3.3. Одномерные задачи.

3.3.4.Частица в потенциальной яме

сконечными стенками.

3.3.3. Частица в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.

Рассмотрим микрочастицу, которая может совершать одномерное движение. Потенциальная энергия в этой области при x < 0 W = W1, при 0 < x <

L W = W2 а при x > L W = W3.

Пусть потенциальная энергия в области 1 равна нулю, а в областях 2 и 3 W2 и W3 соответственно.

3.3.3. Частица в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.

Классическая частица двигалась бы в поле с таким рельефом потенциальной энергии следующим образом. Равномерно с некоторой скоростью в области 1, затем, вблизи границы областей ускорилась, равномерно со скоростью, больше, чем в области 1, вблизи второй границы замедлилась, и, наконец, в области 3 – снова равномерно, со скоростью, большей, чем в области 1, но меньшей, чем в области 2.

Чтобы описать движение квантовой частицы, решение уравнения Шрёдингера найдём сначала в отдельных областях 1, 2 и 3, затем потребуем непрерывности волновой функции и её производной на границах областей, в точках x = 0 и x = L.

В областях 1, 2 и 3 потенциальная энергия постоянна, поэтому и решение уравнения Шрёдингера будет иметь похожий вид

3.3.3. Частица в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.

В области 1 потенциальная энергия частицы равна нулю.

Стационарное уравнение Шрёдингера для частицы в области 1 имеет вид:

3.3.3. Частица в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.

Уравнения Шрёдингера можно переписать так:

Решение в комплексной форме:

Его также можно рассматривать, как суперпозицию волны, налетающей из области отрицательных значений координат и волны, отражённой от второй границы потенциальной ямы.

В области 3 потенциальная энергия

И уравнение Шрёдингера в этой области имеет вид, аналогичный тому, что был в области 2.

3.3.3. Частица в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.

Уравнения Шрёдингера можно переписать так:

Решение в комплексной форме:

Ψ3( )= 1 exp(− 3 )+ 2 exp( 3 ),

Его также можно рассматривать, как суперпозицию двух волн. Но если исходная волна (и частица) налетает из «минус бесконечности», то из «плюс бесконечности» налетать частица не может. Отражаться там тоже не от чего. Поэтому амплитуду волны, движущейся из «плюс бесконечности» влево положим равной нулю, C2 = 0.

3.3.3. Частица в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.

Итак, решение уравнения Шрёдингера в трёх областях можно записать так:

Теперь нужно решить две задачи:

1)«сшить» решения и найти волновую функцию;

2)найти вероятность отражения частицы от ямы и вероятность прохождения.

Коэффициент отражения частицы определим следующим образом. Он равен вероятности того, что частица, отразившись от ямы, начнёт двигаться в сторону отрицательных координат.

3.3.3. Частица в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.

Переходим к «сшивке» решений.

Условия непрерывности волновой функции и её первой производной: