Лекция 2

плоскости xOz. Если при этом размеры сооружения и нагрузка не меняются вдоль Oy, то все сечения, перпендикулярные Oy, одинаковы. Следовательно, вырезав двумя плоскостями участок, скажем, единичной длины, можно вести расчет по плоской схеме. Этот вид НДС называется плоским деформированным состоянием, или плоской деформацией. Здесь деформирование может происходить только в плоскости xOz, поскольку любой деформации вдоль оси Oy будет препятствовать само сооружение, бесконечно простирающееся по обе стороны от выделенного участка единичной длины. В то же время напряжение y, очевидно, будет отлично от нуля, так как рассматриваемый участок взаимодействует с остальной частью сооружения, препятствующей расширению участка вдоль оси Oy.

Плоские схемы, безусловно, являются идеализацией реальных оснований и конструкций. Однако большое количество практических задач механики грунтов без сколько-нибудь значительных погрешностей решают в плоской постановке – основание ленточного фундамента, откосы и склоны, подпорные стенки, железнодорожные и автодорожные насыпи, тоннели, плотины и т.д.

Поскольку для задач механики грунтов могут иметь смысл только две из трех рассмотренных здесь схем – пространственная задача и плоская деформация, – то в дальнейшем для краткости плоскую деформацию иногда будем называть просто плоской задачей.

2.2. О математическом моделировании

Математическое моделирование и модели грунта. В конечном итоге решения механики грунтов направлены на определение величин напряжений и деформаций в грунтовом основании – без этого невозможно контролировать выполнение требований по прочности и деформируемости, предъявляемых к инженерным сооружениям. В зависимости от конкретной ситуации эта общая задача может дополняться и уточняться – например, часто требуется знать характер и величину изменения напряженно-деформированного состояния (НДС) во времени; в других случаях требуется оценить запас устойчивости грунтового массива и т.д. Для ответа на все эти вопросы необходимо иметь некоторую идеализированную математическую модель, которая удовлетворительно описывала бы механическое поведение грунта при силовых воздействиях.

Под математической моделью здесь понимается система уравнений, решение которой позволяет вычислить значения напряжений и деформаций в каждой точке расчетной области грунтового массива для заданного режима его работы (линейно-деформируемого, упруго-пластического и т.п.) и при заданных граничных условиях (насыпь на основании, нагрузка на откосе и т.д.). Понятие «модель грунта» трактуют более узко, понимая под этим термином только те уравнения, которые связывают напряжения и деформации в точке. Такие уравнения еще называют уравнениями состояния.

Сам процесс математического моделирования включает в себя три основных этапа:

анализ исследуемого явления и составление уравнений, отражающих наиболее значимые механические процессы, которые были зафиксированы при наблюдении или в эксперименте;

решение уравнений;

критический анализ результатов решения с точки зрения степени их соответствия наблюдениям или эксперименту.

Если полученные результаты не соответствуют контролируемым параметрам фактического напряженно-деформированного состояния (осадки, напряжения и т.д.), то необходимо заново проанализировать само явление, скорректировать исходные уравнения и повторить решение, после чего вновь проанализировать результаты. Эти действия повторяются до тех пор, пока результаты моделирования не станут совпадать с фактическими параметрами явления с требуемой точностью.

Общие гипотезы для статических задач механики грунтов. В соответ-

ствии с описанными только что общими принципами построения математических моделей, выделим те основные механические явления, которые характерны для большинства задач об НДС грунтовых оснований.

Во-первых, в большинстве практических ситуаций грунтовое основание под нагрузкой находится в состоянии статического равновесия, за исключением, разумеется, динамических задач.

Во-вторых, грунт остается сплошным после деформирования. Если мысленно разбить грунт на элементарные объемы, то, сдеформировавшись после нагружения, они будут плотно прилегать друг к другу, не образуя между собой щелей, пустот, и не «налезая» друг на друга. Эта гипотеза обычно называется гипотезой совместности деформаций.

В-третьих, механические свойства грунта (линейная деформируемость, пластичность и т.п.) описываются уравнениями, которые связывают между собой напряжения и деформации, т.е. уравнениями состояния.

Определившись с основными механическими процессами, требующими математической формализации, приступим к составлению соответствующих уравнений.

2.3. Статическая сторона задачи

Необходимость выполнения равновесия накладывает определенные ограничения на распределение напряжений в основании. В каждой отдельно взятой точке существует шесть независимых компонент напряжений. Совокупность таких напряжений по всем без исключения точкам основания образует поле напряжений. Однако не любое поле напряжений может обеспечить сохранение равновесия основания в целом или его отдельных областей. Это обстоятельство и накладывает ограничения на распределение напряжений в массиве.

Итак, равновесие будет обеспечено, если потребовать равенства нулю равнодействующей всех сил, действующих на каждый элементарный объем грунта.

Напряженное состояние элементарного объема грунта. Рассмотрим напряженное состояние бесконечно малого элемента грунта в условиях плоской деформации (рис. 2.2). Размеры выделенного малого объема грунта составляют dx и dz вдоль соответствующих осей. В направлении, перпендикулярном плоскости чертежа примем размер элемента, равным единице.

В силу малости размеров напряжения на противоположных гранях элемента будут отличаться на бесконечно малые величины. Если на ближних к координатным плоскостям гранях элемента действуют напряжения x, z, xz, zx, то на противоположных гранях они изменятся на величину своих частных дифференциалов по соответствующим осям:

ствующих функций, которые они получают вдоль координатных осей.

Важно подчеркнуть, что напряжения здесь рассматриваются как функции координат x и z. Так, если по грани ab действует напряжение, которое определяется величиной x(x, z), то по грани cd, которая отстоит от ab на расстоянии

dx, эта функция получит приращение по оси Ox, равное d x x x dx . То же с

x

остальными напряжениями.

Рис. 2.2. Расчетная схема к выводу уравнений равновесия

Кроме усилий, приложенных к граням элемента, учтем еще и объемные силы. Если обозначить проекции удельного веса грунта на координатные оси через X и Z соответственно, то проекции силы тяжести рассматриваемого элемента определятся как X dx dz 1 и Z dx dz 1.

Как известно из «Теоретической механики», для плоской системы сил существует три уравнения равновесия: равенство нулю проекций всех сил на две координатные оси и равенство нулю моментов всех сил относительно ка- кой-либо точки.

Для составления уравнений равновесия сил и моментов необходимо перейти от напряжений к силам, т.е. последовательно умножить напряжения, действующие по элементарным граням рассматриваемого элемента, на величины площадей соответствующих граней, равные dx 1 и dz 1.

Уравнение равновесия моментов. Составим уравнение моментов относительно точки C – центра выделенного объема.

По верхней грани момент создает касательная сила, равная xz (dx 1), плечо которой относительно моментной точки C равно dz/2. Принимая стандартное правило знаков (положительные моменты действуют против часовой стрелки), данный момент будет отрицательным.

По правой грани действует сила ( zx zx/ x dx) (dz 1), создающая положительный момент (против часовой стрелки относительно C) с плечом dx/2. Повторив те же рассуждения для остальных граней, запишем:

личины. Отбрасывая их, получим

xz zx .

Таким образом, уравнение моментов приводит к закону парности каса-

тельных напряжений.

Уравнения равновесия сил. Выполняя описанную только что процедуру для сбора сил по всем граням элемента, запишем уравнения сумм их проекций на координатные оси:

Напомним, что Xdxdz и Zdxdz представляют собой проекции собственного веса выделенного объема на координатные оси.

Раскроем скобки:

После приведения подобных слагаемых и сокращения на общий множитель dxdz получим искомые уравнения равновесия:

Уравнения (2.1) называются дифференциальными уравнениями равнове-

сия, или статическими уравнениями. Уравнения равновесия имеют фундаментальный характер для всех механических процессов при статическом режиме нагружения грунтовых массивов и должны выполняться в решении любой за-

дачи в статической постановке.

2.4. Геометрическая сторона задачи

Поскольку каждый элементарный объем грунта деформируется совместно с окружающим его массивом, то это накладывает соответствующие ограничения на деформации каждого элемента грунта. Другими словами, деформации элементарных объемов должны быть взаимоувязаны.

С этой целью установим связь между деформациями и перемещениями точек в основании. Поле перемещений в плоскости xOz зададим с помощью функций, которые станут определять смещения каждой точки вдоль соответствующей координатной оси: u(x, z) – вдоль оси Ox, w(x, z) – вдоль оси Oz.

Рассмотрим деформирование элементарного объема. Пусть малый параллелепипед с гранями, параллельными координатными плоскостям, получил деформацию, которая стала результатом, во-первых, его смещения как жесткого тела, а, во-вторых, изменения его формы и размеров, как показано на рис. 2.3.

Если горизонтальное перемещение точки A обозначить через u, то тогда горизонтальное перемещение точки B (отстоящей от точки A по оси Ox на бес-

конечно малом расстоянии dx) составит u ux dx , а горизонтальное перемеще-

ние точки C (отстоящей от точки A по оси Oz на бесконечно малом расстоянии

dz) составит u uz dz . Другими словами, функция u получит приращение по

оси Ox (при переходе от точки A к точке B) и приращение по оси Oz (при переходе от точки A к точке C). Аналогичным образом определим вертикальные перемещения: если вертикальное перемещение точки A равно w, то вертикальное

(см. рис. 2.3).

В результате изменения размеров элемента вдоль осей Ox и Oz составили

Относительная деформация сдвига xz по определению равна сумме углов1 и 2. Для большинства задач механики грунтов справедлива гипотеза малости деформаций, поэтому можно принять, что значения углов численно равны их тангенсам:

В знаменателе стоит сумма первоначального размера dx ребра AB и его абсолютной деформации (u/x)dx, которая в рамках гипотезы малости деформаций является пренебрежимо малой по сравнению с dx. Следовательно,

w

1 x dx w . dx x

Аналогично поступим с углом 2:

В результате относительная сдвиговая деформация равна

xz w u . x z

На принятой схеме показано растяжение элементарного объема грунта (см. рис. 2.3), в то время как в механике грунтов положительными считаются деформации сжатия. Следовательно, в полученных соотношениях требуется поменять знаки, и тогда их корректная запись будет иметь вид:

Эти уравнения называются геометрическими уравнениями, или уравнени-

ями Коши, а их содержание состоит в том, что они обеспечивают сохранение сплошности грунта после деформирования, или совместность деформаций.

2.5. Физическая сторона задачи

О физических уравнениях. Как было сказано выше, математическое моделирование включает постановку задачи в виде системы уравнений и решение этой системы с целью определить напряжения и деформации в любой точке основания. При этом дело придется иметь с системами дифференциальных уравнений. Напомним, что в отличие от алгебраических систем, где число уравнений должно равняться числу неизвестных, при решении систем дифференци-

альных уравнений число уравнений должно быть равно числу неизвестных функций. Посмотрим на уже полученные соотношения с этой точки зрения.

Статические уравнения, как было показано выше, должны выполняться для любых решений механики грунтов в статической постановке. Вместе с тем, очевидно, что одних только статических уравнений недостаточно. В плоской задаче мы имеем два уравнения (2.1), содержащие три неизвестные функцииx, z, xz. Следовательно, должны быть найдены дополнительные уравнения, чтобы сделать систему замкнутой. Введение геометрических уравнений (2.2) также не замыкает систему, поскольку в сумме получаем 5 уравнений (2.1) и

(2.2) с 8-ью неизвестными функциями – x(x, z), z(x, z), xz(x, z), x(x, z), z(x, z),

xz(x, z), u(x, z), w(x, z).

То, что уравнений, обеспечивающих равновесие, и уравнений, обеспечивающих совместность деформаций, недостаточно для получения решений об НДС грунтового основания, является вполне логичным с точки зрения реальной работы грунтов. Действительно, грунт в одних условиях может обнаруживать линейную зависимость между напряжениями и деформациями, в других – находиться в состоянии предельного напряженного состояния, в третьих – проявлять свойство ползучести. И во всех перечисленных случаях грунтовое основание может находиться в состоянии статического равновесия и сохранять сплошность при деформировании.

Следовательно, в дополнение к статическим и геометрическим уравнениям нужны уравнения, которые бы описывали конкретные механические свойства (линейная деформируемость, ползучесть, пластичность и т.д.), которые грунт проявляет в различных режимах деформирования. Такие уравнения назы-

вают физическими.

Физические уравнения обычно записывают в виде зависимостей между напряжениями и деформациями:

x D11 x D12 z D13 xz ;

где D11, D12, … D33 – коэффициенты, зависящие от механических характеристик грунта.

Система (2.3) может быть записана и в виде обратных зависимостей – напряжений от деформаций:

x D11 x D12 z D13 xz ;

z D21 x D22 z D23 xz ;

xz D31 x D32 z D33 xz .

Физические уравнения, напомним, также называют уравнениями состояния. Они формализуют принятую модель грунта (см. п. 1.3). Для линейнодеформируемой среды такими уравнениями служит закон Гука.

Закон Гука для условий плоской деформации. Запишем обобщенный за-

кон Гука (1.1)…(1.2) для условий плоской деформации, когда рабочей плоскостью является xOz. В этом случае три компоненты деформаций y, xy, yz равны нулю (см. рис. 2.1, в). При y 0 второе уравнение системы (1.1) даст:

Подставив y в первое уравнение (1.1), получим:

2.6. Постановка плоской задачи ТЛДС

Итак, теория линейно-деформируемой среды (ТЛДС) описывает работу грунта в первой фазе деформирования по Н.М. Герсеванову – фазе уплотнения.

Цель решений ТЛДС, следовательно, это – определение напряжений и деформаций в каждой точке основания, работающего в фазе уплотнения, от внешней нагрузки и от собственного веса.

Базовой моделью грунта в ТЛДС является линейно-деформируемая модель. Сформулируем основные гипотезы, принятые при построении решений в ТЛДС.

1.Основание находится в равновесии.

2.Гипотеза линейной деформируемости. В заданном диапазоне напряже-

ний поведение грунта подчиняется обобщенному закону Гука.

3.Гипотеза совместности деформаций. Грунт деформируется без воз-

никновения трещин, пустот и т.д.

4.Гипотеза малости деформаций. Перемещения точек грунта малы по сравнению с размерами сооружений.

Формализация исходных гипотез ТЛДС приводит к системе дифференциальных уравнений, справедливых для каждого бесконечно малого объема грунта в рассматриваемой области. Гипотеза 1 записывается в виде статических уравнений – уравнений равновесия (2.1). Гипотеза 2 выражается обобщенным законом Гука – физические уравнения (2.4). Гипотеза 3 с учетом гипотезы 4 приводит к геометрическим уравнениям – уравнениям Коши (2.2).

Вдекартовых координатах xOz, когда из объемных сил действует только

удельный вес , направленный вдоль вертикальной оси Oz вниз, уравнения плоской задачи ТЛДС имеют вид:

статические уравнения

Здесь, напомним, G – модуль сдвига, определяемый по формуле:

Уравнения (2.5)…(2.7) представляют собой исходную систему уравнений плоской статической задачи ТЛДС.

Таким образом, постановка плоской статической задачи ТЛДС включает

всебя статические уравнения, выражающие требование равновесия, геометрические уравнения, обеспечивающие совместность деформирования, и физические уравнения, описывающие линейную деформируемость грунтов – закон Гука.

Решение систем дифференциальных уравнений всегда сопряжено с интегрированием. В результате такого решения получают не конкретные числа, как

валгебраических уравнениях, а функции – в данном случае это x(x, z), z(x, z),

xz(x, z), x(x, z), z(x, z), xz(x, z), u(x, z), w(x, z).

При этом интеграл всегда содержит постоянные интегрирования, которые определяются граничными условиями. Граничные условия могут быть самыми различными в зависимости от расчетной схемы – насыпь, основание насыпи, основание фундамента, откос, подпорное сооружение и т.д.