Предпосылки возникновения квантовой физики
Введение в стационарную нерелятивистскую теорию и некоторые приложения
1.Предпосылки создания квантовой механики
1.1.Волны де Бройля
1.1Волны де Бройля
1.М. Планк (1900 г): излучение и поглощение света происходит порциями – квантами. Энергия кванта E = hν.
2.А. Эйнштейн (1905 г): не только излучение и поглощение света происходит порциями – квантами, но и распространяется свет, как частицы – фотоны. Корпускулярно волновой дуализм света.
3.Н. Бор (1911 г): квантование действия есть свойство, присущее всем видам движения. Квант действия равен постоянной Планка.
1.1 Волны де Бройля
Луи де Бройль
Prince Louis de Brogile
Гипотеза де Бройля состоит в том, что всем
микрообъектам присущи одновременно и корпускулярные и волновые свойства.
Подобно тому, как электромагнитная волна ассоциируется с фотоном, допустим, что каждой материальной частице сопоставлена волна, частота ν которой связана с энергией частицы соотношением E = hν, где h - постоянная Планка.
При этом открывается возможность построить единую теорию, в которой вещество и излучение будут выступать как разновидности объектов одной природы, обладающих свойствами и волны и корпускулы.
1.1 Волны де Бройля
План дальнейшего изложения.
Во-первых, исходя из предположения с том, что с каждой частицей связана волна, получим выражение, связывающее волновые и корпускулярные характеристики частицы.
Во-вторых, проверим, удовлетворяет ли полученное выражение требованиям специальной теории относительности (выполняется ли при этом постулат о том, что все физические процессы протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчёта).
1.1.1.Длина волны де Бройля и импульс частицы
Скаждой частицей связана волна. Внешние силы отсутствуют, и частица движется равномерно и прямолинейно. Энергия частицы Е, импульс – р, масса – m. По аналогии с движением фотона волна должна распространяться в том же направлении, в котором движется частица.
Уравнение плоской волны:
где А - амплитуда волны, k - волновой вектор, ω - частота.
1.1.1. Длина волны де Бройля и импульс частицы.
Как параметры волны k, ω могут быть связаны с параметрами движущейся частицы р, m, Е?
Обратим внимание на скорости распространения волны и частицы. Они должны быть равными, так как, в конечном счете, речь идет о перемещении в пространстве одного физического объекта, обладающего свойствами и волны и частицы.
В то же время, желательно иметь дело с таким волновым объектом, который был бы локализован в пространстве, как и частица. Таким объектом является
волновой пакет.
В результате суперпозиции плоских волн можно осуществить такой волновой процесс, в котором амплитуда отлична от нуля только в небольшой области пространства, а в остальной части пространства равна нулю. Такой волновой процесс и называется волновым пакетом.
1.1.1. Длина волны де Бройля и импульс частицы.
Для образования волнового пакета необходима суперпозиция многих гармонических волн с непрерывно меняющимися значениями волнового числа k.
Для образования волнового пакета заданной протяжённости Δx интервал изменения Δk не может быть меньше некоторой определённой величины.
Если волна ограничена в пространстве, то определённое значение k отсутствует и неизбежно появляется спектр длин волн (волновых чисел) имеющий ширину Δk, такую что
|
1. |
Точка, в которой амплитуда волнового пакета максимальна, движется со скоростью
которая называется групповой скоростью волны. Именно эта скорость, а не фазовая скорость волны должна быть отождествлена со скоростью частицы.
1.1.1. Длина волны де Бройля и импульс частицы.
Мы допустили, что для частиц, как и для фотонов, справедлива формула
С другой стороны, энергия частицы
Следовательно,
Здесь ω – частота (волновая характеристика), V – скорость частицы (корпускулярная характеристика). Скорость частицы отождествим с групповой скоростью волнового пакета:
Пользуясь формулой для энергии и определением групповой скорости, найдём связь между импульсом частицы p и волновым вектором k.
1.1.1. Длина волны де Бройля и импульс частицы.
Перепишем тождественно определение групповой скорости:
следовательно,
Теперь
1.1.1. Длина волны де Бройля и импульс частицы.
Проинтегрируем последнее выражение, предполагая, что при v = 0 волновой вектор k также равен 0: