Konspekt_TV_2020_ch_1
.pdf
1
|
2 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
3
p1
p4
0.2
Рисунок.1.2.в
, p2 p3 p5 0.1.
Определение. Надежностью работы устройства за время Т называется |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
вероятность безотказной работы за это время |
. |
|
|
|
|
|
Безотказная работа и выход из строя – события противоположные. |
|
|||||
Решение. Пусть событие |
состоит в отказе элемента |
с |
номером |
за |
||
рассматриваемый промежуток времени. Тогда |
, |
Событие |
B |
|||
соответствует обрыву соединения за то же время. |
|
|
|
|
||
1.10.а. Для соединения на рисунок 1.2.а обрыв соответствует тому, что
будут оборваны все ветви, поэтому |
. В силу |
независимости отказов отдельных элементов |
|
. |
|
Замечание. Все вероятности в предыдущей формуле меньше 1, поэтому вероятность обрыва соединения при параллельном соединении (это называется горячим резервированием) меньше, чем самая маленькая вероятность (самый надежный элемент). Поэтому надежность при горячем резервировании больше, чем надежность самого лучшего (надежного) элемента.
1.10.б Для соединения на рисунке 1.2.б обрыв происходит, если откажет хотя бы один элемент, поэтому B A1 A2 ... An .
Рекомендация. Вычисление вероятности суммы трѐх и более
совместных событий всегда рациональнее вычислять переходом к
противоположному событию.
В данной задаче противоположное событие это - прохождению сигнала
через все элементы схемы |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
A1 A2 ... Ak |
|
|
|
|
получаем |
|||||||||
|
|
B |
|
|
|
|
||||||||||||
P |
|
P |
|
P |
|
... P |
|
P |
|
1 P Ai |
||||||||
|
|
A1 |
A2 |
Ak |
Ai |
|||||||||||||
B |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
Замечание. |
|
Здесь |
̅ ) надежность i-го блока, поэтому надежность всего |
||||
устройства |
̅̅̅̅ |
при последовательном соединении хуже (меньше), чем |
|||||
надежность самого ненадежного блока. |
|
|
|||||
Соответственно, |
P B 1 P B |
1 1 P Ai . |
|
||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
Перейдем к решению задачи со схемой рисунка 1.2.в. |
|
||||||
1.10.в. Обозначим событие, состоящее в отказе блока параллельно |
|||||||
соединенных элементов (все отказали) |
|
|
|
||||
Тогда |
|
|
. |
Переходим к противоположному событию |
|||
(сигнал проходит и через блок параллельных элементов и блоки 4 и 5). |
|||||||
̅ |
|
̅̅̅̅̅̅ |
̅̅̅ ̅̅̅ = |
̅̅̅̅̅̅ |
̅̅̅̅̅ |
̅̅̅ =0.998 |
|
тогда |
для |
вероятности |
обрыва |
соединения |
получаем |
||
P B 1 P B 0.28144 . |
|
|
|
|
|||
Пример 1.11. Пакет информации может поступить независимо от трѐх
источников с вероятностями 0.7, 0.8 и 0.9 соответственно. Найти
вероятность того, что пакет информации поступит: а) только от одного источника; б) хотя бы от одного источника.
Решение. а) Введем события Ai {пакет информации от i-го источника поступил}, i = 1, 2, 3. Тогда по условию P A1 0.7 , P A2 0.8 , P A3 0.9 .
Пусть В = { пакет информации поступил только от одного источника }, C = {пакет информации поступил хотя бы от одного источника }. Наступление события В означает, что реализовался один и только один из следующих сценариев: 1) пакет информации принят от первого источника, но не принят от второго и третьего (т.е. произведение этих трѐх событий); 2) пакет информации принят от второго источника, но не принят от первого и третьего; 3) пакет информации принят от третьего источника, но не принят от первого и второго. На языке алгебры событий (или первый сценарий, или второй, или третий – т.е. сумма событий) это означает, что
B A |
A |
A A |
A |
A A |
A |
A |
||
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
(обратите внимание, насколько эта запись короче словесного описания!),
причем отдельные слагаемые несовместны. Поэтому
P(B) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) .
Поскольку |
пакеты |
информации |
поступают |
независимо |
P A1 A2 A3 |
P A1 P A2 |
P A3 . Аналогично можно |
разложить |
|
произведение две другие вероятности. Окончательно получаем:
то,
в
P B P A P A |
|
|
1 |
2 |
|
Учитывая, что |
P |
|
имеем:
P A |
P A |
P A |
|
|||
|
|
3 |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
A |
|
1 P A |
|
|||
P A |
|
3 |
|
0.7 |
|
P A |
|
|
1 |
0.3 |
, |
P A |
P A |
|
2 |
3 |
|
P A2 0.2 ,
.
P A3 0.1,
P B 0.7 0.2 0.1 0.3 0.8 0.1 0.3 0.2 0.9 0.092 .
б) В обозначениях алгебры событий имеем: C A1 A2 A3 . В соответствии с
рекомендацией перейдѐм к событию C - не имело место ни одно из событий
A1 , A2 и A3 т.е. C A1 A2 A3 , поэтому (используя независимость событий)
P Тогда P
|
|
P |
1 |
C |
|
A |
|
C 1 P |
|||
A2 C
A3 P A1 P A2 P A3
0.994 .
0.3 0.2 0.1
0.006
.
Задача. Из букв разрезной азбуки составлено слово СТАТИСТИКА. Какова вероятность того, что перемешав буквы и укладывая их в ряд по одной наудачу опять получим слово: СТАТИСТИКА.
Задача 1.6. Два орудия стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания для первого 0,8; для второго 0,7. Найти вероятность попадания в цель: а) двух орудий, б) только одного из двух, в) хотя бы одного.