3. Стационарное уравнение Шрёдингера.

3.1. Оператор Гамильтона.

3.1. Оператор Гамильтона

Оператором Гамильтона называется оператор полной энергии системы.

Поэтому собственными значениями оператора Гамильтона будут значения энергии системы, а собственными функциями – волновые функции системы в состояниях с определённым значением полной энергии.

Именно эти собственные значения и собственные функции чаще всего и требуется определить в различных задачах квантовой механики.

Именно значения энергии электрона в атоме водорода и определял Бор.

Запишем уравнение, определяющее собственные значения и собственные функции оператора полной энергии (оператора Гамильтона).

здесь En - значения энергии системы, а Ψn(x) – волновые функции системы в состояниях с определённым значением полной энергии.

3. Стационарное уравнение Шрёдингера.

3.2. Стационарное уравнение Шрёдингера – уравнение, определяющее собственные значения и собственные функции оператора полной энергии системы.

3.2. Стационарное уравнение Шрёдингера.

Подставим выражение для оператора Гамильтона в уравнение:

Это уравнение и называется стационарным уравнением Шрёдингера.

Слово «стационарное» означает в данном случае, что рассматриваются только состояния, не меняющиеся с течением времени, стационарные состояния.

3. 2. Стационарное уравнение Шрёдингера

Оператором Гамильтона называется оператор полной энергии системы.

Полная энергия нерелятивистской системы есть сумма кинетической и потенциальной энергии.

В операторном виде

Вид оператора потенциальной энергии индивидуален для каждой задачи. Чаще всего (почти всегда) вычисление потенциальной энергии сводится к умножению на некоторую функцию.

Так, для электрона в атоме водорода оператор потенциальной энергии определяется как

Кот Шрёдингера

3.3.Одномерные задачи.

3.3.1.Свободная частица.

3.3.1. Свободная частица.

Рассмотрим движение свободной частицы, то есть частицы, на которую не действуют внешние силы. Запишем уравнение Шредингера.

На частицу не действуют внешние силы, следовательно её потенциальная энергия равна нулю (или константе). Оператор Гамильтона

Стационарное уравнение Шрёдингера в этом случае имеет вид:

Пусть частица движется вдоль оси OX, тогда в операторе кинетической энергии останется только вторая производная по координате x.

3.3.1. Свободная частица.

Уравнение Шредингера можно теперь переписать следующим образом:

Мы получили дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Это уравнение аналогично уравнению, описывающему гармонические колебания.

Предположим, решение уравнения Шрёдингера в этом случае имеет вид:

Убедимся в том, что последнее выражение действительно решение уравнения.

3.3.1. Свободная частица.

Подставим найденные выражения для волновой функции и её производной в уравнение Шрёдингера.

В рассматриваемом случае полная энергия равна кинетической энергии частицы, En = T, поэтому