Не определенные интегралы / Integral3
.pdfЛекция № 3
Многочлены и рациональные дроби
Вначале напомним некоторые положения из алгебры.
Рассмотрим |
многочлен п-ой |
степени Pn (x) = an xn +an−1xn−1 +... +a1x +a0 с |
действительными |
коэффициентами. |
Если Pn (α) = 0 , то число α называется |
корнем многочлена. В соответствии с основной теоремы алгебры любой такой многочлен можно представить в виде
Pn (x) = an (x −α1)k1 ...(x −αi )ki (x2 + p1x +q1)s1 ...(x2 + pj x +qj )s j , |
(1) |
где αm действительные корни кратности km , квадратичные множители в формуле
(1) действительных корней не имеют и
k1 + ... + ki + 2(s1+ ... + s j ) = n . |
|
Пример 1. Представить в виде (1) многочлен P5 ( x) = x5 − x3 + x2 −1 . |
|
P ( x) = x3 ( x2 −1) + ( x2 −1) = ( x3 +1)( x2 |
−1) = |
5 |
|
= (x +1)(x2 − x +1)(x −1)(x +1) = (x −1)(x +1)2 (x2 − x +1). |
|
Здесь k1 =1; k2 =2; s1 =1 и k1 + k 2 + 2 s1 = 5 . |
|
Определение 1. Рациональной функцией или дробью называется функция вида
|
Q |
m |
( x ) |
= |
|
b |
m |
x m + ... + b x + b |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
(2) |
|||||
|
P ( x ) |
|
|
a |
n |
x n + ... + a |
1 |
x + a |
0 |
|||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При этом будем считать, |
что an |
= 1 (это всегда можно сделать путём деления |
||||||||||||
числителя и знаменателя на an ) и m < n . Такая рациональная дробь называется правильной рациональной дробью.
В противном случае, нужно выделить целую часть, разделив числитель |
на |
||||||||||||||||
знаменатель, т.е. представить дробь в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Qm ( x) |
|
= R |
( x) + |
Fk (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
P ( x) , |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
P ( x) |
m −n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||
где Rm −n ( x) − многочлен степени m − n , а Fk ( x) |
− многочлен степени меньше п. |
||||||||||||||||
Пример 2. Выделить целую часть неправильной рациональной дроби |
|
||||||||||||||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Выполним деление многочленов |
x5 |
|
+2x3 |
|
|
|
+3 | x4−x3−x +1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x5 −x4 |
−x2 + x |
|
|
| x +1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x4 +2x3+ x2 − x + 3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x4 − x3 |
− x + 1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3x3 + x 2 |
+ 2 |
|
|
|
||||||
Таким образом, дробь можно представить в виде
|
|
|
|
2 3 |
3 2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 2. Рациональные дроби вида |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
A |
|
|
A |
, k >1 ; |
|
Ax + B |
; |
|
|
|
A x + B |
||
1. x − a ; |
2. |
(x − a)k |
3. x 2 + px + q |
4. |
( x 2 |
+ px + q ) k |
||||||||
|
|
|||||||||||||
называются простейшими дробями.
Интегралы от дробей 1-2 являются табличными. Интеграл от дроби 3 был уже
рассмотрен в прошлой лекции. Интеграл от последней дроби путём замены t = x + p
2
приводится к известному интегралу и |
интегралу вида I k |
= ∫ |
dt |
|
, |
|||||||||||||||||||
(t 2 + a 2 )k |
||||||||||||||||||||||||
Для вычисления которого с помощью формулы интегрирования по частям |
|
можно |
||||||||||||||||||||||
получить рекуррентную формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
I k |
= |
|
2k − 3 |
|
I k −1 + |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2a 2 (k − 1) |
|
2a 2 (k − 1)(t 2 |
+ a 2 )k −1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
Например, |
если |
|
k = 2 , то имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫ |
dt |
1 |
|
∫ |
dt |
|
t |
1 |
|
|
t |
|
|
t |
|
|
||||||||
|
= |
|
|
|
+ |
|
= |
|
arctg |
|
+ |
|
|
+ C . |
||||||||||
(t 2 + a2 )2 |
2a2 |
|
t 2 + a2 |
2a2 (t 2 + a2 ) |
2a3 |
a |
2a2 (t 2 + a2 ) |
|||||||||||||||||
Таким образом, нахождение интегралов от простейших дробей не представляет принципиальных трудностей.
В алгебре доказывается следующая Теорема. Если в правильной рациональной дроби знаменатель можно
представить разложением (1), то её можно разложить на сумму простейших дробей.
При этом множителям знаменателя в разложении (1) видов: 1) , 2) , 3)
соответствуют в сумме разложения на простейшие дроби следующие дроби:
1) |
|
|
2) |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||
|
|
|
3)! " .
#$
Сиспользованием этой теоремы преобразуется подынтегральная рациональная функция и нахождение интеграла приводится к интегрированию простейших дробей. Например,
%& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! " |
|
; |
|
|
|
||||
#$ |
|
|
|
|
#$ |
|
|
|
|||||||||||
%& |
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
" |
|
|
; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
' |
|
' |
' |
|
|||||||||||||||
%& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
" |
, |
где ) * 2. |
||
' ( |
|
|
|
' |
( |
||||||||||||||
Коэффициенты в числителях этих дробей находятся методом неопределённых коэффициентов.
Пример 3. Для выражения, полученного в примере 2, имеем
2 3 |
1 |
3 2 |
1 |
1 |
Разложим полученную правильную рациональную дробь на простейшие
3x3 + x2 + 2 |
|
3x3 + x2 + 2 |
A |
|
B |
|
Cx + D |
|
|||
|
|
= |
(x −1)2 (x2 + x +1)= |
|
|
+ |
|
+ |
|
|
= |
x4 − x3 − x +1 |
x −1 |
(x −1)2 |
x2 + x +1 |
||||||||
=A(x −1)(x2 + x +1()+ B)(x(2 + x +1)+) (Cx + D)(x −1)2
x−1 2 x2 + x +1
Коэффициенты A, B, C, циентов. Приравняем числитель равенства
D определяются методом неопределённых коэффи- правильной дроби в левой части и в правой части
3x3 + x2 + 2 = A(x −1)(x2 + x +1)+ B(x2 + x +1)+ (Cx + D)(x −1)2
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему линейных уравнений
x3 x2 x1 x0
A + C = 3
B − 2C + D =1B + C − 2D = 0
− A + B + D = 2
Решая систему, получаем + |
|
, - 2, |
. |
|
, |
/ |
|
. |
Значит, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
5 |
|
|||
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
. |
||||
1 |
1 |
1 |
1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Интегрирование рациональных дробей
На основании рассмотренной выше теоремы преобразуется подынтегральная рациональная функция, и нахождение интеграла сводится к интегрированию простейших дробей. Коэффициенты в числителях этих дробей вычисляются методом неопределённых коэффициентов.
Пример 4. Найти интеграл ∫ |
3x5 |
− 7 x4 − x3 + 7 x2 − 3x + 4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
3 |
− 3x |
2 |
+ |
|
||
|
|
x |
|
2 x |
|||
Поскольку подынтегральное выражение является неправильной рациональной дробью, то, выполнив деление многочленов
|
|
|
3x5 − 7 x 4 − x3 + 7 x 2 − 3x + 4 | x3 − 3x 2 + 2 x |
||||||||||||||||
|
|
3x5 − 9 x4 + 6 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
| 3 x 2 + 2 x − 1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x4− 7x3 + 7x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2x4− 6x3 + 4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
− 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
−x3 + 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
−x3 +3x2 − 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
− x |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x5− 7x4− x3+ 7x2− 3x + 4 |
|
|
|
|
|
−x + 4 |
|
|
|
||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
dx = |
3x2 |
+ |
2x −1+ |
|
|
|
|
|
dx |
||||||
3 |
2 |
|
|
3 |
2 |
+ |
|
|
|||||||||||
x |
− 3x |
+ 2x |
∫ |
|
|
|
x |
− 3x |
2x |
||||||||||
Преобразуем полученную правильную рациональную дробь, представив её как сумму простейших дробей
−x + 4 |
|
= |
−x + 4 |
= |
A |
+ |
B |
+ |
C |
. |
x3− 3x2+ |
|
x(x −1)(x − 2) |
|
|
|
|||||
2x |
|
x |
x −1 |
x − 2 |
||||||
Определим коэффициенты A, B, C. Для этого приведём дроби в правой части равенства к общему знаменателя и приравняем числители дробей в правой и левой частях полученного равенства
− x + 4 = A( x − 1)( x − 2) + B x ( x − 2) + C x ( x − 1) .
Можно, как в предыдущем примере, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х (метод неопределённых коэффициентов), получить систему линейных уравнений. Но поскольку здесь все множители в правой части равенства линейные, то проще получить искомые значения коэффициентов A, давая переменной х такие значения, чтобы один из множителей равнялся
x = 0 |
2 A = 4 |
|
A = 2 ; |
x = 1 − B = 3 |
|
B = −3; |
|
x = 2 |
2C = 2 |
C = 1. |
|
Таким образом, наш интеграл приводится к нахождению шести табличных интегралов
∫ |
3x5 − 7 x4 − x3 + 7 x2 − 3x + 4 |
|
∫ |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
3 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
dx = |
|
3x |
|
+ 2 x − 1 |
+ |
|
− |
|
+ |
|
dx = |
||
3 |
− 3x |
2 |
+ 2 x |
|
x |
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 1 x − 2 |
|
|||||||
= ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 xd x − ∫ d x + ∫ 2x d x − ∫ x 3− 1 d x + ∫ x −1 2 d x =
= x3 + x2 − x + 2 ln | x | −3ln | x −1| + ln x − 2 + C .