новая папка 1 / 747943
.pdfРешение. Электрон, влетевший в однородное магнитное поле под углом α =
900, станет двигаться по окружности радиуса R, охватывающей магнитные линии, под действием силы Лоренца FЛ, направленной к центру этой
окружности. По второму закону Ньютона F |
= m а , где |
a |
|
|
v2 |
, |
||
ц |
|
|||||||
|
|
Л |
e ц |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F evB sin evB с учетом α = 900. Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
||
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
v2 |
evB |
|
|
(2.11) |
|||
R |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь свяжем радиус окружности с периодом Т и скоростью электрона:
v |
2 |
R , откуда |
|
|||
|
|
|
||||
|
T |
|
||||
R |
vT |
|
(2.12) |
|||
2 |
||||||
|
|
|
Подставим правую часть равенства (4) в равенство (3), и из полученного выражения определим период вращения электрона по окружности:
m 2vTv Be , откуда
T |
2 m |
. |
(2.13) |
|
|||
|
Be |
|
Угол поворота линейной скорости φ равен углу поворота радиуса. Посколь-
ку за период Т радиус поворачивается на 3600, то на φ =20 он повернется за время
t T
360
Поскольку электрон движется с постоянной скоростью, то путь, пройден-
ный им за время t, S = vt
или с учетом (2.13)
S v |
|
2 |
10 6 |
м. |
|
|
|||||
180Be |
|||||
|
|
|
|
2.6. Фотокатод с работой выхода A= 4,42 10-19 Дж освещается светом с дли-
ной волны λ=300 нм. Вылетевшие из катода электроны попадают в одно-
11
родное магнитное поле индукцией B 7,87 10 4 Тл перпендикулярно вектору индукции. Чему равен максимальный радиус окружности R, по которой движутся электроны?
Решение. Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:
h |
c |
A |
mv2 |
. |
|
|
|||
|
2 |
|
На основе второго закона Ньютона сила Лоренца, действующая на элек-
трон, связана с центростремительным ускорением следующим образом:
evB m v2 . R
Далее выражаем скорость электрона и подставляем ее в исходную формула,
откуда
|
|
|
c |
|
|
|
|
2m h |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|||
R |
|
|
|
5 |
10 3 м. |
|
|
eB |
|
||||
|
|
|
|
|
2.4. Задачи для самостоятельного решения к гл. 2 «Атомистические
представления об электричестве»
2.7. Каково отношение электрической силы, действующей на заряженную частицу в электрическом поле напряженностью 20 В/см, к силе тяжести, ес-
ли эта частица а) электрон; б) протон? в) можно ли пренебречь весом по сравнению с электрической силой?
2.8. Электрон, движущийся в вертикальной плоскости со скоростью 5.107
м/с, влетает в однородное электрическое поле напряженностью 20 В/см,
направленное вверх. Определите координаты электрона относительно точки влета и направление его движения спустя 4.10-8 с, если он влетел а) гори-
12
зонтально, б) под углом 370 верх от горизонтали, в) под углом 370 вниз к го-
ризонтали.
2.9. Если заряженная частица в предыдущей задаче (2.3б) является не элек-
троном, а протоном, то как надо изменить величину и направление поля,
чтобы ответы на поставленные там вопросы оставались теми же?
2.10. Электронно-лучевая трубка помещена в однородное магнитное поле,
силовые линии которого параллельны оси трубки. Пусть электроны, испус-
каемые катодом со скоростью ν, проходя через точку O, движутся под уг-
лом θ к оси. Покажите: а) что их траектория является спиралью; б) они сно-
ва пересекут ось x через время t=2πm/Bq; в) координата точки пересечения равна x=2πmvcos θ/Bq; г) при малых значениях координата точки аересече-
ния или касания не зависит от θ; д) описанное в этой задаче устройство называется магнитной линзой или магнитной бутылкой. Почему? е) как от-
личаются траектории электронов, проходящих через начало координат вверх под углом θ с осью x ,от траектории электронов, проходящих через эту же точку вниз под углом θ?
2.11. Две большие плоские металлические пластины поставлены вертикаль-
но на расстоянии 4 см друг от друга и заряжены до разности потенциалов в
200 В. а) С какой скоростью должен вылететь горизонтально электрон с по-
ложительной пластины, чтобы он достиг отрицательную пластину со скоро-
стью 107 м/с? б) с какой скоростью надо вылететь электрону с положитель-
ной пластины под углом 370 к горизонтали, чтобы по достижении им отри-
цательной пластины горизонтальная составляющая скорости была равна 107
м/с? в) какова будет величина составляющей скорости по оси y по достиже-
нии отрицательной пластины? г) каково будет в каждом из этих случаев время перелета электрона с одной пластины на другую? д) какой скоростью должен обладать электрон, достигнув отрицательной пластины, если он вы-
летел с положительной пластины горизонтально со скоростью 106 м/с?
13
2.12. Два положительных иона, имеющие одинаковые заряды q, но разные массы m1 и m2 , из состояния покоя ускоряются по горизонтали разностью потенциалов V. Затем они входят в область, где горизонтальное магнитное поле с индукцией B перпендикулярно направлению движения. А) Покажи-
те, что ионы, входящие в поле вдоль оси x, в любой момент времени будут иметь координату y, равную y=Bx2(q/8mV)1/2; б) можно ли такую комбина-
цию полей использовать для разделения изотопов?
2.13. Заряженная капля масла в отсутствие электрического поля падает в воздуже на 4,0 мм за 16,0 с с постоянной скоростью. Плотность масла по отношению к воде равна 0,80, воздуха – 1,20.10-3, а коэффициент вязкости воздуха равен 1,81.10-5 нс/м2. Определите а) радиус капли и б) массу капли;
в) каково отншение электрической силы, действующей на каплю, к силе тяжести, если капля несет один элементарный электронный заряд и поме-
щена в электрическое поле напряженностью 2.105 В/м?
2.14. После того, как капля с параметрами, приведенными в предыдущей задаче, была помещена в электрическое поле, несколько раз было измерено время, за которое она поднималась на высоту 4 мм. Измерения доли значе-
ния 36,0; 11.2; 17,7 и 23 с. Вычислите а) скорость падения под действием силы тяжести; б) скорость подъема в каждом случае; в) суммы скорости опускания и каждой из скоростей подъема; г) покажите что с точностью до двух значащих цифр эти суммы являются целыми кратными от некоторого числа, и объясните этот результат; д) вычислите по этим данным величину заряда электрона.
2.15. Примем, что хлор имеет два изотопа, массовые числа которых точно равны 35 и 37. Каково их процентное содержание в обычном хлоре, имею-
щим атомный вес 35,45?
2.16. Атмосферный кислород содержит 99, 76% 16O, 0,04% 17O и 0,20%
18O. Считая, что массы этих изотопов равны их массовым числам, найдите:
14
а) химический атомный вес кислорода в физической шкале и б) отношение химической шкалы к физической.
2.17. Определите, какую скорость приобретет электрон, если из состояния покоя его ускорить разностью потенциалов, равной 565 В. Пусть далее этот электрон движется в вертикальной плоскости с приобретенной им скоро-
стью и попадает в область, в которой имеется однородное электрическое поле величиной 35 В/см, направленное вниз. Найдите а) координаты элек-
трона через 5.10-8 с после влета его в поле, если вектор скорости составлял с горизонтальным направлением угол 300 и был наклонен вниз, и б) направ-
ление его скорости в этот момент.
Глава 3. Атомистические представления об электромагнитном излуче-
нии
3.1. Содержание главы дисциплины
Частицы или волны. Электричество и свет. Электродинамика. Единство различных видов излучения. Тепловое излучение. Испускание и поглоще-
ние излучения. Излучение черного тела. Законы Вина и Рэлея-Джинса. За-
кон Планка. Квантовый характер излучения. Корпускулярно-волновой дуа-
лизм. Фотоэффект. Электронвольт. Термоэлектронная эмиссия.
3.2. Некоторые формулы
Энергетическая светимость M теплового излучения:
M |
1 |
cu , |
(3.1) |
|
4 |
||||
|
|
|
где c - скорость света, u - плотность энергии теплового излучения Формула Планка для спектральной плотности энергии:
u |
3 |
|
1 |
|
, |
(3.2) |
2c3 |
|
e / kT 1 |
где ω - частота излучения, T - абсолютная температура, ћ - постоянная Планка, k - постоянная Больцмана.
15
Коротковолновая граница тормозного рентгеновского спектра излучения:
min |
2 c |
|
hc |
, или |
min |
|
1,29 |
, |
(3.3) |
||||
|
eV |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
eV |
|
|
V |
|
|||||
где λmin – в нм, напряжение V – в кВ. |
|
||||||||||||
Формула Эйнштейна для внешнего фотоэффекта: |
|
||||||||||||
A |
mv2 |
|
|
|
|
(3.4) |
|||||||
|
max |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где А – работа выхода. |
|
|
|
|
|
||||||||
Давление излучения: |
|
|
|
|
|
||||||||
p |
Ee |
1 w(1 ) , |
|
|
|
|
(3.5) |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где w - объемная плотность энергии излучения, Ee N - облученность по-
верхности (энергия всех N фотонов, падающих на единицу площади по-
верхности за 1 с), ρ - коэффициент отражения фотона от поверхности.
Комптоновский сдвиг длины волны рассеянного фотона:
C 1 cos , |
(3.6) |
где C 2 mc hmc - комптоновская длина волны частицы
3.3.Примеры задач
3.1.Определите длину волны λ фотона, импульс которого p равен импульсу
pe электрона, прошедшего разность потенциалов V = 10 В.
Решение: Импульс фотона выражается через его длину волны как
p k |
|
2 |
|
h |
, |
|
(3.7) |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где k – |
модуль волнового вектора фотона, h 2 . Кинетическая энергия |
|||||||||
электрона Ek |
|
|
p 2 |
равна изменению его потенциальной энергии |
U eV , |
|||||
|
2m |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, для импульса электрона имеем |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
pe 2meeV . |
|
|
|
|
(3.8) |
Приравнивая (3.7) и (3.8) получим искомую длину волны фотона:
16
|
|
h |
|
= 0, 39 нм , где me и e - масса и элементарный заряд электрона, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||
2meeV |
|||||
|
|
|
|
соответственно.
3.2. Определите температуру, при которой средняя энергия молекул трех-
атомного газа E равна энергии фотонов, соответствующих излучению с λ
= 500 нм.
Решение: Средняя энергия молекулы
E 2i kT ,
где i – число степеней свободы (для трехатомного газа ная Больцмана. Энергия фотона
E 2 c hc .
(3.9) i = 6), k – постоян-
(3.10)
Приравнивая, согласно условию задачи, (3.9) и (3.10), получим искомую температуру:
T |
2hc |
= 9610 К. |
(3.11) |
|
ik |
||||
|
|
|
3.3. Определите, во сколько раз максимальная кинетическая энергия Еmax
фотоэлектронов, вырываемых с поверхности цинка (работа выхода A = 4,0
эВ) монохроматическим светом с длиной волны λ = 220 нм, превосходит среднюю энергию теплового движения электронов при температуре T= 300
К.
Решение: В соответствии с уравнением Эйнштейна
h A |
mv2 |
|
||
max |
. |
(3.12) |
||
2 |
||||
|
|
|
Учитывая, что c , получаем
17
Eк |
hc |
A . |
(3.13) |
||
|
|||||
|
|
|
|
||
Средняя энергия теплового движения электронов |
|
||||
E 3 |
|
kT , |
(3.14) |
||
2 |
|
|
где k – постоянная Больцмана, Т - термодинамическая температура. Тогда
Ек |
|
hc / A |
|
2 hc / A |
42,5 |
||
E |
3kT / 2 |
3kT |
|
||||
|
|
|
3.4. На поверхность металла падает излучение с длиной волны 280 нм.
При некотором задерживающем напряжении фототок прекращается. При изменении длины волны излучения на =20 нм задерживающий потенци-
ал пришлось увеличить на ΔV = 0,34 В. Определите заряд электрона e, счи-
тая известными постоянную Планка ћ и скорость света с.
Решение: Так как задерживающий потенциал пришлось увеличить, то дли-
на волны уменьшилась. Запишем уравнения Эйнштейна для двух длин волн
(λ и λ + Δλ):
h |
c |
A eV ; |
hc |
A e V V . |
|
|
|
||||
|
|
|
Вычитая первое уравнение из второго, получим
|
1 |
|
|
1 |
e V |
, |
|
|
||||||||
hc |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e |
|
hc |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
hc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
V |
|||||||||||
|
|
V |
|
|
|
|
(3.15)
(3.16)
(3.17)
3.5. Давление p монохроматического света с длиной волны λ=500 нм на по-
верхность с коэффициентом отражения ρ=0,3, расположенную перпендику-
18
лярно падающему свету, равно 0,2 мкПа. Определите число фотонов, по-
глощаемых ежесекундно 1 м2.
Решение: Давление, производимое светом при нормальном падении на по-
верхность,
p = |
Ee |
|
(1+ρ), |
(3.18) |
||||||
c |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
где Ee |
|
- облученность поверхности (энергия всех фотонов, падающих |
||||||||
N h |
||||||||||
на 1 м2 поверхности за 1 с). |
||||||||||
Так как c / , то |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p= |
|
N h |
(1+ρ), |
(3.19) |
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
откуда число фотонов, падающих на 1 м2 поверхности за 1 с, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
N |
(1 |
)h . |
(3.20) |
|||||||
|
Исходя из определения коэффициента отражения, получим, что искомое число фотонов, поглощаемых ежесекундно 1 м2 поверхности,
N (1 )N . |
(3.21) |
|||||
Подставив выражение (1.21) в формулу (1.20), найдем |
||||||
N |
p |
|
1 |
|
8,12 1019 |
м-2·с-1 |
|
|
|
||||
|
h 1 |
|
|
3.6. На идеально отражающую плоскую поверхность нормально падает мо-
нохроматический свет с длиной волны λ=0,55 мкм. Поток излучения Фе со-
ставляет 0,45 Вт. Определите: 1) силу давления, испытываемую этой по-
верхностью; 2) число фотонов N, ежесекундно падающих на поверхность.
Решение: По условию задачи коэффициент отражения ρ = 1. Сила светового давления на поверхность с площадью S
F pS , |
(3.22) |
19
где световое давление
p |
Ee |
(1 ) |
Фe |
(1 ) |
(3.23) |
|
|
||||
|
c |
cS |
|
||
( Ee - энергетическая облученность; |
поток излучения Фе=ЕеS). Подставив |
||||
выражение (3.23) в формулу (3.22), найдем искомую силу давления: |
F Ф (1 ) / c 3 ∙10-9 |
Н |
|||
|
e |
|
|
|
Поток излучения (мощность излучения) |
||||
Ф N |
Nhc |
, |
(3.24) |
|
|
||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
где N – число фотонов, ежесекундно падающих на поверхность, ε h hc /
- энергия фотона. Искомое число фотонов, согласно формуле (3.24), равно:
N Ф /(hc) 1,24 1018 |
с 1 . |
(3.25) |
e |
|
|
3.7. Фотон с энергией Е=0,23 МэВ рассеялся на первоначально покоящемся свободном электроне. Определите кинетическую энергию электрона отда-
чи, если длина волны рассеянного фотона изменилась на 15%.
Решение: Кинетическая энергия электрона отдачи, согласно закону со-
хранения энергии, равна разности между энергией падающего фотона и энергией Е' рассеянного фотона:
Ек E E . (3.26)
В результате эффекта Комптона длина волны рассеянного излучения увели-
чивается, поэтому, по условию задачи,
0,15 |
|
|
|
(3.27) |
||||||
Энергии падающего и рассеянного фотонов равны соответственно |
||||||||||
E hc / |
и E hc / hc /( ) , |
|
||||||||
откуда hc / E ; учитывая (3.27), получаем |
|
|||||||||
|
|
|
hc |
|
hcE |
|
E |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
E |
1,15 |
1,15hc |
1,15 . |
(3.28) |
||||||
|
20