Не определенные интегралы / Integral4

что sin x, cos x

и dx выражаются через

tg

x

рационально:

2

2tg

x

1−tg2

x

2dt

sin x =

2

;

cos x =

2

;

x =2arctgt

dx =

.

2 x

2 x

1+t2

(1)

1+tg

1+tg

2

2

Пример 1.

dx

= (воспользуемся формулами (1)) =

∫sin x

− 2cos x + 2

x

2dt

dt

=

t = tg

=

=

=

∫

2t

2 − 2t

2

∫ t (2t +1)

2

−

+

(1 + t

2

2

)

1 + t

2

1

+ t

2

dt

dt

x

x

C tg

x

= ∫

− 2∫

= ln

tg

− ln

2 tg

+1

+ ln

C

= ln

2

.

x

t

2t +1

2

2

2 tg

+1

2

Интегралы вида ∫R(cos x)sin xdx;

∫R(sin x) cos xdx;

∫R(tg x)dx с

помощью

подстановок:

t =cosx;

t =sinx;

t =tgx соответственно приводятся к

интегралам

от рациональной функции.

Пример 2.

∫

cos xdx

t = sin x

∫

dt

1

2 + t

1

2 + sin x

=

=

=

ln

+ C =

ln

+ C .

2

2

2

4 −sin

x

dt = cos xdx

2

−t

4

2 −t

4

2 −sin x

t = tg x

t 3 dt

tdt

Пример 3.

∫

tg 3 x dx =

dt

=

∫

=

∫

tdt −

∫

=

2

2

=

1 + t

1

+ t

dx

1 + t 2

=

tg2 x

−

1

ln(1 + tg2 x) + C =

tg2 x

+ ln

cos x

+ C .

2

2

2

Интегралы вида

∫ R (cos 2 m x , sin 2 n x )dx .

В этом случае применяется замена

t =tg x

, так

как

sin2 x и

cos2 x

выражаются

через

tg x

рационально:

sin 2 x =

t 2

;

cos 2 x =

1

, или

1 + t 2

1 + t 2

используются тригонометрические формулы понижения степени.

dx

t = tg x

dt

=

dt

=

=

4. ∫

2

2

∫

2

Пример

(2

-sin x)cos x

2

t

1

dx =

1+t

2

(1+t

) 2

-

×

2

1+t

2

1+t

= ∫

(1 + t 2 )dt

= ∫dt − ∫

dt

= tg x −

1

arctg

tg x

+ C .

2 + t 2

2 + t 2

2

2

∫

cos5 xdx

∫

cos4 x × cos xdx

t = sin x

Пример 5.

=

=

=

sin

3

x

sin

3

x

dt = cos xdx

= ∫

(1−t2 )2

dt =∫t−3dt −2∫

dt

+∫tdt =−

1

−2ln

sin x

+

sin2 x

+C..

t3

t

2sin2 x

2

Интегралы вида ∫s in m x c o s n x d x ,

где оба показателя степени

sin 2 x =

1 − cos 2 x

;

cos2 x =

1 + cos 2x

.

(2)

2

2

∫

4

∫

1−cos 4x 2

1

∫

2

Пример 6.

sin 2xdx =

(1

−2 cos 4x +cos 4x) dt =

2

4

dx =

=

1

∫dx −

1

∫cos 4xdx +

1

∫

1+cos8x

dx =

x

−

sin 4x

+

x

+

sin 8x

+C .

4

2

4

2

4

8

8

64

sin α x cos β x =

1

(sin(α + β ) x + sin(α − β ) x );

2

sin α x sin β x =

1

(cos(α − β ) x − cos(α + β ) x );

(3)

2

Пример 7. ∫ cos 3x sin 7xdx =

1

∫ (sin10x + sin 4x)dx = .

1

1

2

cos10x

cos 4x

=

∫sin10xdx +

∫sin 4xdx = −

−

+ C .

2

2

20

8

Интегрирование некоторых иррациональных функций

m

p

Интегралы вида ∫ R

, ... ,

x

q

n

x , x

dx .

Если k = H O K ( n , ..., q )

,

то

подстановка имеет вид x = t k и тогда

(1+ 26

x = t6 t = 6

(1+ 2t)t5

2t4+t3

)

x

Пример 8. ∫

x

dx =

= 6

dt =6

dt =

3

5

3

2

x +

x

dt

∫

+t

∫

1+t

dx = 6t

t

= 12∫t3dt − 6∫t2dt +6∫tdt − 6∫dt + 6∫

dt

=3t4− 2t3+ 3t2− 6t + ln |1+ t | +C =

1+ t

= 33

−2

+33

−66

+6ln |1+ 6

| +C.

x2

x

x

x

x

Замечание 1.

Если

выражение

под знаком радикала линейное, т.е. имеет

вид a x + b , то

из свойства 4 неопределенного

интеграла

следует, что мы

вправе применить тот же подход.

1

Пример 9. ∫

x

2x −1

= t 2 x =

(t 2

+1)

1

∫

t 2 +1

dx =

2

=

t d t =

2x −1

2

2dx = 2t d t

t

t3

(2x −1)3

1

∫

1

2x −1

=

(t2 +1)dt =

+ t

+ C =

+

+ C .

2

2

3

6

2

Пример 11. ∫

−4x2

+ 8x +12

dx = 2∫

−x2 + 2x + 3

u = −x +1

dx =

=

(1

− x)

2

(1− x)

2

du = −dx

u = 2sint

z = ctgt

4 −u2

z2 +1−1

2

= −2∫

du =

= −2∫ctg tdt =

dz

= 2∫

dz =

2

2

u

du = 2costdt

1+ z

dt = −

1+ z2

= 2 z + 2 arcctg z + C = 2t + 2 ctg t + C = 2 arcsin

u

+ 2

1 − sin 2t

+ C =

2

sin t

1 - (u

)2

u

1 - x

-x

2

+ 2x + 3

2

= 2 arcsin

+ 4

+ C = 2 arcsin

+ 2

+ C .

2

u

2

1 - x

2. Интегралы вида ∫ R ( x ,

)dx .

x 2

− a 2

В этом случае используется замена x =

a

.

sin t

1

1

1

cost

x =

; t = arcsin

-1×

2

2

2

∫

x -1

dx =

sint