ВОПРОСЫ и ЗАДАЧИ К ЭКЗ ПО ВМ 20-21 (1)
.pdf
11. Найти локальные экстремумы функции = 6 − 3 − 3.
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ВОПРОСЫ
1.Если ∫1−2(4 ( ) + 3 ( )) = 16, а ∫1−2 ( ) = 7, то ∫1−2 ( ) =?
2.Если ∫12 ( ) = 3, а ∫12 ( ) = 4, то ∫12 4 ( ) − ∫21 3 ( ) =?
3.Если ∫1−2(4 ( ) + 3 ( )) = 16, а ∫1−2 ( ) = 7, то ∫1−2 ( ) =?
4.Если ∫−31 ( ) = 3, а ∫−31 ( ) = 4, то ∫−31(3 ( ) − 4 ( )) =?
5.Если ∫12 4 ( ) = 3, а ∫12 3 ( ) = 4, то ∫12(3 ( ) − 4 ( )) =?
6.Если ∫12 ( ) = 3, а ∫12 ( ) = 4, то ∫12(4 ( ) − 3 ( )) =?
7.Если ∫12(4 ( ) − 3 ( )) = 16, а ∫12 ( ) = 4, то ∫12 ( ) =?
8.Если ∫15 ( ) = 3, а ∫53 ( ) = 1, то ∫13 ( ) =?
9.Если ∫−01 ( ) = 2, то 2 ∫0−1 ( ) + ∫−01 3 ( ) =?
10.Если ∫−21 ( ) = −3, ∫2−3 ( ) = 1, a ∫−53 ( ) = −3,то ∫5−1 ( ) =?
11.Если ∫−21 4 ( ) = −3, а ∫2−3 ( ) = 1, то ∫−−13 ( ) =?
12.Если ∫10 ( ) = 3, а ∫30 ( ) = 1, то ∫13 ( ) =?
13.Если −1 ≤ ( ) ≤ 3 при [0: 4], то ? ≤ ∫40 ( ) ≤?
14.Если −3 ≤ ( ) ≤ 2 при [−3: 2], то ? ≤ ∫−23 ( ) ≤?
15.Если −3 ≤ ( ) ≤ 1 при [0: 4], то ? ≤ ∫40 ( ) ≤?
16.Если −1 ≤ ( ) ≤ 3 при [0: 3], то ? ≤ ∫03 ( ) ≤?
17.Если 2 ≤ ( ) ≤ 3 при [3: 5], то ? ≤ ∫35 ( ) ≤?
18.Оцените интеграл: |∫12 4 3 | ≤?
19.Оцените интеграл: |∫−32 7 3 | ≤?
20. |
|
2 |
3 |
|
|
|||
|
|
|
||||||
Оцените интеграл снизу: ? ≤ ∫ |
√1 + 3 |
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
Если Ф( ) = ∫1 √ |
|
|
|
, то Ф′(0) =?? |
|||
21. |
2 + 9 |
|||||||
22. |
Если Ф( ) = ∫−1 − 2 , то Ф′(0) =? |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
23. |
Если Ф( ) = ∫0 |
|
|
, то Ф′( /2) =? |
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||
24.Если Ф( ) = ∫1
25.Если Ф( ) = ∫1 √ 2 + 9 , то Ф′(0) =?
26.Если = 3 + 2, = 4 , то =? , =?, то Ф′( /2) =?
27. Если = 3 − 2 , = 4 , то =? , =? 28. Если = 2 , = (3 + 4 ) , то =? , =?
29. Какой интеграл равен площади фигуры, ограниченной осью и графиком синусоиды на отрезке
[ , 2 ]?
30. Какой интеграл равен площади фигуры, ограниченной гиперболой = 1/ и прямыми = 2, = 1? 31. Какой интеграл равен площади фигуры, ограниченной осью и параболой = 3 + 2 − 2?
32. Какой интеграл равен площади фигуры, ограниченной осью и параболой = 2 − 9? 33. Составьте интегральную сумму для функции ( ) = 2 + 1, разбив отрезок [0,2] на четыре
частичных промежутка.
34. Составьте интегральную сумму для функции ( ) = 2 − 1, разбив отрезок [0,2] на четыре частичных промежутка
35.Составьте интегральную сумму для функции ( ) = , разбив отрезок [0,/2] на четыре частичных промежутка.
36.Составьте интегральную сумму для функции ( ) = , разбив отрезок [0,/2] на четыре частичных промежутка
37.Составьте интегральную сумму для функции ( ) = 2, разбив отрезок [0,2] на четыре частичных промежутка.
38.Составьте интегральную сумму для функции ( ) = 2, разбив отрезок [−4,0] на четыре частичных промежутка.
39.Вычислив интеграл ∫0 /2 , убедитесь, что теорема о среднем верна.
40.Вычислив интеграл ∫0 4 , убедитесь, что теорема о среднем верна.
41.Вычислив интеграл ∫0 , убедитесь, что теорема о среднем верна..
42.Вычислив интеграл ∫02(2 + 1) , убедитесь, что теорема о среднем верна.
43.Вычислив интеграл ∫−02(2 + 1) , убедитесь, что теорема о среднем верна.
44.Вычислив интеграл ∫03 2 , убедитесь, что теорема о среднем верна.
45.Вычислив интеграл ∫01 , убедитесь, что теорема о среднем верна.
46.Вычислите среднеe интегральное значение функции ( ) = 4 + 3 на отрезке [−2; 0].
47.Вычислите среднеe интегральное значение функции ( ) = 32на отрезке [0; 2].
48.Выполните замену переменной ln ≡ в интеграле ∫1 (3ln + 1)2.
49.Выполните замену переменной в в интеграле ∫49 −√ .
50.Чему равен интеграл ∫− 5 ?
51.Чему равен интеграл ∫−11 3 ?
52.∫−33 3 − 2 ∫03 3 =?
53.∫−22 3 + 2 ∫20 3 =?
54.∫02 ( + 2 2 + 3 3) =?
55.∫02 (3 + 2 2 + 3) =?
56.∫−11 2 − 2 ∫01 2 =?
ЗАДАЧИ
1. Вычислить интеграл ∫ |
|
2 |
. |
|
√ |
|
|
||
4−7 |
||||
2.Вычислить интеграл
3.Вычислить интеграл
|
/2 |
sin |
. |
4. |
∫0 |
|
|
3 cos +1 |
∫ 43sin(4 + 2) .
1 32 |
. |
∫0 1+ 2 |
5. Вычислить интеграл ∫0 /2 3 .
6. Вычислить интеграл ∫ cos .
0 sin +1
7.Вычислить интеграл ∫1
8.Вычислить интеграл ∫1 32
9.Вычислить интеграл ∫01( + 2) −1 .
10.Вычислить интеграл ∫01/2 2 −1 .
11.Вычислить интеграл∫0 /2(3 − 4 ) cos .
12.Вычислить интеграл ∫0− ( + ) cos2 .
13.Вычислить интеграл ∫0 ( − π)sin 2 .
14. |
Вычислить интеграл ∫2 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
4+√3 −2 |
|
|||||||||||||||||
15. |
Вычислить интеграл ∫5 |
(2 |
+3) |
|
|
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
√ −1 |
|
||||||||||||||||
16. |
Вычислить интеграл ∫8 |
(3 |
−2) |
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
√ +1 |
|
||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
17. |
Вычислить интеграл ∫1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
2√ |
|
|
(1+√ |
|
|
)3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
18. |
Вычислить интеграл ∫6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
√3 −2(5+√3 −2) |
|
|||||||||||||||||
19.Вычислить интеграл ∫5 .
1(1+√4 +5)√4 +5
20.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями = 3 + 1, = 2 − + 4
21.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями = 2( − 1), = 0.
22.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями = 2, = 2.
23.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями = 2 + 1, = 2+1.
24.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями = ( + 1)2, = 0.
25.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ линии = √ , /4 ≤ ≤ /2.
26.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ линии = √ , 0 ≤ ≤ /4.
27.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ линии = sin2 , /4 ≤ ≤ /2.
28.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ линии = cos3 , /6 ≤ ≤ /3.
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ВОПРОСЫ
1.Какая из функций 3 + , 3 , − 19 3 является первообразной для 13 3?
2.Какая из функций − ln|2 − | − , 2ln(2 − ) + , (ln(2 − ))2 является первообразной для
2−1 ?
3.Какая из функций ( + 2)1/2 − , 2√1+2 + , 23 √( + 2)3 является первообразной для √ + 2?
4.Если ∫ 32 ( ) = 3 + , то ( ) =?
5.Если ∫ ( ) = + , то ( ) =?
6.Если ∫ ( ) = 22−+13 + , то ( ) =?
7.Если ∫ ( ) = + , то ( ) =?
8.Если ∫ 32 ( ) = 3 + , то ( ) =?
9.Если ∫ ( ) = + , то ( ) =?
10.Если ∫ ( ) = + , то ( ) =?
11.Если ∫ ( ) = + , то ( ) =?
12.Если ∫ ( ) = + , то ( ) =?
13.Если ∫ ( ) = 22−+13 + , то ( ) =?
14.Если ∫ ( ) = 5 + , то ( ) =?
15.Подведите под дифференциал функцию 2.
16.∫ cos( ) =?
17.Если ∫ = ?
18.∫( )3 =?
19.Возьмите интеграл ∫ .
20.Если ∫ ( 3)32 =?
21.Полагая = sin 2 преобразовать интеграл ∫ (2 ) с помощью формулы интегрирования по частям.
22.Полагая = преобразовать интеграл ∫ sin( ⁄2) с помощью формулы интегрирования по частям.
23.Полагая = 3 преобразовать интеграл ∫ cos 3 с помощью формулы интегрирования по частям.
24.Полагая = cos преобразовать интеграл ∫ ( ) − с помощью формулы интегрирования по частям.
НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
Что можно утверждать о сходимости интеграла |
|
dx |
? |
||||||
x |
p |
|||||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
dx |
|
|||
2. |
Что можно утверждать о сходимости интеграла |
|
? |
|||||||
x |
p |
|||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Исследовать на сходимость |
|
dx |
|
|
|
|
|
||
x cos x |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
Исследовать на сходимость |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
5. |
Исследовать на сходимость |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
dx |
|||||
6. |
Какие из данных интегралов . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
Сходится ли интеграл ∫01 |
|
|
? |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
√ 3 |
|
|||||||||||||
8. |
Сходится ли интеграл ∫∞ |
|
|
|
|
|
? |
|||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
√2 |
|
|
|
|
|||||||
9. |
Сходится ли интеграл ∫0∞ |
|
|
? |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
√ 3 |
||||||||||||||
x |
3 |
|
x |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
x |
3 |
3x 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
dx |
|
|
|
1 x |
|
|
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
dx |
2 |
dx |
|||
; |
|
; |
|||||
|
3 |
3 |
x |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
x |
2 |
0 |
|
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
dx
|
2 |
dx |
||
; |
|
|||
x |
3 |
|||
|
|
|||
|
0 |
|
||
|
|
|
||
сходятся?
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ВОПРОСЫ
1.Расставить пределы в двойном интеграле по области : { ≥ ≥ 2 .
≥ −1
2.Чему равен двойной интеграл 2/3 , если круг единичного радиуса?
3.Чему равен интеграл ∫01 ∫02(3 ( ) + 4) , если ∫01 ∫02 ( ) = 1?
4.
В каком порядке надо интегрировать, чтобы двойной интеграл по области, изображенной на рисунке сводился к одному повторному интегралу?
5. В направлении какой оси область 
правильная?
6.
В каком порядке надо интегрировать, чтобы двойной интеграл по области, изображенной на рисунке сводился к одному повторному интегралу?
7.
В каких пределах изменяется полярный угол , если двойной интеграл вычисляется по области, изображенной на рисунке?
|
Перейти к полярным координатам в интеграле |
|
|
по области : { |
1 ≥ 2 + 2 |
|
|
||||
8. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
√2+ 2 |
|
≥ 0, ≥ 0 |
|
|
|||||
9. |
Перейти к полярным координатам в интеграле |
+ |
|
по области : { |
2 + 2 |
≤ 3 |
. |
||||
2+ 2 |
≥ ≥ 0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
10. Изменить порядок интегрирования, предварительно нарисовав область, по которой берется интеграл
1 x2
dx f (x, y)dy
0 x4
11. Чему равен двойной интеграл 2 3 dxdy , если D- круг единичного радиуса?
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 y |
|
|
|
||
12. |
Изменить порядок интегрирования |
dy |
f (x, y)dx |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
y2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
13. |
Двукратный интеграл |
f x, y dxdy по области D, ограниченной кривыми y x, y x2 имеет |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14. |
Расставить границы интегрирования в двойном интеграле |
|
f (x, y)dxdy |
где область D |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
ограничена линиями: x2 +y2 =9, x2+y2 = 25, x=0,y=0 (x ≤ 0, y ≥0) |
|
|||||||||||||
15. |
Изменить порядок интегрирования, нарисовав предварительно область, по которой берется интеграл |
||||||||||||||
|
1 |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
dy |
|
f (x, y)dx dy |
|
|
f (x, y)dx |
|
|
|
|||||
|
2 |
|
2 y |
|
|
1 |
|
y |
|
|
|
||||
16. Изменить порядок интегрирования, нарисовав предварительно область, по которой берется интеграл
3 |
2x |
dx |
f |
0 |
x |
|
3 |
(x,
y)dy
;
17. Изменить порядок интегрирования, нарисовав предварительно область, по которой берется интеграл
2 |
|
|
2 y |
|
|
dy |
|
|
f (x, y)dx |
6 |
|
y |
2 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
18. Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования по новым переменным в
1 |
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
2 |
|
|||
dx |
|
x |
dy |
||||
|
|
||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
19. В каком порядке надо интегрировать, чтобы двойной интеграл по области, изображенной на
рисунке, сводился к ОДНОМУ повторному интегралу?
20. В каких пределах изменяется полярный угол φ, если двойной интеграл вычисляется по области,
изображенной на рисунке?
21. Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования по новым переменным в
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 )dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
dx f ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
22. Интеграл |
3ydl |
где АВ: y |
|
2x, A 0;0 , B |
|
; 3 равен:1)7:2)8;3)3;4)6;5)5? |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
ÀÂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
23. Интеграл 15 x |
2 |
|
|
2 |
dx гдеАВ y |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
y |
|
|
2x, A 0;0 , B |
|
|
|
; 3 |
равен:1) 40: 2) -96; 3) -56; 4) 56; 5) -40? |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
ÀÂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
24. Будет ли криволинейный интеграл |
|
1 |
|
3y |
2 |
|
|
|
|
|
, взятый по замкнутому контуру l, равен |
||||||||||||||
( |
|
|
)dx 2 y |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
dy |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
нулю? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. Будет ли интеграл |
|
|
x |
|
dx |
2x y |
dy |
, взятый по замкнутому контуру l, равен нулю? |
|||||||||||||||||
|
(x y) |
2 |
(x y) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y)dx (x 2 y)dy , взятый по замкнутому контуру l? |
|||||||||||||||||
26. Будет ли равен нулю интеграл |
(2x |
||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27. Применив формулу |
Грина, |
|
записать |
интеграл |
|
2x( y |
1)dx x |
2 |
dy |
по контуру фигуры, |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
28.
ограниченной линиями y=x2 , y = 9, в виде
Применяя формулу Грина, вычислить: |
|
|
|
|
L |
двукратного. |
|
|
||
y |
2 |
dx (x y) |
2 |
dy |
|
|
|||
по контуру ▲ABC
с вершинами A(2,0),
|
B(2,2), C(0,2); |
|
|
|
|
|
|
29. |
Вычислить |
2xydx x |
2 |
dy |
, где ОА – отрезок прямой, соединяющей точки О(0,0) и А(2,1) |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
OA |
|
|
|
|
|
30. |
Вычислите криволинейный интеграл 1 рода |
xdl |
где L - отрезок прямой, соединяющий точки (0,0) и |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
(1,2)
31. Вычислите криволинейный интеграл 1 рода
ydl L
, L – дуга параболы y 2 = 2x от точки (0,0) до точки
(1, √2)
32. Вычислите криволинейный интеграл 2 рода:
ydx L
xdy
, где L-дуга кривой y = x3 от точки (0,0) до
точки (2,8);
ЗАДАЧИ
|
3 |
5 |
|
dy |
|
1. Вычислить |
1 |
2 |
|
|
|
x |
2 |
ydx |
|
2. Вычислить
4 |
2 |
1 |
|
|
|
dx |
|
dy |
|||
(x y) |
2 |
||||
3 |
1 |
|
|||
|
|
||||
|
|
|
|||
11
3.Вычислить dx (x2 y2)dy
00
4.Вычислить интеграл (2 + ) по области : { ≤ 1, 0 ≤ ≤ 2 .
5.Вычислить интеграл (2 + 3 2) по области : { ≤ 1, −2 ≤ ≤ 0.