Добавил:

Silverokx Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Математика

Файл:

Лекции / дифф произв

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.03.2023

Размер:

296.06 Кб

Скачать

☆

Глава 3. Производная и дифференциал функции

§ 1. Определение производной и дифференцирование функции

Пусть	функция y = f (x) задана		в точке		x0 и некоторой ее
окрестности	O(x0 ). Рассмотрим переход из точки					M0 (x0 , y0 ) на
кривой в M (x, y) из O(x0 ).
Величина		x − x0 обозначается	символом		x	и	называется
приращением		аргумента в точке	x .	y − y = y			называется
			0		0
приращением функции в точке x0 .			Приращение функции можно
выразить по формуле y = f (x0 + x)− f (x0 ).
Если изменять положение точки M ,				то y = f (x0			+ x)− f (x0 )

будет функцией, которая зависит от переменной x .

Опр.: Если существует
функции	y = f (x

аргумента в точке

конечный предел		отношения	приращения
)	к бесконечно	малому	приращению
x0	из области определения функции, то он

называется

производной

функции

в этой

точке

обозначается символом

f (x0 ):

lim

= lim

f (x + x)− f (x

)

= f (x

)

x→0 x

x→0

Если найти предел

lim

не только в конкретной точке

x0 ,

x→0

f (x), где он

но и во всех точках из области определения функции y =

существует, то получим функцию от

x .

Обозначения производной,

если ее рассматривают как функцию: f

(x) y

yx f

Производная

функции

точке

показывает,

как быстро

изменяется функция в окрестности точки при бесконечно малом изменении аргумента.

Опр.: Операция	отыскания	производной		называется
дифференцированием функции.
1.1. Найдите производную функции		f (x)= sin x	по определению.

Аналогично можно получить формулы для отыскания производных основных элементарных функций и составить таблицу производных:

1)xx =1

2)(xn )x = n xn−1; n = const 0

3)()x = 2 1 xx

= −

(a x )x = a x ln a; a = const 0, a 1

(ex )x = ex

(log

;

a = const 0, a 1

x ln a

(ln x)

uv x

(

)

= cos x

sin x

10)

(cos x)

= −sin x

11)

(tgx)

cos

12)

(ctgx)

−

sin

13)

(arcsin x)

1 − x

14)

(arccos x)

= −

1− x

15)

(arctgx)

1+ x

16)

(arcctgx)

= −

1 + x

1.2. Продифференцируйте функции:

				3	x
							5	2
			y =			z =
а)	y = x	; а)			; б) u = lg t ; в)			y .
				7

Не все функции относятся к основным элементарным, поэтому
случае выполнения простых операций над функциями u = g(x)	и
= (x) используют следующие правила дифференцирования:

cx = 0, c = const

(с u)x = с ux

(u + v − w)x = ux + vx − wx (u v)x = ux v + u vx

= ux v − u vx v2

Теор.:Если задана сложная функция	y = g (x)		, причем каждая из

функций в композиции имеет производные:				u = (x)		в точке

x0 D( ), а y = g(u) в точке 0		= ( 0) ( ),			то сложная
функция y = g (x) имеет производную в точке					x0 , которая

вычисляется по формуле: yx (x0 )= yu (u0 ) ux (x0 ).

1.3. Найдите производные функций: а)

y = (

Производные гиперболических функций

(

)

− e

−x

17)

= chx;

shx =

shx x

−x

(

)

+ e

18)

= shx;

chx =

chx x

19)

(thx)

;

thx

shx

chx

20)

(cthx)

= −

;

cthx =

chx

shx

(

)

= chx

1.4. Докажите, что

shx

5)3

; б)

y =

x	2

12 + x

§ 2. Дифференцирование неэлементарных функций

I. Для кусочно заданной функции

f		(x),	x X
	1
		(x),	x X
f2
f (x)=	...,

		(x),
			x X
fn

1 2

; ;

дифференцируют аналитические выражения на отдельных промежутках и уточняют существование производных в точках стыка. Т.к. по определению производная в точке – это предел, то общий предел в точке стыка существует только при совпадении право- и левостороннего пределов в этой точке.

2.1. Продифференцируйте функции:

		x	2	,		x −4;
			2

а)	y = x ; б) f (x)= x + 3,				− 4 x 0;
а)	y = x ; б) f (x)= x + 3,					0 x 9;
		x + 2,				0 x 9;
		1
						x 9.

	x −1,
II. Для	параметрически		заданной				функции		x = g(t )
II. Для	параметрически		заданной				функции
									y = (t )
дифференцирования имеет вид						yx =	yt	.
дифференцирования имеет вид						yx =	xt	.
							xt
2.2. Найдите производную								= ,

		yx для функции { = .

формула

III. Производные	для степенно-показательных функций вида
y = (x) g (x )	ищут	методом	логарифмического

дифференцирования. Если прологарифмировать такую функцию и применить свойства логарифмов, то после этого дифференцирование упрощается. С другой стороны, производная

	(
сложной функции		)	x
	ln y

искомую производную

=1 y

yx .

	y = f (x), остается выразить
yx , т.к.

Аналогично можно поступать с

другими функциями, для которых логарифмирование существенно упрощает дифференцирование.

2.3. Продифференцируйте функции: а)								y =
б)	y =		1− x		(2 − x		7
		3		2		5	) .

Некоторые теоремы о производных

(sin x)	x

;

Теорема Если функция y = f (x) имеет производную в точке x0 D(f ), то она в этой точке непрерывна.

Обратное не всегда верно, то есть из непрерывности функции в точке еще не следует, что в этой точке существует производная.

Например, в

= 0

функция

y =

непрерывна, но производной в ней

нет (2.1.).

Теорема Если функции

y =

f (x)

и y = (x) обе бесконечно малые

или

бесконечно

большие

в точке

x = a

или на

бесконечности, то предел отношения функций равен

пределу отношения их производных в этой точке или на

бесконечности:

lim

(x)

lim

f (x)

(Правило Лопиталя).

(x)

(x) 0

x→a( )

x→a( ) (x)

−1

+ ln x

−1

2.4. Найдите а)

lim

; б)

lim

x→1

− e

x→ x

Соседние файлы в папке Лекции

#
04.03.2023152.32 Кб08 асимптоты.pdf
#
04.03.2023194.52 Кб08 проивз точк.pdf
#
04.03.2023152.32 Кб0asimptoti.pdf
#
04.03.20234.99 Mб0Matematika (3).pdf
#
04.03.2023126.92 Кб0qwestions.pdf
#
04.03.2023296.06 Кб0дифф произв.pdf
#
04.03.202348.4 Кб0производ табл.pdf
#
04.03.202344.56 Кб0табл интеграл.pdf
#
04.03.2023236.03 Кб0Функции.pdf