Konspekt_Tv_2020_ch_4
.pdf
( |
) |
|
|||||
( ) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(3.7) |
||
|
|
|
|
||||
√ |
|||||||
|
|
|
|||||
Наиболее часто встречается во всех областях науки и техники, экономики и финансов, медицине и демографии. Например, величина помехи в радиоканале, ошибки в любых измерениях, коэффициент интеллектуальности (IQ), рост человека, изменение напряжения в сети, колебания курса акций, температура тела, возраст въезжающих в страну эмигрантов имеют нормальное распределение (разумеется, в каждом случае значения параметров меняются). Важность этого закона следует из Центральной предельной теоремы (будет через несколько лекций).
Параметры:
Неприятной неожиданностью является тот факт, что функция
распределения такой с. в. |
|
( |
) |
аналитически явно не |
||||
( |
) |
√ ∫ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
выражается. Поэтому для практического использования нормального распределения приходится прибегать к таблицам или специальным вычислительным процедурам для нахождения значений функции ( ). При этом нет необходимости составлять таблицы для каждой пары параметров
( ), а достаточно обойтись таблицами для m = 0 и = 1 (соответствующее распределение ещѐ называют стандартным нормальным распределением).
Плотность распределения этого закона ( ) |
обозначается, как |
( ). |
||||
Функция распределения этого закона имеет вид |
( ) |
√ ∫ |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Покажем как функцию распределения нормального закона выразить через табулированную функцию Лапласа. Для этого выведем формулу для
вероятности попадания в интервал С.В. |
с распределением ( |
) |
|||||||
( |
) ∫ ( ) |
( |
) |
|
|
||||
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
√ |
|
|
|
|||
(сделаем замену
)
= |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
√ |
|
√ |
|
|
|
√ |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
( |
|
) |
|||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
(в последнем интеграле мы поменяли местами пределы интегрирования, изменив знак перед интегралом).
ВАЖНАЯ ФОРМУЛА. Вероятность попадания в интервал для нормально распределѐнной С.В.:
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
( |
|
) |
|
|
(3.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Где |
( |
) |
|
√ ∫ |
|
|
|
|
|
- функция Лапласа. |
(3.9) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
||
(Напомним, что функция Лапласа – нечетная и при |
|||||||||||||||||||||
)
Следствия из формулы (3.8):
1. Функция распределения равна
( ) |
( |
) |
( ) |
( |
) |
|
|
( |
|
) (было |
|||||||||||||||
|
использовано. что ( |
) |
( |
) |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
|
Формула вероятности попадания в интервал, симметричный |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
относительно математического ожидания. |
(| |
|
|
|
| |
|
|
) |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
( |
|
|
) |
|
( |
|
|
) |
|
( |
|
|
|
) |
|
|
( |
|
|
) |
(3.10) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(было использовано свойство нечетности функции Лапласа).
3. |
«Правило» трѐх сигм. При |
|
из |
предыдущей формулы |
|
||||
|
получим (| |
| |
) |
( |
|
) |
( )= 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
Т.е. с вероятностью близкой к 1 почти все значения нормального |
|
||||||||
закона |
( |
) принимают значения в интервале с радиусом |
и |
||||||
центром в точке |
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдем математическое ожидание случайной величины |
, имеющей |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
нормальное распределение |
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(сделаем замену |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
||||||||||
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∫ ( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
√ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
√ |
|
|
|
|
||||||||||
Первый интеграл |
равен 0 |
как интеграл от |
нечетной |
функции в |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
симметричных пределах, а ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Найдем дисперсию для случайной величины |
, имеющей нормальное |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
распределение |
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В данном случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫ ( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
После замены переменной |
|
|
|
|
|
|
|
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∫
√
Последний интеграл вычисляется интегрированием по частям:
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
( |
|
∫ |
|
|
) |
|
|
( √ ) |
. |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
√ |
|
||||||||||||||
√ |
|
|||||||||||||||||
Таким образом, в обозначении ( ) первый параметр равен математическому ожиданию, а второй параметр как раз равен дисперсии с.в.
Графики плотностей перечисленных распределений при различных значениях параметров представлены на рис 2.4.2. 2.4.3.
Распределение Лапласа |
Нормальное распределение |
√ ,
√
Рисунок.3.5 .Плотности важнейших непрерывных распределений вероятности
Рисунок3.6. Графики плотности стандартного нормального распределения (а)
иего функции распределения (б).
Втаблице 1 приведены числовые характеристики некоторых важных распределений
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|||
|
Математические ожидания и дисперсии некоторых распределений |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Распределение |
|
Параметры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вырожденное |
|
a |
|
|
a |
|
|
|
0 |
|
|
|
||
Биноминальное |
|
( ) |
|
np |
np( |
) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пуассона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрическое |
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Равномерное |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Экспоненциальное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Лапласа |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Нормальное |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Хи-квадрат |
|
|
|
|
n |
|
|
|
2n |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стьюдента |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фишера- |
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
Снедекора |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
( |
) ( |
) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|