Lecture_8
.pdf
ЛЕКЦИЯ 8. Временная и пространственная когерентность.
Влияние немонохроматичности света. Временная когерентность.
|
Рассмотрим точечный немонохр. источник света. S1 и S2 являются его |
||||||||
|
изображениями, лучи от которых интерферируют на экране. Очевидно, что |
||||||||
|
при переходе от м/х волн к не м/х волнам контрастность |
||||||||
|
интерференционной картины должна ухудшаться. С этим связано понятие |
||||||||
|
временной когерентности. |
|
|||||||
|
|
|
Рассмотрим сначала случай, когда излучение источников S1 и S2 |
||||||
состоит из двух длин волн |
|
и |
|
. Пусть в точке О находится светлая полоса нулевого |
|||||
|
|||||||||
порядка. В этом случае разность хода r 0 |
и для волн с длиной волны |
, и для волн с длиной |
|||||||
волны . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим результат интерференции волн от источников S1 и S2 в точке A. Пусть |
|||||||||
|
N порядок интерференции. То есть для волн с длиной волны |
|
|||||||
rA N , |
выполняется условие |
||||||||
максимума (светлая полоса). Если |
rA (2N 1) |
|
, то для волн с длиной волны в точке А будет |
||||||
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
темная полоса. Интерференционная картина в точке А исчезнет, так как светлая полоса одной интерференционной картины накладывается на темную полосу другой картины.
Условие первого исчезновения полос: |
|
|
или |
|
|||
N N |
2 |
||
|
|
|
N |
|
|
. |
|
2 |
|
|||
|
|
|
||
Для порядка 2N интерференционная картина снова станет четкой. |
|
|||
Пусть теперь |
излучение заполняет спектральный интервал |
, |
||
.
(8.1)
Разобьем попарно на
источники с разностью в длинах волн
2
. К каждой паре полученных бесконечно узких
спектральных линий применим формулу (8.1). Получим условие первого исчезновения полос:
N |
|
. |
(8.2) |
|
|||
|
|
|
|
Хорошая видимость практически при m < N.
Рассмотрим понятие временной когерентности из других соображений.
|
|
|
|
|
|
|
|
Волновой цуг, или «оборванная синусоида», может быть |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
представлен суперпозицией бесконечного множества синусоид, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
частоты которых непрерывно заполняют бесконечный |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
интервал (см. теорема Фурье, разложение Фурье в |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствующем разделе математики). Однако при этом весь |
|||
спектр частот практически сосредоточен в пределах интервала шириной |
|
(на остальных |
|||||||||
участках спектра амплитуды малы), который удовлетворяет условию |
|
|
|||||||||
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
(8.3) |
||
ког |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Соотношение (8.3) между |
шириной спектра и временем когерентности |
τког |
имеет общий |
||||||||
характер и является очень важным. |
|
|
|||||||||
|
|
Оценим с помощью формулы (8.2) максимальный порядок интерференционный полосы, |
|||||||||
которая еще может наблюдаться, и при этом используем соотношение (8.3): |
|
|
|||||||||
N |
|
|
|
|
ког |
c ког |
|
Lког |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
L |
|
r |
|
N |
max |
|
ког |
|
max |
|
|
|
|||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
- это и означает, что допустимая разность хода не должна превышать
длину когерентности Lког.
Термин «временная когерентность» связан с конечностью длины волнового цуга, то есть с
наличием времени когерентности τког. Когда τког → ∞, то → 0, и волна становится монохроматической.
Влияние размеров источника света.Пространственная когерентность.
Чем больше размер источника света, тем хуже ИК. Другими словами, когда источник протяженный, то может возникать нарушение когерентности, с чем связано введение такого понятия, как пространственная когерентность. Отдельные участки протяженного (хотя и малых размеров) источника излучают волны, которые никак не связаны друг с другом. Поэтому ИК, полученную на экране, можно рассматривать как результат наложения ИК-н, полученных от отдельных точечных излучателей протяженного источника. Если максимумы (минимумы), получаемые от отдельных точечных излучателей, образуются в очень близких точках экрана (почти совпадают), то ИК будет достаточно отчетливой (хорошая контрастность). Если же максимумы от одних источников, накладываются на минимумы от других, то картина исчезнет.
Пусть источник состоит из двух некогерентных точечных источников A и B. Если расстояние l между источниками достаточно мало, то для разности разностей хода лучей из точек A и B:
r |
|
r |
|
|
A |
A |
|
ACP AP BDP BP |
|||
( ACP BDP) ( AP BP) |
|||
l cos |
2 |
l cos . |
|
|
|
1 |
|
Получаем
l |
|
cos |
cos |
2 |
|
||||
|
|
1 |
|
Эта величина определяет результат наложения интерференционной картины от точки A на картину от точки B.
Если = 0 или мала по сравнению с , то интерференционная картина наиболее контрастна. При возрастании контрастность ухудшается, и при = /2 интерференционная картина
исчезает.
При дальнейшем возрастании полосы интерференции появляются снова. Интерференционная картина периодически повторяется от наибольшей контрастности до полного исчезновения.
l cos |
cos |
2 |
m |
|
лучшая контрастность. |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
равномерная освещенность экрана. |
||
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.4)
(8.5)
Условие хорошей контрастности интерференционных полос для источника, состоящего из двух некогерентно излучающих точек:
m , |
1 |
. |
(8.6) |
|
4 |
|
|
Условие хорошей контрастности интерференционных полос для протяженного источника в виде линии длины b, все точки которого излучают некогерентно:
b cos 1 cos 2 |
2 |
(8.7) |
Рассмотрим следующий частный случай:
интерферирующие лучи выходят из какой-либо точки протяженного источника AB симметрично относительно перпендикуляра к линии AB, проведенному из этой точки. В этом случае
2 1 . |
|
|
|
cos 1 cos( 1) 2 cos 1 |
|
||
2 cos |
|
2sin |
. |
|
|||
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
На основе условия (8.7) получаем |
b sin |
|
|
. |
(8.8) |
|
2 |
|
4 |
|
Условие хорошей контрастности (8.8) верно только для рассмотренного частного случая! Задание одной апертуры интерференции недостаточно для записи условия хорошей контрастности в общем виде.
Два источника, размеры и взаимное расположение которых позволяют получить ИК (при необходимой степени монохроматичности света), называются пространственно когерентными. Если ИК получить нельзя (даже если свет является монохроматическим), то источники называются
пространственно некогерентными.
Для характеристики контрастности интерференционных полос вводится функция видности
(видимости) V:
V |
I |
max |
I |
min |
. |
(8.9) |
|
|
|||||
I |
|
I |
|
|||
|
max |
min |
|
|
||
|
|
|
|
|
Здесь Imax и Imin – максимальная и минимальная интенсивности ИК. Очевидно, что видность при интерференции двух плоских или сферических м/х волн одинаковой интенсивности равна 1.
На первом рисунке изображена функция видности для источника света, состоящего из двух некогерентных точечных источников A и B.
При перемещении по экрану изменения разностей фаз 1 и 2 происходят быстро и определяют ширину интерференционных полос. Напротив, разность разности фаз k (k – волновое число) изменяется медленно, оставаясь практически постоянной на протяжении многих интерференционных полос.
На втором рисунке представлена кривая видности для протяженного источника света в виде прямолинейного отрезка, все точки которого излучают некогерентно. С увеличением длины источника, а следовательно, и с увеличением , максимумы на кривой видности быстро уменьшаются. Такой вид имеет функция видности интерференционной картины в опыте с бипризмой Френеля.