

b

c

b

∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx .

a

a

c

Если же функция

f (х) имеет бесконечный разрыв, то в этом случае интеграл

называется несобственным второго рода. Тогда, если

x = b

− точка разрыва

второго рода, то интеграл определяется следующим образом

b

b −ε

∫

f (x)dx = lim

∫

f (x)dx .

ε →0

a

a

Аналогично определяются несобственные интегралы от функций с разрывами

в точках x = a

и c (a , b) :

b

b

b

c

b

∫

f (x)dx = lim

f (x)dx ;

∫

f (x)dx =

∫

f (x)dx +

∫

f (x)dx.

ε →0 ∫

a

a+ε

a

a

c

Если для

несобственного

интеграла

от

разрывной

функции в точке x = b

известна первообразная F(х) , то его сходимость зависит от существования

значения F(b) .

b

Пример 4. Исследовать сходимость

∫

dx

; b > 0 .

p

0

x

x

1− p

b

b1− p

b

b

lim

,

p ¹ 1

p < 1,

∫

dx

∫

dx

ε → 0 1 - p

,

= lim

=

ε

= 1

- p

p

p

0

x

ε → 0

ε

x

b

¥ ,

p ³ 1 .

p = 1

lim ln x

ε

,

ε → 0

если степень p < 1 и расходится, если

Таким образом, интеграл сходится,

p ³ 1 .

Если же

первообразная

функции

f (х)

не известна,

то

для исследования

2

dx

Пример 5.

интеграл ∫

и, если он

Исследовать

на сходимость

3

( x -

1)2

0

сходится, вычислить его.

Замечаем,

что в точке x = 1 подынтегральная функция имеет разрыв второго

рода, а интеграл запишем в виде

2

dx

2

dx

∫

= ∫

.

2

3 ( x - 1)2

0

0 ( x - 1) 3

Тогда показатель р степени у подынтегральной функции равен

p =2

<1

3

,

следовательно интеграл сходится. Вычислим его

2

dx

1

dx

2

dx

1−ε1

dx

2

dx

∫

= ∫

+ ∫

= lim

∫

+ lim

∫

=

2

2

3 (x −1)2

0

0 3 (x −1)2

1 3 (x −1)2

ε1 →0

0 (x −1) 3

ε 2 →0

1+ε 2 (x −1) 3

(x −1)

13

1−ε1

(x −1)

13

2

1−ε1 +3 lim 3

2

= lim

+ lim

= 3 lim 3

=

x −1

x −1

1

ε1 →0

1

ε

2 →0

ε1 →0

0

ε 2 →0

1+ε 2

3

0

3

1+ε 2

= −3 lim

3

+ 3 + 3 − 3 lim

3

= 6.

ε

1

ε

2

ε 1 →0

ε

2 →0

у

y = f (х)

х

y

Н

у

О

х

Работа при подъёме элементарного объёма жидкости

γ − плотность жидкости,

A =γ gπx2 y(H − y) ,

где

Н − глубина резервуара. Тогда

H

H

A = πγ g ∫ x2 (H − y)dy =πγ g ∫( f −1 ( у))2 (H − y)dy ,

0

0

где

f −1(у) − обратная функция к функции y = f (х) .

x

y

b

p = γ g x y

Давление жидкости на элементарную полоску

x . Из подобия

треугольников определим y = y(х):

a −b

=

h

y = a −

x

(a −b).

y −b

h

− x

h

Тогда интегрируя, получим

h

x

a x

2

x 3 ( a − b )

h

h 2 ( a + 2b )

p = γ g

x

a −

( a − b )

d x

= γ g

−

= γ g

.

∫0

h

2

3h

0

6

Задача 3.

Определить сумму увеличения затрат на производство при росте

200

200

x3

x2

200

S = ∫ Z (x)dx = ∫ (0, 0015x2 − 0, 02x +10)dx =

0, 0015

− 0, 02

+10x

=

3

2

100

100

100

2003−1003

2002−1002

=0,0015

−0, 02

+10(200 −100) = 4200

(грн.).

3

2