Добавил:

Ares_0 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Определенные интегралы / Opr1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.06.2023

Размер:

99.07 Кб

Скачать

☆

Лекция № 1. Определённый интеграл

Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

1. Задача о площади криволинейной трапеции.

Пусть на отрезке [a ; b] задана функция f ( x) ³ 0 . Требуется найти площадь

S фигуры, образованной осью Ox, прямыми:	x = a ; x = b и графиком функции
y = f ( x) (криволинейная трапеция).	y = f ( x)
у	y = f ( x)

			хi-1 ξi					x
	О	а	хi-1 ξi		xi	b
Разобьём отрезок [a ; b] на п частей:					a = x0 < x1 < ... < xn			= b . На каждом
участке разбиения	[xi−1 ; xi ] (i =1, ..., n)			выберем		точку	ξi [xi−1 ; xi ]			и
составим сумму
		n
		Sn = ∑ f (ξi )		xi ,	где	xi = xi	− xi −1 .			(1)
Тогда S ≈ Sn		i=1
Тогда S ≈ Sn	, так	как Sп	геометрически			представляет		собой	площадь
ступенчатой фигуры. Если теперь перейти к пределу в формуле (1),									когда	все
xi →0 n →∞, то		получим	значение		площади криволинейной				трапеции,

т.е.

S = lim ∑ f (ξi ) xi .

Δxi →0 i =1

2. Задача о массе тела.

Задан линейный неоднородный стержень с плотностью γ ( x) , лежащий в пределах [a ; b] . Требуется определить его массу М. Как и ранее, разобьём отрезок

[a ; b] на части. Так как в пределах xi		плотность γ ( x)		изменяется	мало,	то
mi ≈ γ (ξi )	xi , а масса стержня
	n		) xi .
	M ≈ M n = ∑γ (ξi		) xi .
	i =1
Точное	значение массы получим,	если	перейти	к пределу,	когда	все
xi →0 n →∞

M = lim ∑γ (ξi ) xi .

Δxi →0 i =1

Определение определённого интеграла

Пусть на отрезке [a ; b] задана функция f ( x) . Разделим отрезок

части произвольным образом точками:	a = x0	< x1 < ... < xn = b . На
полученных отрезков разбиения [xi−1 ; xi ] (i = 1, ..., n)			произвольно
точку ξi [ xi − 1 ; xi ] и составим сумму
n		xi = xi	− xi−1 ,
I n = ∑ f (ξ i )	xi , где	xi = xi	− xi−1 ,

i =1

[a ; b] на каждом из выберем

(2)

называемую интегральной суммой функции f ( x) на отрезке [a ; b] . Определение 1. Если предел интегральной суммы (2) не зависит от способа

разбиения отрезка [a ; b] и выбора точек ξi , то он называется определённым

интегралом от функции f ( x)	на отрезке [a ; b] и обозначается
	In =		n	b
lim		lim	∑ f (ξi ) xi =	∫ f ( x)dx ,	(3)
Δxi →0		Δxi →0	i=1	a
где а − нижний, b − верхний пределы интегрирования.
Определение 2. Если для функции f ( x) на отрезке [a ; b] существует предел
(3), то функция f ( x) называется интегрируемой на [a ; b] .
При каких условиях существует предел (3)?					f ( x)
Теорема 1 (теорема существования определённого интеграла). Если
непрерывна на отрезке [a ; b] , то она интегрируема на [a ; b] .
Замечание. Среди разрывных		функций на [a ; b]		есть как интегрируемые

(ограниченные монотонные), так и неинтегрируемые. Например, неинтегрируемой является функция Дирихле

1, x − рациональное;

D (x) =

0, x − иррациональное.

Действительно, если в качестве точек ξi выбрать рациональные точки и рассмотреть функцию Дирихле на отрезке [0 ; 1] , то из формулы (3) интегральная сумма будет равна 1, а если в качестве точек ξi выбрать только иррациональные точки, то 0. Таким образом, предел (3) не существует.

Теперь выясним геометрический смысл определённого интеграла:

Из ранее рассмотренной задачи при f ( x) ³ 0 − это площадь криволинейной трапеции. При f ( x) < 0 − это тоже площадь, но со знаком минус. Поэтому определённый интеграл – это алгебраическая площадь криволинейной трапеции.

−

Физический смысл определённого интеграла.

Из ранее рассмотренной задачи масса стержня с линейной плотностью γ ( x)

определяется как M = ∫γ ( x )dx .

Рассуждая подобным образом, получаем, что если F ( x) − сила, действующая вдоль прямолинейного отрезка [a ; b] , то работа этой силы

A = ∫F ( x)dx .

Основные свойства определённого интеграла

1. Если M = const, то ∫Mdx = M (b −a).

Действительно, I n = M ∑ xi = M (b − a ) .

i =1

[a ; b]

Свойство линейности. Если функции		f ( x) и g ( x) интегрируемые на
и А, В − const,	то
b	b	b
∫(Af ( x ) + Bg ( x ) )dx = A ∫ f ( x )dx + B ∫ g ( x )dx .
a	a	a

Это свойство вытекает из определения определённого интеграла.
3.	При перестановке местами пределов интегрирования определенный
				b		a
интеграл меняет свой знак				∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx .
				a		b
Это		свойство	следует	из	того, что	в интегральной		сумме	все	разности
xi = xi		− xi −1 меняют знак.
							a
4.	Если пределы интегрирования одинаковы, то						∫ f ( x)dx = 0 .
							a
Действительно, так как все разности						xi = xi − xi −1 = 0 .
5.	Свойство аддитивности.				Если a < c < b , то
			b		c	b
			∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx .
			a		а	c
					b
6.	Если f ( x ) ³ 0				∫ f ( x ) d x ³ 0 .
					a
Это		свойство	очевидно,		так как	в интегральной		сумме	все	слагаемые
f (ξ i )		x i больше или равны нулю.
7.	Если на отрезке [a ; b] функции f ( x) и g ( x)						удовлетворяют неравенству

f ( x) ³ g ( x) , то

∫ f ( x ) dx ³ ∫ g ( x ) d x .

Действительно, если рассмотреть разность интегралов, то с учетом свойств 2 и

6, получаем

∫ f (x)dx - ∫ g(x)dx = ∫( f (x) - g(x)) dx ³ 0,

f (x) = 3x

откуда и следует доказываемое неравенство.

Данное свойство применяется для срав-

нения определенных интегралов без их непо-

средственного вычисления.

f (x) = 3x и

g(x) = x +1

Пример 1. Пусть функции

g(x) = x +1 заданы на отрезке

[0 ; 1] .

Сравнить интегралы

∫ 3 x d x и

∫ ( x + 1) d x .

Построив графики данных функций, видим, что на отрезке [0 ; 1] .

f (x) = 3x ³ g(x) = x +1, поэтому по свойству 7 получим

∫ 3 x d x ³ ∫ ( x + 1) d x .

∫ f ( x ) d x

£ ∫

f ( x )

d x .

Проинтегрировав

очевидное неравенство

f (x)

£ f (x) £

f (x)

и,

учитывая

свойство 7, приходим к данному свойству.

9. Оценка определённого интеграла. Если т и М - наименьшее и наибольшее

значения непрерывной функции f ( x) на [a ; b] , то

m(b − a) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) .

Интегрируя неравенство m ≤ f ( x) ≤ M

с учетом свойств 1 и 7,

получаем

данное свойство.

Свойство 9 применяется для оценки величины определенного интеграла без его непосредственного вычисления.

			3
Пример 2. Оценить величину интеграла			∫ ( x 2 - 2 x + 3)dx .
			0
Для	подынтегральной	функции f ( x)	найдем наименьшее	и наибольшее
значения.	Приравнивая	ее производную	нулю 2x − 2 = 0 ,	находим точку

x = 1 [0 ; 3] , подозрительную на экстремум. Вычисляя последовательно

f (0) = 02 - 2 ×0 + 3 = 3;

f (1) = 12 - 2 ×1 + 3 = 2 ; f (3) = 32 - 2 ×3 + 3 = 6,

находим			наименьшее т = 2 и	наибольшее					значения М = 6 подынтегральной
функции			f ( x) на рассматриваемом отрезке интегрирования [0 ; 3].
	Тогда, учитывая, что b − a = 3 ,					окончательно получим
			3
			6 ≤ ∫ ( x 2 − 2 x + 3) d x ≤ 1 8 .
			0
									f ( x) непрерывна	на [a ; b] , то
	10.	Теорема о среднем. Если			функция				f ( x) непрерывна	на [a ; b] , то
существует такая точка ξ [a ; b] , для которой выполняется равенство
						1		b
			f (ξ ) =			1		∫ f ( x)dx .
			f (ξ ) =		b − a			∫ f ( x)dx .
					b − a			a
								a
	Из свойства 9 получаем неравенство
				1			b
			m ≤	1			∫ f ( x)dx ≤ M .
			m ≤	b − a			∫ f ( x)dx ≤ M .
				b − a			a
							a
	Так		как f ( x) непрерывна	на		[a ; b] ,			то она принимает	все значения,

заключенные между т и М, в том числе и f (ξ ) . Из этого и следует данное свойство.

Значение функции f (ξ ) иногда называют средним интегральным значением функции f ( x) на отрезке [a ; b] .

Соседние файлы в папке Определенные интегралы

#
12.06.202399.07 Кб2Opr1.pdf
#
12.06.2023105.27 Кб1Opr2.pdf
#
12.06.202396.45 Кб3Opr3.pdf
#
12.06.202396.45 Кб1Opr4.pdf