Расчёт развёрток врезок конуса в цилиндр, шар, конус, тор
.doc31.03.2023г. Расчёт развёрток наклонного конуса (вариант II), врезок конуса в цилиндр, шар, конус, тор.
Дополнение к Формулам линий развёрток врезки штуцера в цилиндр, шар, конус, тор.
I. Конус-плоскость. Расчёт наклонного конуса. Rк=40мм; p=15; β=58,7. Вариант II.
В косоугольном треугольнике
по теореме синусов
;
;
;
;
;
-
полярный радиус – переменная образующая
конуса, являющаяся гипотенузой
прямоугольного треугольника с катетами
;
;
;
;полярный
угол
в полярных координатах
в декартовых координатах:
В косоугольном треугольнике
;
;
;
;
;
;
уравнение эллипса в параметрическом
виде:
-
0 - 360
Для нанесения проекций вид В введём
дополнительные параметры:
;
-1-
II. Конус-цилиндр. Rк=36мм;
ρ=9,8;
Rц=40мм; β=54,5;
z₀Д=-15мм;
;
;
В косоугольном треугольнике
по теореме синусов
;
;
;
;
;
- большая ось эллипса -
;
;
;
;
По заданным и рассчитанным данным чертим
вид Д эллипс (сечение по НдОк),
;
;
чтобы найти
нужно решить систему уравнений прямой
(Rкcosαi)Ок;
;
и эллипса
относительно
х.
-2-
;
;
уравнение второй степени, приведём его
к виду:
;
корнями этого уравнения будут величины
в точках пересечения прямой и эллипса.
;
;
;
;
задача: выразить все коэффиценты через
Важно!
;
(-)прямая является монотонно-убывающей
функцией, (+)монотонно-возрастающая. Вид
Д
;
по расположению на оси Y
при Х=0 (0;0)-центр эллипса (окружности;
параболы, гиперболы). Вид Д.
- смещение осей прибавляется к
;
соответственно расположению на оси Y
при Х=0 (0;0)-центр эллипса (окружности;
параболы, гиперболы). Вид Д.
;
при
;
;
;
;
;
;
-полуоси
эллипса (см. выше).
-
полярный радиус «для раструба» –
переменная образующая конуса, являющаяся
гипотенузой прямоугольного треугольника
с катетами
;
;
;
;
полярный угол
;
полярные:
декартовы:
-
полярный радиус «для прокола» –
переменная образующая конуса, являющаяся
гипотенузой прямоугольного треугольника
с катетами
;
;
;
;
полярный угол
;
Для нанесения проекций на вид А введём дополнительные параметры:
для «раструба»:
;
;
для «прокола»:
;
;
при этом следует учесть положение
проекций относительно центра системы
координат вида А и ввести соответствующие
поправки на смещение, поворот. Для
нанесения проекции на вид В найдём:
;
;
-3-
III. Конус-шар. Rк=40мм;
Rш=75мм; р=8˚ z₀=43мм;
;
;
;
;
- находим, решая систему квадратных
уравнений прямой НдОк
и круга
;
;
для вида А
уравнение второй степени, приведём его
к виду:
;
-4-
;корнями
этого уравнения будут величины
в точках пересечения прямой НдОк и круга
радиусом Rш.
;
;
- отрицательный, т.к. прямая НдОк –
является монотонно-убывающей функцией.
.
подставляем, находим
;
по заданным и рассчитанным параметрам
чертим вид Д (по сечению НдОк).
;
находим, решая систему квадратных
уравнений прямой RcosаiОк
и круга
;
;
для вида Д
уравнение второй степени, приведём его
к виду:
;
;корнями
этого уравнения будут величины
в точках пересечения прямой RcosаiОк
и круга радиусом Rд.
;
;
- кофф. положительный, т.к. прямая RcosаiОк
– является монотонно-возрастающей
функцией.
;
после подстановок находим полярный
радиус
;
полярный угол
;
в декартовых:
-5-
IV. Конус-конус. Задано:
конус1-врезка;
;
;
смещение осей
конус2-объект врезки;
;
;
;
В общем случае расчёт развёртки ведётся по трём совместным уравнениям прямой и кривым сечения конуса.
Для определения интервалов задаваемого
параметра, в которых находятся
соответствующие сечения, введём столбец
в Excel
;
эксцентриситет е<1
сечение – эллипс; е=1 – парабола; е>1
– гипербола.
-6-
Интервалы I, V;сечение
- эллипс
центральный угол конуса-врезки.
в косоугольном треугольнике
по
теореме синусов:
;
-7-
;
;
;
;
;
;
;
.
В треугольнике
-большая
ось эллипса: по теореме синусов;
;
;
;
;
;
По заданным и рассчитанным данным чертим
вид Д эллипс (сечение по
),
.
;
;
Для того чтобы найти
нужно решить систему уравнений прямой
;
уравнение прямой в общем виде:
;
и эллипса
относительно
х.
;
;
уравнение второй степени, приведём его
к виду:
;
корнями этого уравнения будут
в точках пересечения прямой и эллипса.
;
; ; ; задача: выразить все коэффиценты через
Важно!
;
если прямая является монотонно-убывавающей
функцией,
- монотонно-возрастающая.
; соответственно расположению на оси Y при Х=0 (0;0)-центр эллипса, параболы, гиперболы.
При смещении осей к коэффиценту прибавляется
;
при
;
;
;
;
при
;
;
;
;
;
-полуоси
эллипса (см. выше).
-8-
Интервалы I, IV;
сечение - парабола
;
;
и углы
;
рассчитыаются одинаково во всех
интервалах.
Каноническое уравнение параболы
;
здесь
- элементы параболы.
Задача - найти
;
для этого определим координаты т. Rп
;
;
По заданным и рассчитанным данным чертим
вид Дп парабола (сечение по
),
.
; Для того чтобы найти нужно решить систему уравнений прямой ;
уравнение прямой в общем виде: ; и параболы относительно х
;
;
уравнение второй степени, приведём его
к виду:
;
корнями этого уравнения будут величины
в точках пересечения прямой и параболы.
-9-
;
;
;
;
алгоритм расчёта
и
см. выше.
;
Интервал III;сечение -
гипербола
-задаваемый
параметр, центральный угол конуса.
;
;
;
и углы
;
рассчитыаются одинаково во всех
интервалах.
В треугольнике
-большая
ось гиперболы: по теореме синусов;
;
;
;
;
;
По заданным и рассчитанным данным чертим
вид Д гипербола (сечение по
),
.
-10-
;
;
Для того чтобы найти
нужно решить систему уравнений прямой
;
уравнение прямой в общем виде:
;
и гиперболы
относительно
х.
;
;
уравнение второй степени, приведём его
к виду:
;
корни уравнения величины
в точках пересечения прямой и гиперболы.
;
;
;
;
задача: выразить все коэффиценты через
;
найдены; алгоритм расчёта
и
см. выше.
-
полярный радиус – переменная образующая
конуса-врезки, являющаяся гипотенузой
прямоугольного треугольника с катетами:
;
полярный угол
;
полярные координаты : декартовы:
-11-
V.1. Конус-тор. Оси перпендикулярны.
- находим, решая систему квадратных
уравнений прямой НдОк
и окружности
;
;
уравнение второй степени, приведём его
к виду:
;
;
;
;
выразим все коффиценты через
; - отрицательный, т.к. прямая НдОк при =30˚– является монотонно-убывающей функцией.
.
;
корнями этого уравнения будут величины
в точках пересечения прямой НдОк и круга
радиусом Rтн.
подставляем, находим корни.
;
-12-
По заданным и рассчитанным параметрам чертим вид Д (по сечению НдОк).
Находим
;
;
Переходим к виду Г по сеч.NОт
ΔRкр
находим, решая систему квадратных
уравнений прямой hдОт
и окружности
;
;
уравнение второй степени, приведём его
к виду:
;
;
;
;
выразим все коффиценты через задаваемый
параметр
- центральный угол конуса.
;
- положительный, т.к. прямая hдОт
при
=30˚–
является монотонно-возрастающей
функцией.
.
;
корнями этого уравнения будут величины
в точках пересечения прямой hдОт
и круга радиусом Rтн.
(общая
формула решения квадратных уравнений)
подставляем, находим
.
Возвращаемся к виду А. Находим
(отрезок
НдY), решая систему
квадратных уравнений прямой НдОк
и окружности с переменным радиусом
;
;
;
- переменный радиус;