линал билеты Крупин В.Г / билет 3
.docxСмешанное произведение трёх векторов.
При последовательном умножении трёх векторов могут представляться 3 случая:
- двойное векторное произведение.
Обозначение:
- векторно-скалярное/ скалярно-векторное произведение.
Определение. Если два вектора умножают векторно , а полученный вектор скалярно умножают на вектор , тогда такое произведение будет векторно-скалярным (смешанным).
Смешанным произведением будем называть число.
Обозначение:
Пусть . Тогда . .
Геометрический смысл.
Теорема. Смешанное произведение трёх векторов равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах ( со знаком «+», если вектора образуют правую тройку, «-» - если левую).
Доказательство. . . .
Для любых векторов и числа имеют место следующие свойства:
;
: ;
Линейность:
Доказательство. 1) В случае некомпланарных векторов доказательство вытекает из следующих утверждений: объём ориентированного параллелепипеда равен смешанному произведению образующих его векторов Ʌ при круговой перестановке образующих ориентированный параллелепипед некомпланарных векторов его объём не изменяется, а при перестановке двух- меняется только знак объёма. Вариант компланарных векторов является тривиальным, так как все указанные смешанные произведения равны 0 ( из условия компланарности 3-ёх векторов).
2) Из определения смешанного произведения и свойств скалярного имеем:
Учитывая п.1 и доказанное равенство далее получаем:
3) Опять же по определению смешанного произведения и свойствам скалярного получаем:
Остальные два равенства доказываются аналогично.
Найдём смешанное произведение в координатной форме:
Учитывая знаки, имеем: