ЭАиТЧ_ПР5_Числовые сравнения и их свойства

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего образования

“Юго–Западный государственный университет”

Кафедра информационной безопасности

Лабораторная работа № 5

По дисциплине “Элементы алгебры и теории чисел”

По теме “Числовые сравнения и их свойства”

Выполнил: студент группы ИБ-11б

Гребенникова А.И.

Проверил проф. Добрица В.П.

Курск 2023г.

Цель работы: изучить понятие сравнения по числовому модулю, свойства числовых сравнений, познакомиться с приложениями числовых сравнений.

Ход работы:

Вариант 5.

Задание 1. Является ли верным данное утверждение 31 = -9(mod10)?

Решение:

Рассмотрим разность 31-(-9) = 40, она делится 10. Следовательно, сравнение верное.

31 = 3*10+1;

-9 = (-1)*10+1

Т.е. остатки от деления на 10 равны, что подтверждает верность сравнения.

Задание 2. Найти две последние цифры числа аⁿ = 4²⁰.

Решение:

Найти две последние цифры числа это значит надо сравнить это число с наименьшим неотрицательным вычетом по модулю 100.

4²⁰ = r(mod100)

На основании свойств сравнений проведем преобразование данного сравнения.

4²⁰ = (4⁵)⁴ = r(mod100)

, значит ;

, значит ;

, значит ;

Таким образом, две последние цифры числа 4²⁰ представляют собой число 76.

Задание 3. Найти остаток от деления числа аⁿ на m

аⁿ = 293²⁷⁵; m = 48

Решение:

293 = 288+5, т.е. 293 5(mod48), а потому

(Дайте пояснения. А понижать степень не пробовали?)

(По Вашему 25 сравнимо с 7 по модулю 48?)

(А куда делся множитель 5?) (А 49 не сравнимо с 1?) Сравнимо:

Таким образом, остаток от деления числа 293²⁷⁵ на 48 равен 25.

Задание 4. Найти остаток от деления суммы a+b+c на число m:

a = 12¹²³¹; b = 14⁴³²⁴; c = 7⁸⁰; m = 13

Решение:

Сначала вычислим остатки от деления на 13 каждого слагаемого из данной суммы.

(Это как получено?) (А если учесть, что 12 Да, возможно проще, не пришло в голову сразу, поэтому решила иным способом.

(Вы уверены?)

(Почему появилось равенство?) Вероятно, опечатка по невнимательности

Отсюда

Задание 5. Выведите признаки делимости на m=15.

Решение:

15 = 3*5. Следовательно, чтобы число делилась на 15, оно должно делиться на 3 и на 5. (Какое должно выполняться условие для сомножителей, что бы делимость на произведение была эквивалентна делимости на сомножители?) Ответ: Сомножители должны быть положительным числом, не равным 1.

(Например 6 и 4?) Не понимаю, причём в данном примере 6 и 4. Ведь 15 = 3*5, сомножители 3 и 5 есть положительные числа, не равные 1.

Выведем признак делимости на 3.

Заметим, что каждое число можно представить в виде суммы . Кроме того, заметим, что и значит . Отсюда имеем:

.

Из этой формулы и получаем, что число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Выведем признак делимости на 5.

Заметим, что каждое число можно представить в виде суммы . Кроме того, заметим, что , а значит , отсюда и . Чтобы однозначное число а₀ делилось на 5(Это к чему относится?),(описалась, вместо 5 по ошибке написала 2) оно должно принимать значения 0 и 5. Получаем, что для того, чтобы число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.

Получаем, что признаки деления числа на 15 содержат признаки деления на 3 и на 5, т.е. число делится на 15 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3, а его десятичная запись оканчивается цифрой 0 или 5.

Вывод: в ходе работы мы изучили понятие сравнения по числовому модулю, свойства числовых сравнений, познакомились с приложениями числовых сравнений.